选修系列试卷-答案

1 解 采用零点分段法求解 当 x 2 时 f x x 1 x 2 2x 1 3 当 1 x 2 时 f x x 1 x 2 3 当 x 1 时 f x x 1 x 2 2x 1 3 f x 的最小值是 3 此时 x 1 2 由 得 f x 的图象如图示 令 g x a x 1 显然直线 g x 恒过 1 0 点 若不等式 f x a x 1 的解集为空集 只需 g x 的图象 红色直线 和 f x 的图象 黑色线 无交点即可 直线 AB 的斜率是 1 当 x 1 时 f x x 1 x 2 2x 1 的斜率是 2 故 2 a 1 2 解 1 f x 2x 1 2x 3 2x 1 2x 3 4 1 2a 4 a 或 a 实数 a 的取值范围为 2 由题意知 24 4 2m 1 2m 3 0 即 2m 1 2m 3 6 即或或 解得 1 m 2 故实数 m 的取值范围是 1 2 3 1 证明 由 a b 0 可得 a5 b5 a2b3 a3b2 a5 a2b3 b5 a3b2 a2 a3 b3 b2 a3 b3 a2 b2 a3 b3 a b 2 a b a2 ab b2 0 即有 a5 b5 a2b3 a3b2 2 要证 只要证 即要证 即要证 即要证 因为 a 0 所以 所以 4 证明 由 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 得 a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以 3 ab bc ca 1 即 ab bc ca 因为 b 2a c 2b a 2c 故 a b c 2 a b c 即 a b c 所以 1 5 解 1 f x 的最小值 m 1 5 分 2 由柯西不等式 a2 b2 c2 12 22 32 a 2b c 2 1 故 a2 b2 c2 当且仅当 a b c 时取等号 a2 b2 c2的最小值为 10 分 6 解 由 得 y2 4x 由 2 sin 得 整理得 即 将代入 y2 4x 得 解得 或 7 解 设点 P x y 点 P 2cos 2sin 2 参数 R 且参数 a R 点 P 的轨迹的直角坐标方程为 x2 y 2 2 4 直线 l 的极坐标方程为 直线 l 的直角坐标方程为 由 1 知点 P 的轨迹是圆心为 0 2 半径为 2 的圆 圆心到直线的距离 d 4 点 P 到直线的距离的最大值为 4 2 6 8 解 I 2cos2 sin 曲线 C 的直角坐标方程是 x2 y 即 y x2 II 直线 l 的参数方程为 t 为参数 将 t 为参数 代入 y x2得 t2 4 0 t1 t2 t1t2 4 9 解 把圆 C 的参数方程为 为参数 消去参数 化为 直角坐标方程为 x2 y2 25 由条件可得 直线 l 的参数方程为 即 t 为参数 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程化简可得 t2 3 2 t 12 0 利用韦达定理可得 t1 t2 12 故 PA PB t1 t2 12 10 解 1 由曲线 C sin2 2acos a 0 可得 2sin2 2a cos 化为 y2 2ax 由直线 l 的参数方程为 消去参数 t 可得直线 l y x 2 2 联立 化为 x2 4 2a x 4 0 直线 l 与抛物线相交于两点 4 2a 2 16 0 解得 a 0 或 a 4 x1 x2 4 2a x1x2 4 MN PN PM PN 2 x1 2 x2 2 2 x1x2 2 x1 x2 4 2 16 4a PM MN PN 成等比数列 MN 2 PM PN 2 16 4a 化为 a 4 a 4 a a 0 或 a 4 解得 a 1 a 1 11 证明 因为 EF CB 所以 BCE FED 又 BAD BCD 所以 BAD FED 又 EFD EFD 所以 DEF EFA 6 分 解 由 得 EF2 FA FD 因为 FG 是切线 所以 FG2 FD FA 所以 EF FG 1 10 分 12 证明 连结 OC OA OB CA CB OC AB 又 OC 是圆 O 的半径 AB 是圆 O 的切 线 解 直线 AB 是圆 O 的切线 BCD E 又 CBD EBC BCD BEC 又 tan CED 设 BD x 则 BC 2x 又 BC2 BD BE 2x 2 x x 6 即 3x2 6x 0 解得 x 2 即 BD 2 OA OB OD DB 3 2 5 13 解 1 2 14 证明 设圆的半径为 r 作 OK AB 于 K OA OB AOB 120 OK AB A 30 OK OAsin30 r 直线 AB 与 O 相切 点 C D 在 O 上 且 A B C D 四点共圆 不妨设圆心为 T OA OB TA TB OT 为 AB 的中垂线 同理 OC OD TC TD OT 为 CD 的中垂线 AB CD 15 解 连结 BC AB 是圆 O 的直径 则 ACB 90 1 分 又 APF 90 CAB CBA EAP PEC 2 分 CBA PEC 3 分 PEC 60 PDF CBA PEC 60 4 分 解法 1 由 知 PDF PEC D C E F 四点共圆 6 分 PE PF PC PD 7 分 PC PA 都是圆 O 的割线 PC PD PB PA 24 9 分