安徽省皖江名校联盟2020届高三数学第一次联考试题 理（含解析）

1 安徽省皖江名校联盟安徽省皖江名校联盟 20202020 届高三数学第一次联考试题届高三数学第一次联考试题 理 含解析 理 含解析 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6 6 分在每小题给出的四个选项中 只有一项分在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 已知集合 则 32 ln0axxbxx ab a b 3 2 1 0 1 1 2 c d 31xx 12xx 答案 d 解析 分析 根据集合的基本运算进行求解即可 详解 由得 所以 ln0 x 1x 1bx x 12 abxx 故选 d 点睛 该题考查的是有关集合的运算 属于简单题目 2 已知复数 则下列说法正确的是 1 34 z i a 复数的实部为 3b 复数的虚部为 zz 4 25 i c 复数的共轭复数为d 复数的模为 1 z 34 2525 i 答案 c 解析 分析 直接利用复数的基本概念得选项 详解 13434 34252525 i zi i 2 所以的实部为 虚部为 z 3 25 4 25 的共轭复数为 模为 z 34 2525 i 22 341 25255 故选 c 点睛 该题考查的是有关复数的概念和运算 属于简单题目 3 椭圆的一个焦点坐标为 22 1 916 xy a 5 0 b 0 5 c d 7 0 0 7 答案 d 解析 分析 根据题中所给的椭圆的方程 可得的值 并且可以判断焦点所在轴 从而求得椭圆的焦 a b 点的坐标 详解 因为 所以 故椭圆的上焦点的坐标是 4 3ab c7 22 1 916 xy 0 7 故选 d 点睛 该题考查的是有关椭圆的性质 属于简单题目 4 已知 则 0 4 4 logm 0 4 4n 0 5 0 4p a b mnp mpn c d pnm npm 答案 b 解析 分析 利用指数函数和对数函数的单调性即可得出结果 详解 因为 所以 0 40 5 4 log 0 4 0 41 00 41mnp mpn 3 故选 b 点睛 该题考查的是有关指数函数和对数函数的单调性 比较大小 属于基础题目 5 曲线在处的切线方程为 32 x yxx e 1x a b 75 x yee 79 x yee c d 35 x yee 35 x yee 答案 a 解析 分析 求出函数的导数 求出切线的斜率 切点坐标 之后应用点斜式写出切线方程 化简得结果 详解 232 32 xx yxx exxe 所以 又时 1 7 x ye 1x 2ye 所以所求切线方程为 即 271yee x 75yexe 故选 a 点睛 该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题 涉及到的知识点有导数的几 何意义 求导公式 属于简单题目 6 设等差数列的前项和为 若 则 n a nn s 415 11 15as 2 a a 18b 16c 14d 12 答案 b 解析 分析 利用等差数列求和公式以及等差数列的性质 可以求得 结合 求得公差 8 1a 4 11a 从而求得的值 1 115 42 d 2 a 4 详解 因为 所以 又 115 158 15 1515 2 aa sa 8 1a 4 11a 所以公差 所以 1 115 42 d 24 211 516aad 点睛 该题考查的是数列的有关问题 涉及到的知识点有等差数列的求和公式 等差数列 的性质 通项公式基本量的计算 属于简单题目 7 要得到函数的图象 只需将函数的图象 2sin3yx sin3cos3yxx a 向右平移个单位长度b 向右平移个单位长度 3 4 2 c 向左平移个单位长度d 向左平移个单位长度 4 2 答案 c 解析 分析 根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论 详解 因为 sin3cos32sin 3 4 yxxx 所以将其图象向左平移个单位长度 4 可得 2sin 32sin 32sin3 44 yxxx 故选 c 点睛 该题考查的是有关图象的平移变换问题 涉及到的知识点有辅助角公式 诱导公式 图象的平移变换的原则 属于简单题目 8 若 5 个人按原来站的位置重新站成一排 恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 a b c d 1 2 1 4 1 6 1 8 5 答案 c 解析 分析 