初中数学 数学名师 花拉子米

1 花拉子米花拉子米 花拉子米 al khw rizmi ab ja far muhammad ibnm s 约公元 783 年生 约公元 850 年卒 数学 天文学 地理学 阿布 贾法尔 穆罕默德 伊本 穆萨 阿尔 花拉子米的传记材料 很少流传下来 一般 认为他生于花拉子模 khwarizm 位于阿姆河下游 今乌兹别克境内的希瓦城 附 近 故以花拉子米为姓 另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利 qut rubbull 祖先是 花拉子模人 花拉子米是拜火教徒的后裔 早年在家乡接受初等教育 后到中亚细亚古城 默夫 继续深造 并到过阿富汗 印度等地游学 不久成为远近闻名的科学 家 东部地区的总督马蒙 al ma m n 公元 786 833 年 曾在默夫召见过花拉子米 公元 813 年 马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后 聘请花拉子米到首都巴格达工作 公元 830 年 马蒙在巴格达创办了著名的 智慧馆 bayt al hikmah 是自公元前 3 世纪亚历山大博物 馆之后最重要的学术机关 花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一 马蒙去世后 花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作 直至去世 花拉子米生活和工作的时 期 是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定 经济发展 文化生活繁荣昌盛的时期 花拉子米科学研究的范围十分广泛 包括数学 天文学 历史学和地理学等领域 他 撰写了许多重要的科学著作 在数学方面 花拉子米编著了两部传世之作 代数学 和 印度的计算术 代数学的内容和方法是自古以来逐渐形成的 早在古埃及阿默士的纸草书中就已经出 现属于一元一次方程的问题 巴比伦人也知道某些二次方程的解法 在汉穆拉比时代的泥 板中巳有二次方程的问题 从中可以看出从算术到代数的过渡 代数学在希腊时代得到重 大发展 其代表人物是丢番图 diophantus 他的著作 算术 arithmetica 中的大部分 内容可划入代数的范围 书中出现了符号的运算法则和用字母表示的未知数 解决了某些 二次方程 特殊的三次方程和大量的不定方程问题 公元 7 8 世纪 印度数学获得了可观 的发展 印度数学家婆罗摩笈多 brahmagupta 给出了二次方程的一个求根公式 二次方程 的一般解法是花拉子米在他的 代数学 中首先给出的 代数学 大约写于公元 820 年 有多种版本流传下来 比较重要的有两种 一种是 抄录于 1342 年的阿拉伯文手稿 现存牛津大学图书馆 1831 年由 f 罗森 rosen 译成英 文 在伦敦出版了它的阿 英对照本 另一种是 l ch 卡平斯基 karpinski 根据著名翻 译家切斯特的罗伯特 robert of chester 1145 年翻译的 代数学 拉丁文译本编译的 代数学 的阿拉伯文书名是 ilm al jabr wa l muqabalah 直译应为 还原与对 消的科学 al jabr 意为 还原 这里指把负项移到方程另一端 还原 为正项 muqabalah 意即 对消 或 化简 指方程两端可以消去相同的项或合并同类项 一般认 为拉丁文中代数学一词 algebra 是由 al jabr 演变而来 在 代数学 中 花拉子米用十分简单的例题讲述了解一次和二次方程的一般方 法 他的作法实质上已经把代数学作为一门关于解方程的科学来研究 只是其研究形式与 现代的不同 该书包括三部分 第一部分讲述现代意义下的初等代数 第二部分列举各种 实用算术问题 最后一部分是关于续承遗产的应用问题 在第一部分里 作者系统地讨论了一 二次方程的解法 他给出六种类型的标准方程 这些方程由三种量组成 1 根 jadhr 指植物的根或事物的根本 或一堆 东西 shay 2 根自乘的结果 即根的平方 m l 也表示财产或货币的和 3 简单数或称 迪拉姆 dirham 阿拉伯货币单位 现在把解方程求未知量叫做求根就是来源于此 花拉子米完 全用文字来表述 书中没有出现任何字母和缩写符号 为了明确起见 下面用现代符号来 表示花拉子米论述的六种类型方程 2 1 平方 等于 根 ax2 bx 2 平方 等于 数 ax2 c 3 根 等于 数 bx c 4 平方 和 根 等于 数 ax2 bx c 5 平方 和 数 等于 根 ax2 c bx 6 根 和 数 等于 平方 bx c ax2 以上 a b c 都是正数 对于每种类型的方程的解法 花拉子米都给出具体例子 例 如对于第四种类型的方程 花拉子米的例题是 一个平方数及其根的 10 倍等于 39 个迪拉 姆 他把求解过程叙述为 