概率统计大题题型总结(理)学生版

统计概率大题题型总结统计概率大题题型总结 题型一题型一 频率分布直方图与茎叶图频率分布直方图与茎叶图 例例 1 2013 广东理 17 某车间共有名工人 随机抽取名 他们某日加工零件个数的茎叶图126 如图所示 其中茎为十位数 叶为个位数 179 2015 30 第第 1717 题图题图 根据茎叶图计算样本均值 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人 根据茎叶图推断该车间名工人中12 有几名优秀工人 从该车间名工人中 任取人 求恰有名优秀工人的概率 122 例例 2 2013 新课标 理 经销商经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出 t 该产品获利润 500元 未售出的产品 每 t 亏损300元 根据历史资料 得到销售季度内市场需求量的频率分 布直方图 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品 以X 单位 t 150100 X 表示下一个销售季度内的市场需求量 T 单位 元 表示下一个销售季度内销 商该农产品的利润 将T表示为X的函数 根据直方图估计利润T不少于 57000 元的概率 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个值 需求量落入该区间 的频率作为需求量取该区间中点值的概率 例如 若 100 110 X 则取105X 且105X 的概率等于需求量落入 100 110 的概率 求利润T的数学期望 频率组距 0 010 0 015 0 020 0 025 0 030 100 110 120 130 140 150 需求量 x t 变式变式 1 2015 高考重庆 理 3 重庆市 2013 年各月的平均气温 oC 数据的茎叶图如下 089 1 258 200338 312 则这组数据的中位数是 A 19 B 20 C 21 5 D 23 变式变式 2 2015 高考新课标 2 理 18 本题满分 12 分 某公司为了解用户对其产品的满意度 从 两地区分别随机调查了 20 个用户 得到用户AB 对产品的满意度评分如下 A 地区 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图 并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度 不要求计算出具体值 得出结论即可 A 地区 B 地区 4 5 6 7 8 9 根据用户满意度评分 将用户的满意度从低到高分为三个等级 满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分 满意度等级不满意满意非常满意 记时间 C A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级 假设两地区用户的评 价结果相互独立 根据所给数据 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率 求 C 的概 率 变式变式 3 2012 辽宁理 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况 随 机抽取了 100 名观众进行调查 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间 的频率分布直方图 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 体育迷 根据已知条件完成下面的2 2 列联表 并据此资料你是否认为 体育迷 与性别有关 将上述调查所得到的频率视为概率 现在从该地区大量电视观众中 采用随机抽 样方法每次抽取 1 名观众 抽取 3 次 记被抽取的 3 名观众中的 体育迷 人数为 X 若每次抽 取的结果是相互独立的 求 X 的分布列 期望 E X和方差 D X 变式变式 4 2014 新课标 理 18 本小题满分 12 分 从某企业的某种产品中抽取 500 件 测量 这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下频率分布直方图 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 同一组数据用该区间的中点值x 2 s 作代表 由频率分布直方图可以认为 这种产品的质量指标值服从正态分布 其中Z 2 N 近似为样本平均数 近似为样本方差 x 2 2 s i 利用该正态分布 求 187 8212 2 PZ ii 某用户从该企业购买了 100 件这种产品 记表示这 100 件产品中质量指标值为于区间X 187 8 212 2 的产品件数 利用 i 的结果 求 EX 附 12 2 150 若 则 0 6826 0 9544 Z 2 N PZ 22 PZ 题型二题型二 抽样问题抽样问题 例例 2015 高考广东 理 17 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表 工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄 140103619272834 244113120432939 340123821413043 441133922373138 533144323343242 640154524423353 745163925373437 842173826443549 943183627423639 1 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本 且在第一分段里用随机抽样法抽到 的年龄数据为 44 列出样本的年龄数据 2 计算 1 中样本的平均值和方差 x 2 s 3 36 名工人中年龄在与之间有多少人 所占的百分比是多少 精确到 0 01 sx sx 变式变式 2009 天津卷文 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况 拟采用分层抽样的方法 从 A B C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查 已知 A B C 区中分别有 18 27 18 个工厂 求从 A B C 区中分别抽取的工厂个数 