根据题意 分 2 步分析 先从 5 个人里选 2 人 其位置不变 其余 3 人都不在自己原来的 位置 分析剩余的 3 人都不在自己原来位置的站法数目 由分步计数原理计算可得答案 详解 根据题意 分 2 步分析 先从 5 个人里选 2 人 其位置不变 有种选法 2 5 10c 对于剩余的三人 因为每个人都不能站在原来的位置上 因此第一个人有两种站法 被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上 因此三个人调换有 2 种调换方法 故不同的调换方法有种 而基本事件总数为 10 220 5 5 120a 所以所求概率为 201 1206 故选 c 点睛 该题考查的是有关古典概型求概率的问题 涉及到的知识点有分步计数原理 排列 组合的综合应用 古典概型概率求解公式 属于简单题目 9 定义在 r 上的奇函数满足 当时 则不等式 f x 0 x xx f xee 的解集为 2 230f xxf a 1 3 b 3 1 c d 13 31 答案 a 解析 分析 根据题意 可知当时 从而利用导数的符号判断得出函数是 r x r 1 x x f xe e f x 6 上的单调递增函数 所以得到 利用函数的单调性得到 2 23f xxf 2 230 xx 解不等式求得结果 详解 由题意可知 当时 所以 x r 1 x x f xe e 1 0 x x fxe e 是 r 上的单调递增函数 f x 故由 得 2 230f xxf 2 23f xxf 即 解得 2 230 xx 13x 故选 a 点睛 该题考查的是有关函数的问题 涉及到的知识点有奇函数的解析式的求解 函数的 单调性的判断与应用 属于简单题目 10 过原点作直线的垂线 垂足为p 则p到直线 o 2220lmn xmn ymn 的距离的最大值为 30 xy a b c d 21 22 2 21 2 22 答案 a 解析 分析 将直线 化为 可 l 2220mn xmn ymn 2220 xymxyn 得直线 经过定点 从而可以判断得出的轨迹是以为直径的圆 圆心为 l 0 2q p oq 0 1 半径为 1 利用点到直线的距离公式 可得点到直线的距离的最大值为 p 30 xy 21 详解 整理得 2220mn xmn ymn 2220 xymxyn 由题意得 解得 220 20 xy xy 0 2 x y 所以直线 过定点 l 0 2q 7 因为 所以点的轨迹是以为直径的圆 圆心为 半径为 1 opl p oq 0 1 因为圆心到直线的距离为 0 130 xy 2 2 2 d 所以到直线的距离的最大值为 p 30 xy 21 点睛 该题考查的是有关动点到直线的距离的最值问题 涉及到的知识点有动直线过定点 问题 动点的轨迹 圆上的点到直线的距离的最值 点到直线的距离公式 属于简单题目 11 已知圆锥的母线长 为 4 侧面积为s 体积为 则取得最大值时圆锥的侧面积为 lv v s a b c d 2 2 3 2 6 2 8 2 答案 d 解析 分析 设底面半径为 r 高为 h 利用题的条件 可得 之后应用公式表示出 2222 4 16rhl 利用基本不等式得出取得最大值时对应的条件 得出答案 v s v s 详解 设圆锥的底面半径为 r 高为 h 则 2222 4 16rhl 所以 当且仅当时取等号 此时 2 22 1 11162 3 121221223 r h vrhrh srl 2 2rh 侧面积为 1 22 248 2 2 点睛 该题考查的是有关圆锥的问题 涉及到的知识点有圆锥的性质 母线 高 底面圆 的半径之间的关系 圆锥的体积与侧面积公式 基本不等式 属于简单题目 12 已知点a是双曲线的右顶点 若存在过点的直线与双 22 22 10 0 xy ab ab 3 0na 曲线的渐近线交于一点m 使得是以点m为直角顶点的直角三角形 则双曲线的离心 amn 8 率 a 存在最大值b 存在最大值 3 2 4 2 3 3 c 存在最小值d 存在最小值 3 2 4 2 3 3 答案 b 解析 分析 根据题意 写出其右顶点的坐标 写出双曲线的渐近线方程 取 设出点 m 0a a b yx a 的坐标 从而得到 根据题意可 b m mm a b ammam a 3 b nmmam a 得 从而得到 进一步整理得 0am nm 2 30 b mamam a 根据方程有解 利用判别式大于等于零 求得 进 2 22 2 1430 b mama a 22 3ab 一步求得其离心率的范围 得到结果 详解 双曲线的右顶点 22 22 1 0 0 