取根的数目的一半 在这里就是 5 将它自乘得 25 把它同 39 相加得 64 开方等于 8 再减去根数的一半 即 5 等于 3 这就是根 下面用现代符 号表示该方程及求解过程 这种解法相当于给出方程 x2 px q 的一个求根公式 花拉子米放弃了负根 在解第五种类型的方程 x2 21 10 x 时 花拉子米求出了两个根 相当于 在数学史上 他是最早认识到二次方程有两个根的数学家 在这方面 花拉子米比希 腊人和印度人有明显的进步 他还特别指出 当根的数目之半自乘的结果小于自由项时 开平方是不可能的 此时方程无根 这相当于指出我们现在称之为判别式的必须非负的条 件 在论述了六种典型方程的解法之后 花拉子米又用几何方法给出它们的证明 这些证 明无疑受到希腊几何学的影响 有的似乎是欧几里得 几何原本 中有关命题的翻版 例如 对于方程 x2 10 x 39 的根的正确性 花拉子米给出了两种不同的几何证明 第 一种证法是在边长为 x 的正方形的四个边上向外作边 正方形的面积等于 x2 10 x 25 即 64 因为由已知方程知 x2 10 x 39 证法是在边长为 x 的正方形的两个相邻边上作边长为 x 和 5 的矩形 然后把图形补充为完 整的大正方形 图 2 在几何证明之后 花拉子米建立了两种变换 还原 与 对消 他指出 经过这 两种变换 一般形式的一次和二次方程就能化成已经讨论过的六种标准方程 当然 这些 变换都是用文字叙述的 花拉子米以问题 把 10 分为两部分 使其平方之和等于 58 为 例来说明这两种变换 这个问题相当于方程 x2 10 x 2 58 1 或 2x2 100 20 x 58 2 接下去作者指出 100 和两个平方减去 20 个根 即 100 和两个平方等于 58 和 20 个 根 这段话的意思是 方程 2 左端的 20 x 移到方程右端 应变为 20 x 花拉子米 称这种变换为 al jabr 即 还原 这样一来 方程 2 变成 3 2x2 100 58 20 x 3 即 x2 50 29 10 x 4 花拉子米又对方程 4 施行 对消 变换 从 50 中减去 29 则平方和 21 等于 10 个根 于是 4 化为 x2 21 10 x 属于第五种类型方程 花拉子米称后一种变换为 muqabalah 即 对消 还原 与 对消 是花拉子米提出的解方程的基本变形法则 从此以后 解方程的 概念逐步明朗起来 这两种变形法则被长期沿用下来 成为现在的移项与合并同类项 在花拉子米所列举的各种实际问题中 还出现了相当于现代二元二次方程 或分式方程 组 的情形 如用现代符号表示 他的问题中的第一个条件相当于方程 x y 10 而依据第二个 条件可分别列出下列方程 x y 21 x2 y2 40 x2 y2 x y 54 不过 他并没有明确地给出第二个未知量 而是用 一个东西 和 10 减去一个东西 来代替 事实上 上述方程组都很容易化为一元二次方程 代数学 中还用大量例子阐明代数式的运算法则 如单项式乘二项式 两个二项式 相乘 同类根式的乘除法 等等 关于花拉子米撰写 代数学 一书所受的学术影响以及资料来源等问题 至今尚未搞 清 首先 花拉子米似乎没有受印度代数的影响 印度数学家并未给出方程的根的几何论 证 他们解二次方程也没有区分出第四 五 六种类型 花拉子米之所以把一次 二次方 程分为六种类型 让其系数 a b c 总是正数 是为了避免单独出现负数或减数大于被减 数的情形 他认识到二次方程有两个根 但只取正根 对于负根和零根 一概摒弃 此外 代数学 中完全用文字叙述 没有出现符号 在对负数的认识和使用符号等方面 花拉 子米比印度数学家有明显的退步 花拉子米关于二次方程的根的几何论证法似乎受到希腊 几何学的影响 但是他的论证方法又在本质上区别于欧几里得 euclid 几何原本 中的 代数几何学 花拉子米引入后三种典型方程的许多问题与丢番图 算术 中的问题相似 例如形如 的问题 但是他们解决问题的途径不同 事实上 丢番图著作的第一批阿拉伯文译本 是在花拉子米去世后才出现的 因此花拉子米很难受到丢番图的影响 科学史家推测 花拉子米可能通晓中东 近东 巴比伦以及古希腊罗马的科学遗产 在此基础上写出了独 具风格的代数著作 至于 al jabr 一词 可能来源于亚述语中的有关术语 而后者又源于 古巴比伦语中的表示两件东西相等的词语 代数学 在 12 世纪传入欧洲 之后的几个世纪 它成为欧洲人的标准课本 其内容 思想和方法相当广泛地影响过历代数学家 在中世纪最著名的数学家 l 斐波那契 fibonacci 的 算盘书 10202 中 就有一章名为 aljabra et almuchabala 其中许 多问题出自花拉子米的 代数学 15 世纪著名数学家 l 帕乔利 pacioli 写了一本 算 术 几何 比和比例集成 1494 其中广泛地讨论了一次和二次方程 作者沿用了花拉 子米的解法和几何证明 事实上 在中世纪和文艺复兴时期 凡是在代数学方面有过贡献 