客观评价学生学习状况数学建模

1 东华理工大学东华理工大学 数学建模一周论文数学建模一周论文 论文题目 论文题目 客观 合理评价学生学习状况的数学模型 姓名姓名 1 学号 学号 1 姓名姓名 2 学号 学号 1 姓名姓名 1 学号 学号 1 专专 业 业 软件工程 电子商务 软件工程 电子商务 班班 级级 10211123 指导教师指导教师 乐励华乐励华 2012 年年 6 月月 12 日日 2 客观 合理评价学生学习状况的数学模型 摘 要 现行的评价方式单纯根据 绝对分数 评价学生的学习状况 仅凭一次考试结果对学 生定级是不合理的 忽视了不同基础水平学生的进步程度 本文更注重学生学习过程 把学 生进步幅度成绩作为成绩评价的标准 运用黑尔指数转换法 并运用线性回归分析 matlab 等手段求解模型中的相关量 使不同基础水平学生进步幅度成绩得以比较 客观地反映出 了每个学生学习的进步幅度 起到激发学生努力学习和增强自信的作用 通过以上考虑 本文试图通过回答以下 3 个问题来达到目的 一 题目给出学生成绩数据 通过分析和通过所给数据 得到图表 整体情况为 及格率均在 90 以上 并逐年增长 平均分在 70 分以上 整体成绩良好 二 为了体现学生成绩进步在整体评价中的作用 采用学生每个学期的成绩和进 步情况作为指标 我们采用了模糊层次分析和灰色关联分析两种方法 综合考虑到每 次考试的难易度不同等诸多因素 我们将 进步度 进步率 学生的成绩平均分 通过 糊层次分析方法得出最后求出各个因素的权重向量为 再利用模糊层次分析方法得出学 2400 0 1800 0 1800 0 1030 0 1033 0 0967 0 0900 0 W 生 学习状况的综合评定指标如下 i 11223344556677iiiiiiii Ckxkxkxkxkxkxkx 再则利用标准分和由黑尔指数法求得的进步分数进行评价 根据灰色关联度分析法得 到各指标的关联度 又由于灰色关联分析法是等权划分 不能显示出各指标的重要性 差异 所以我们运用模糊层次分析法中得到的权重 由此可以得到较为客观的综合评 价模型 总和评价结果 各个指标的权重与取值的乘积之和 三 根据不同的评价方法预测这些学生后两个学期的学习情况 我们用到多元线性回 归预测和灰色预测 1 多元线性回归预测模型 分析了四个学期数据的相关性 证明可以运用多元线性 回归模型预测 并得到有较好精度的数据 2 灰色预测模型 用matlab编程实现了GM 1 1 预测过程 并得到了有很好精度的预 测数据 灰色预测模型利用matlab编辑预测函数 1 0 kxi 1 1 kxi 1 kxi 1 1 0aak i ee a u x 算出第 i 个学生第 j 学期的预测成绩再利用这个函数来分别算出已知学期学生的成绩与 原始的数据进行残差检验 分别求出他们的绝对误差与相对误差判断得知该模型型建 立是合理 客观和全面的 关键字 关键字 黑尔指数转换 模糊层次分析 有效成绩 多元线性回归预测 权重 GM 1 1 的改进 3 一 问题重述问题重述 评价学生学习状况的目的是激励优秀学生努力学习取得更好的成绩 同时鼓励基 础相对薄弱的学生树立信心 不断进步 然而 现行的评价方式单纯的根据 绝对分 数 评价学生的学习状况 忽略了基础条件的差异 只对基础条件较好的学生起到促 进作用 对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用 故而 建立合理的数学模型 来解决这类问题是势在必行的 根据本课题的问题分析如下 根据统计学知识 我们认为这 612 名学生的整体情况应该包括每个学期整体的平 均成绩 最高分 最低分 极差 