xy ab ab 0a a 双曲线的渐近线方程为 b yx a 不妨取 b yx a 设 则 b m mm a b ammam a 3 b nmmam a 若存在过的直线与双曲线的渐近线交于一点 3 0na m 使得是以为直角顶点的直角三角形 amn m 则 即 0am nm 2 30 b mamam a 9 整理可得 2 22 2 1430 b mama a 由题意可知此方程必有解 则判别式 得 2 22 2 161210 b aa a 22 3ab 即 解得 222 33aca 2 3 1 3 c e a 所以离心率存在最大值 2 3 3 故选 b 点睛 该题考查的是有关双曲线的性质的问题 涉及到的知识点有双曲线的渐近线 向量 的坐标公式 向量垂直的条件 方程有解的条件 双曲线的离心率 属于简单题目 第第 卷卷 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 请把正确的答案填在横线上分 请把正确的答案填在横线上 13 已知向量 且与垂直 则 2 3 1 abm a ab m 答案 11 3 解析 分析 根据题意 可求得 由于与垂直 结合向量数量积坐标公式可得 1 3abm a ab 从而求得的值 得到结果 23 30m m 详解 向量 2 3a 1 bm 1 3abm 与垂直 解得 a ab 23 30m 11 3 m 故答案是 11 3 点睛 该题考查的是有关向量的问题 涉及到的知识点有向量加法坐标运算 向量垂直的 条件 向量数量积坐标公式 属于简单题目 10 14 已知所有项均为正数的等比数列的前项和为 若 则公比 n a n s 1 1a 44 21sa q 答案 4 解析 分析 根据题意可得 设等比数列的公比为 利用等比数列的求和公式表示出 得出 3 21s q 3 s 关于的方程 求解即可得到的值 qq 详解 由题意得 所以 44 21sa 3 21s 又 所以 1 1 a 3 3 1 21 1 q s q 解得或 舍 4q 5q 所以 4q 故答案是 4 点睛 该题考查的是有关数列的问题 涉及到的知识点有等比数列的求和公式 属于简单 题目 15 二项式的展开式中 的系数为 7 2 3 x x 4 x 答案 28 3 解析 分析 写出二项展开式的通项 由的指数等于 4 求得的值 得到结果 xr 详解 展开式的通项公式为 7 2 3 x x 11 13 7 7 22 177 22 33 r r r rrr r tcxxcx 令 解得 3 74 2 r 2r 故所求系数为 2 2 7 228 33 c 故答案是 28 3 点睛 该题考查的是有关二项式定理的问题 涉及到的知识点有二项展开式中指定项的系 数的问题 二项展开式的通项 属于简单题目 16 已知角 且满足 则 用表示 3 0 22 1 sin tan cos 答案 5 2 2 解析 分析 化切为弦 整理后得到 利用诱导公式可得 sincos sinsin 2 结合题中所给的角的范围 最后确定出 从而得到结果 5 2 2 详解 由得 1 sin tan cos sin1 sin coscos 所以 即 sin coscos1 sin sincos 结合诱导公式得 sinsin 2 因为 所以 3 0 22 3 222 12 由诱导公式可得 易知 sinsin 2 2 3 2 22 因为在上单调递减 所以 即 sinyx 3 2 2 2 2 5 2 2 法二 法二 由得 1 sin tan cos sincostan1 222 tantan 24 cossin1tan 222 所以 tantan 24 因为 所以 3 0 22 244 2 由诱导公式可得 即 tantan tantan 24 因为在上单调递增 所以 即 tanyx 0 2 24 5 2 2 点睛 该题考查的是有关三角函数恒等变换的问题 涉及到的知识点有同角三角函数关系 式 正弦差角公式 诱导公式 属于简单题目 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写分解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写 在答题卡上的指定区域内在答题卡上的指定区域内 17 在中 内角所对的边分别为 且 abc a b c a b c 222 coscossinsinsin cbaac 1 求角的大小 b 2 若的面积为 求的值 abc 3 3 13b ac 答案 1 2 7 3 解析 分析 1 利用同角三角函数关系和正弦定理可将已知关系式化为 