若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比 用列举法计算这 2 个 工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率 题型三题型三 古典概型古典概型 有限等有限等可能事件的概率可能事件的概率 在一次实验中可能出现的结果有 n 个 而且所有结果出现的可能性都相等 如果事件 A 包含的结果有 m 个 那么 P A 这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公 n m 式 高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的 能力 例题例题 1 2015 高考天津 理 16 本小题满分 13 分 为推动乒乓球运动的发展 某乒乓球比 赛允许不同协会的运动员组队参加 现有来自甲协会的运动员 3 名 其中种子选手 2 名 乙协 会的运动员 5 名 其中种子选手 3 名 从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 I 设 A 为事件 选出的 4 人中恰有 2 名种子选手 且这 2 名种子选手来自同一个协会 求 事件 A 发生的概率 II 设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数 求随机变量 X 的分布列和数学期望 例例 2 2015 高考安徽 理 17 已知 2 件次品和 3 件正品放在一起 现需要通过检测将其区分 每次随机检测一件产品 检测后不放回 直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结 束 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 已知每检测一件产品需要费用 100 元 设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 单位 元 求 X 的分布列和均值 数学期望 变式变式 1 2015 高考重庆 理 17 端午节吃粽子是我国的传统习俗 设一盘中装有 10 个粽子 其中豆沙粽 2 个 肉粽 3 个 白粽 5 个 这三种粽子的外观完全相同 从中任意选取 3 个 1 求三种粽子各取到 1 个的概率 2 设 X 表示取到的豆沙粽个数 求 X 的分布列与数学期望 变式变式 2 2013 天津理 一个盒子里装有 7 张卡片 其中有红色卡片 4 张 编号分别为 1 2 3 4 白色卡片 3 张 编号分别为 2 3 4 从盒子中任取 4 张卡片 假设取到任何一张卡片的 可能性相同 求取出的 4 张卡片中 含有编号为 3 的卡片的概率 再取出的 4 张卡片中 红色卡片编号的最大值设为 X 求随机变量 X 的分布列和数学 期望 题型四题型四 几何概型几何概型 无线等可能事件发生的概率无线等可能事件发生的概率 例例 1 2015 高考湖北 理 7 在区间 0 1 上随机取两个数 x y 记 1 p为事件 1 2 xy 的概率 2 p为事件 1 2 xy 的概率 3 p为事件 1 2 xy 的概率 则 A 123 ppp B 231 ppp C 312 ppp D 321 ppp 变式变式 1 2015 高考福建 理 13 如图 点A 的坐标为 1 0 点C 的坐标 为 2 4 函数 2 f xx 若在矩形ABCD 内随机取一点 则此点取自阴 影部分的概率等于 变式变式 2 2012 年高考 北京理 设不等式组表示的平面区 D 在 02 02 x y 区域 D 内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 A B C D 4 2 2 6 4 4 题型五题型五 相互独立事件发生概率计算相互独立事件发生概率计算 事件 A 或 B 是否发生对事件 B 或 A 发生的概率没有影响 则 A B 叫做相互独 立事件 它们同时发生的事件为 用概率的乘法公式计算 BA BPAPBAP 例例 1 2013 辽宁数学理 现有 10 道题 其中 6 道甲类题 4 道乙类题 张同学从中任取 3 道题解 答 I 求张同学至少取到 1 道乙类题的概率 II 已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题 1 道乙类题 设张同学答对甲类题的概率都是 答 3 5 对每道乙类题的概率都是 且各题答对与否相互独立 用表示张同学答对题的个数 求 4 5 X 的分布列和数学期望 X 例例 2 2013 山东理 甲 乙两支排球队进行比赛 约定先胜 3 局者获得比赛的胜利 比赛随即结 束 除第五局甲队获胜的概率是 1 2外 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 2 3 假设各局比赛 结果相互独立 分别求甲队以 3 0 3 1 3 2 胜利的概率 若比赛结果为 3 0 或 3 1 则胜利方得 3 分 对方得 0 分 若比赛结果为 3 2 则胜利方得 2 分 对方得 1 分 求乙队得分X的分布列及数学期望 变式变式 1 2012 年高考 山东理 先在甲 乙两个靶 某射手向甲靶射击一次 命中的概率为 命 3 4 中得 1 分 没有命中得 0 分 向乙靶射击两次 每次命中的概率为 每命中一次得 2 分 没有 2 3 命中得 0 分 该射手每次射击的结果相互独立 假设该射手完成以上三次射击 求该射手恰好命中一次得的概率 求该射手的总得分的分布列及数学期望 XEX 变式变式 2 2012 重庆理 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 甲 乙两人轮流投篮 每人每次投一球 约定甲先投且先投中者获胜 一直到有人获胜或每人都 已投球 3 次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为 乙每次投篮投中的概率为 且各次投 1 3 1 2 篮互不影响 求甲获胜的概率 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 题型六题型六 n 次次独立重复试验的概率独立重复试验的概率 二项分布二项分布 若在次重复试验中 每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果 则此试验叫n 做次独立重复试验 若在 1 次试验中事件 A 发生的概率为 P 则在次独立惩处试验中 