的欧洲学者 他们的工作在不同程度上都受到花拉子米的影响 代数学 以其逻辑严密 系统性强 通俗易懂和联系实际等特点被奉为代数教科书 4 的鼻祖 花拉子米的算术著作 只有一种译本流传下来 就是 14 世纪中叶翻译的拉丁文译本手 稿 现存剑桥大学图书馆 1857 年由意大利数学史家 b 邦孔帕尼 bpagni 在罗马出版 书名为 trattati d aritmetica publlcati da baldassare bpa gni algoritmi de numero indorum 以后 这部著作的拉丁文译本就定名为 algoritmi de numero indorum 其中 algoritmi 本是 花拉子米的拉丁文译名 可是被人理解为印度的读数法 后来它竟演变成表示任何系统或 计算系列的 算法 的专业术语 这份手稿由于反复传抄 其中有多处译文不准确 还出 现一些空白 现代科学史家根据其他一些有关著作 进行了认真的比较研究 恢复了它的 本来面貌 我们把这部著作的名称译为 印度的计算术 该书是一部专门讲述印度数码及其计算法的著作 作者首先讲述了印度人使用 9 个数 码和零号记数的方法 这种方法体现了十进位值制记数原理 任何一个整数都能很简单地 表示出来并进行计算 作者还给出四则运算的定义和法则 例如乘法定义为重复相加 除 法定义为重复相减 具体地说 两数相乘 就是把其中一个数按另一个数的大小增加倍数 其结果为乘积 两数相除 就是把其中较大的数按较小的数的大小分成若干部分 用较大 的数减较小的数 能减去多少个 商就是多少 花拉子米特别提出倍乘法和倍除法 即乘 以 2 和除以 2 的运算 古埃及人是很重视这两种运算的 花拉子米强调它们是为了帮助学 生记忆开平方的法则 花拉子米在该书中给出的开平方的方法 用现代符号表示 相当于 下列近似公式 计算结果中的分数部分表示为 60 进位分数 书中还专门讲述了分数理论 花拉子米把分数分为 能读的 和 不 能读的 在阿拉伯语中用两个以上的复合词来表示 分数的表示法与 用现代阿拉伯数码 3 8 1 3 2 11 分子在上 分母在下 带分数的整数部分又在分数部分之上 中国科学史家推测 这 种表示法可能是由中国经印度传入阿拉伯世界的 花拉子米在这部著作中列表给出分数乘法的例子 即 从这个计算表格可以看出 计算步骤是先通分 然后相乘 5 通分母时没有取最小公倍数 这个例子表明 花拉子米时代的阿拉伯学者掌握把一般分数 化为单分子分数的方法 印度的计算术 一书有着特殊的历史作用 它是第一部用阿拉伯文撰写的在伊斯兰 国家介绍印度数码和记数法的著作 它的问世对十进位值制记数法在中东 近东和欧洲各 国的传播和普及起到了决定作用 阿拉伯人最初只有数词 没有数码字 在征服埃及 叙 利亚等地之后 他们开始使用希腊字母记数法 公元 773 年 另一说 771 年 印度学者把 他们著名的悉檀多 即历数书 带入阿拔斯王朝阿尔曼苏的宫庭中 印度的数码字和记数法 从此传入伊斯兰世界 花拉子米的 印度的计算术 极大地推动了印度数码和记数法在阿 拉伯国家的传播 12 世纪时 这部著作传入欧洲各国 对欧洲数学的发展也产生了显著的 影响 印度数码逐渐代替了希腊字母记数系统和罗马数字等 最终成为世界通用的数码 字 在 12 13 世纪 出现了一批直接受 印度的计算术 影响而编写的算术书 在意大利 有 l 斐波那契 fibonacci 的 算盘书 liber abaci 在英国 有 j de 萨克罗博斯 科 sacrobosco 的 算法书 algorismus 在法国 有 a de 维尔迪厄 villedieu 的 算法歌 carmen de algorismi 在德国 有 n de 约丹努斯 jordanus 的 算法论证 algorismus demonstratus 等 这些著作又从拉丁文译成多种文字 通行了几个世纪 对 印度数码和记数法引进欧洲起到重要作用 花拉子米对几何学也有一定贡献 在他的 代数学 中 有一章名为 测量篇 专门 讲述图形和物体的测量 关于平面图形 他主要研究了三角形 四边形和圆 他对三角形 和四边形进行分类 建立了相应的测量公式 他使用的圆面积近似公式为 此处 d 为直径 s 为弦所对弧长 a 为弦长 h 为弦心距 花拉子米还研究了棱柱 圆 柱 棱锥 圆锥和棱台等立体的体积测量问题 在 测量篇 中 可以发现一些来自印度 数学的资料 以及来自希腊数学家海伦的 度量论 中的内容 可见花拉子米是熟悉古代 印度和希腊的学术遗产的 花拉子米在天文学 地理学和历史学等方面也有重要贡献 天文学在中世纪东方精密 科学中占有重要地位 古希腊和印度的天文学对中世纪伊斯兰世界天文学发展有很大影 响 8 世纪以后希腊天文学论著陆续译成阿拉伯文 印度天文学知识也在 8 世纪末传入巴 格达 9 世纪开始出现第一批用阿拉伯文撰写的天文学著作 其中为解决天文学问题所需 的三角表和天文表的汇编称为积尺 相当于印度的悉檀多 借助这