利用余弦定 222 acbac 13 理可求得 从而得到 2 利用三角形面积公式可求得 利用余弦定理可构造 cosb bac 关于的方程 解方程求得结果 ac 详解 1 2222222 ccos1 sin1 sinsinsiosnsinsinsincbcbbcaac 由正弦定理得 即 222 bcaac 222 acbac 222 1 cos 22 acb b ac 0 b 3 b 2 113 sinsin3 3 2234 sacbacac 12ac 由余弦定理可得 22 222 2cos22cos3613 3 bacacbacacacac 即 2 49ac 7ac 点睛 本题考查正弦定理 余弦定理解三角形 三角形面积公式的应用问题 属于常规题 型 18 如图所示的多面体中 四边形是边长为 2 的正方形 abcdefabcd 平面 1 2 edfb debf abfb fb abcd 1 设bd与ac的交点为 o 求证 平面 oe acf 2 求二面角的正弦值 eafc 答案 1 证明见解析 2 6 3 14 解析 分析 1 根据题意 推导出面 结合线面垂直的判定定 ed abcddeac oeof 理证得面 oe acf 2 以为原点 方向建立空间直角坐标系 利用面的法向量所成角的 ddadcde 余弦值求得二面角的余弦值 之后应用平方关系求得正弦值 得到结果 详解 1 证明 由题意可知 面 ed abcd 从而 又为中点 rt edart edc eaec oac 在中 deac eof 3 6 3oeofef 又 222 oeofef oeof acofo 面 oe acf 2 面 且 ed abcddadc 如图以为原点 方向建立空间直角坐标系 ddadcde 从而 0 0 2 2 1 0e1 2a0 0c0 2f2 1o0 由 1 可知 1 是面的一个法向量 1eo 1 afc 设 为面的一个法向量 nx y z aef 由 令得 220 20 af nyz ae nxz 1x 1n 2 2 设为二面角的平面角 eafc 15 则 3 coscos 3 eon eo n eo n 6 sin 3 二面角的正弦值为 eafc 6 3 点睛 该题考查的是有关立体几何的问题 涉及到的知识点有线面垂直的判定 利用空间 向量求二面角的余弦值 同角三角函数关系式 属于简单题目 19 抛物线的焦点是f 直线与c的交点到f的距离等于 2 2 20c ypx p 2y 1 求抛物线c的方程 2 一直线交c于a b两点 其中点在曲线 1 0l xkyb bk b k 上 求证 fa与fb斜率之积为定值 2 2 348xy 答案 1 2 证明见解析 2 4yx 解析 分析 1 根据题意 结合抛物线的定义可得点 p 的坐标为 代入抛物线方程可得 2 2 2 p p 从而求得抛物线的方程 2p 2 联立方程组 消元可得 设出两点的坐标 2 440ykyb 2 1 1 4 y ay 2 2 2 4 y by 由韦达定理可得 根据点在曲线上 可 12 4yyk 12 4y yb b k 2 2 349xy 得 整理求得 得到结果 22 461bkb 1 fafb kk 详解 1 由知到准线的距离也是 2 2pf p 点横坐标是 p 2 2 p 将代入 得 2 2 2 p p 2 2ypx 2p 抛物线的方程为 c 2 4yx 16 2 证明 联立得 2 4yx xkyb 2 440ykyb 设 2 1 1 4 y ay 2 2 2 4 y by 则 12 4yyk 12 4y yb 因为点在曲线上 b k 2 2 349xy 所以代入整理可得 则 22 461bkb 1212 2222 22 12 1212 12 4 1 421 11 1 44 1642 fafb y yy yb kk bkbyy y yyyy y 点睛 该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题 涉及到的知识点有抛物线的定义 直线 与抛物线的位置关系 点在曲线上的条件 两点斜率坐标公式 属于简单题目 20 设函数为常数 sin 0 2 f xaxx xa 1 若函数在上是单调函数 求的取值范围 f x 0 2 a 2 当时 证明 1a 3 1 6 f xx 答案 1 2 证明见解析 01 解析 分析 1 对函数求导 单调分单调增和单调减 利用或 cos0fxax 在上恒成立 求得实数的取值范围 cos0fxax 0 2 a 2 利用导数研究函数的单调性 求得结果 详解 1 由得导函数 其中 