nn 事件 A 恰好发生次的概率为 k 1 n k kk nn P kC PP 高考结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法和化nk 归转化 分类讨论等数学思想方法的应用 例例 1 2015 高考湖南 理 18 某商场举行有奖促销活动 顾客购买一定金额商品后即可抽奖 每次抽奖都从装有 4 个红球 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球 5 个白球的乙箱中 各随机摸 出 1 个球 在摸出的 2 个球中 若都是红球 则获一等奖 若只有 1 个红球 则获二等奖 若没有红球 则不获奖 1 求顾客抽奖 1 次能获奖的概率 2 若某顾客有 3 次抽奖机会 记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 求的分布XX 列和数学期望 例例 2 2014 辽宁理 18 本小题满分 12 分 一家面包房根据以往某种面包的销售记录 绘制了日销售量的频率分布直方图 如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率 并假设每天的销售量相互独立 1 求在未来连续 3 天里 有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率 2 用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数 求随机变量 X 的分布列 期望 及方差 E X D X 变式变式 1 2012 四川理 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 和 系统AB 和在任意时刻发生故障的概率分别为和 AB 1 10 p 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 求的值 49 50 p 设系统在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 求的概率分布列A 及数学期望 E 题型七题型七 离散型随变量概率分布列离散型随变量概率分布列 设离散型随机变量的分布列为 1 x 2 x i x P 1 P 2 P i P 它有下面性质 2 1 0 iPi 即总概率为 1 1 21 i ppp 期望方差 11 iiP xPxE ii PExPExD 2 1 2 1 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查 例题例题 1 2010 天津理 天津理 某射手每次射击击中目标的概率是 2 3 且各次射击的结果互不影响 假设这名射手射击 5 次 求恰有 2 次击中目标的概率 假设这名射手射击 5 次 求有 3 次连续击中目标 另外 2 次未击中目标的概率 假设这名射手射击 3 次 每次射击 击中目标得 1 分 未击中目标得 0 分 在 3 次射 击中 若有 2 次连续击中 而另外 1 次未击中 则额外加 1 分 若 3 次全击中 则额外加 3 分 记 为射手射击 3 次后的总的分数 求 的分布列 题型八题型八 标准正态分布标准正态分布 例例 2013 年高考湖北卷 理 假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布X 的随机变量 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 2 800 50N 0 p I 求的值 参考数据 若 有 0 p 2 XN 0 6826PX 220 9544PX 330 9974PX II 某客运公司用 两种型号的车辆承担甲 乙两地间的长途客运业务 每车每天往返一AB 次 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人 从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元 AB 辆和 2400 元 辆 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队 并要求型车不多于型车 7BA 辆 若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客 且使公司从甲地去乙地的运营成 0 p 本最小 那么应配备型车 型车各多少辆 AB 变式变式 1 2015 高考湖北 理 4 设 这两个正态分布密度曲线如 2 11 XN 2 22 YN 图所示 下列结论中正确的是 A B 21 P YP Y 21 P XP X C 对任意正数 D 对任意正数 t P XtP Yt t P XtP Yt 变式变式 2 2015 高考山东 理 8 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布 从中随机取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 2 0 3N 附 若随机变量 服从正态分布 则 2 N 68 26 P 2295 44 P A 4 56 B 13 59 C 27 18 D 31 74 题型九题型九 线性回归分析线性回归分析 例例 1 2014 年全国新课标 理 19 本小题满分 12 分 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y 单位 千元 的数据如下表 年份2007200820092010201120122013 年份代号 t1234567 人均纯收入 y 2 93 33 64 44 85 25 9 求 y 关于 t 的线性回归方程 利用 中的回归方程 分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 附 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 1 2 1 n ii i n i i ttyy b tt a ybt 例例 2 2014 年重庆卷 理 03 已知变量与正相关 且由观测数据算得样本平均数 xy3x 则由观测的数据得线性回归方程可能为 3 5y 0 42 3A yx 22 4B yx 29 5C yx 0 34 4D yx 变式变式 09 扬州市模拟 扬州市模拟 为了分析某个高三学生的学习状态 对其下一阶段的学习提供指