sinf xaxx cosfxax 0cos1x 当时 恒成立 1a 0fx 17 故在上是单调递增函数 符合题意 sinf xaxx 0 2 当时 恒成立 0a 0fx 故在上是单调递减函数 符合题意 sinf xaxx 0 2 当时 由得 01a cos0fxax cosxa 则存在 使得 0 0 2 x 0 cosxa 当时 当时 0 0 xx 0 0fx 0 2 xx 所以在上单调递减 在上单调递增 0 0fx f x 0 0 x 0 2 x 故在上是不是单调函数 不符合题意 f x 0 2 综上 的取值范围是 a 01 2 由 1 知当时 1a sin00f xxxf 即 故 sinxx 2 2 sin 22 xx 令 33 11 sin 0 662 g xf xxaxxxx 则 2 2222 111 cos12sin121 22222 xx gxaxxaxaxa 当时 所以在上是单调递减函数 1a 10gxa g x 0 2 从而 即 00g xg 3 1 6 f xx 点睛 该题考查的是有关导数的应用 涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参 数的取值范围 利用导数证明不等式 属于中档题目 18 21 某电子公司新开发一电子产品 该电子产品的一个系统g有 3 个电子元件组成 各个电 子元件能否正常工作的概率均为 且每个电子元件能否正常工作相互独立 若系统c中有 1 2 超过一半的电子元件正常工作 则g可以正常工作 否则就需要维修 且维修所需费用为 500 元 1 求系统不需要维修的概率 2 该电子产品共由 3 个系统g组成 设e为电子产品需要维修的系统所需的费用 求的分 布列与期望 3 为提高g系统正常工作概率 在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件 每个新元件正常工作的概率均为 且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作 则 c 可 p 以正常工作 问 满足什么条件时 可以提高整个g系统的正常工作概率 p 答案 1 2 见解析 3 当时 可以提高整个系统的正常工作概率 1 2 1 1 2 p g 解析 分析 1 由条件 利用独立重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不 需要维修的概率 2 设为维修维修的系统的个数 根据题意可得 从而得到 x 1 3 2 xb 500x 利用公式写出分布列 并求得期望 3 根据题意 当系统有 5 个电子元件时 分析得出系统正常工作对应的情况 分类得 g 出结果 求得相应的概率 根据题意列出式子 最后求得结果 详解 1 系统不需要维修的概率为 23 23 33 1111 2222 cc 2 设为维修维修的系统的个数 则 且 x 1 3 2 xb 500x 所以 3 3 11 500 0 1 2 3 22 kk k pkp xkck 19 所以的分布列为 050010001500 p 1 8 3 8 3 8 1 8 所以的期望为 1 500 3750 2 e 3 当系统有 5 个电子元件时 g 原来 3 个电子元件中至少有 1 个元件正常工作 系统的才正常工作 g 若前 3 个电子元件中有 1 个正常工作 同时新增的两个必须都正常工作 则概率为 2 122 3 113 228 cpp 若前 3 个电子元件中有两个正常工作 同时新增的两个至少有 1 个正常工作 则概率为 22 21222 323 11113 12 22228 ccppcppp 若前 3 个电子元件中 3 个都正常工作 则不管新增两个元件能否正常工作 系统均能正常工作 则概率为 g 3 3 3 11 28 c 所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为 g 22 33131 2 88848 pppp 于是由知 当时 即时 3113 21 4828 pp 210p 1 1 2 p 可以提高整个系统的正常工作概率 g 点睛 该题考查的是有关概率的问题 涉及到的知识点有独立重复试验 二项分布 分布 列与期望 概率加法公式 属于中档题目 请考生从第请考生从第 2222 2323 题中任选一题做答 并用题中任选一题做答 并用 2 2 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方 20 框涂黑 按所涂题号进行评分框涂黑 按所涂题号