中位数 方差 标准差 偏度等多项指标 通过附 表所给的数据进行统计整理 我们可以得到各学期的相关指标 并对其分布进行正态 性检验 通过各项指标的对比还可以对四个学期成绩分布之间的相关性进行研究 我 们也可由此对学生的整体情况进行全面 直观 科学的说明 我们也可认为评价一个 学生的学习状况可以有多方面的因素 诸如学习环境 学习基础 考试难度 进步状 况等 但是由于附件中只给出了 612 名学生连续四个学期的综合成绩 如果从多个因 素着手就会脱离客观现实 具有不可操作性 因此 我们只能着眼于学生的学习综合 成绩和进步状况 本题所用的两种模型就只针对这两类因素展开 层次分析图如下 目标层 准则层 指标层 对于该问题我们采两个不同的模型进行 一 我们考虑到的是成绩与进步度的影响因素 由于每学期的难易度不同 我们可以将其转换成 标准分 这样既降低了这方面的误差 又排除了不同基础 水平的同学进步情况受影响的因素 可以令进步度 进步率 学生的成绩平均分 学习综合评价学习综合评价 A A 学生实际成绩学生实际成绩 1 B学生成绩进步情况学生成绩进步情况 2 B 第第 一一 学学 期期 成成 绩绩 C1 第第 二二 学学 期期 成成 绩绩 C2 第第 三三 学学 期期 成成 绩绩 C3 第第 四四 学学 期期 成成 绩绩 C4 第第 二二 学学 期期 成成 绩绩 C5 第第 三三 学学 期期 成成 绩绩 C6 第第 四四 学学 期期 成成 绩绩 C7 4 接着就可以根据模糊层次分析的原理进行建模与求解 二 灰色关联分析法是一种多因素统计分析方法 对信息不精确 不完全确 定的小样本系统有明显的分析优势 其核心是关联度的计算 但如果没有考虑各指 标重要性差异和允许指标属性之间相互线性补偿 将导致信息的流失 并且产生较 大的误差 运用模糊层次法能够对每个评价指标的重要程度予以充分的考虑和保证 客观地揭示各评价指标的重要性 因此 评价过程可以运用模糊层次分析法来确定 评价指标的权重 建立基于灰色关联度的灰色综合评价模型 观察数据我们可以想到的是基本的统计回归接着进行运算即可 接着再进行相 应的残差分析 判断数据的可行性而模糊预测模型通过对原始数据的生成处理来寻 求系统变动的规律 生成数据序列有较强的规律性 可以用它来建立相应的微分方 程模型 从而预测事物未来的发展趋势和未来状态 二 二 模型的假设及符号说明模型的假设及符号说明 3 1 3 1 模型的假设模型的假设 1 设每个学期的学生总人数不会变动 且学习能力保持不变 2 设每位学生所处的学习考试环境相同 3 设各个学期的总和成绩的满分为 100 分 4 设附件数据中的两个零是由特殊情况所致 5 设各个学期记分方式相同 3 2 3 2 符号说明符号说明 i 第 个学生 i6122 1 i j 第个指标 j7 2 1 j ij x 第 名学生针对第个指标的原始数据ij i Z 第 名学生的相对重要程度函数值i kyi与在第点的关联系数 i Z 1 Zk ij S 第 名学生针对第个指标标准化后的数据 ij 分辨系数 jx 第个学期学生的总体平均分j j s 分别是每个学期的学生总体与标准差j 1 2 3 4 ij r 下层第 个元素相对于第个元素的模糊关系ij 5 i C 第 个学生的评价分i ij s 第 个学生第j个学期的标准分 j 1 2 3 4i i s 第 个学生四个学期的平均分i ij c 第 个学生第j个学期的进步度 j 2 3 4i i k 第i个因素的指标 i 1 2 3 4 5 6 7 k m 各个学期名次为k的平均分 0 w 准则层对目标层的权值 1112 w w 指标层对准则层的权值 三 三 模型的建立与求解模型的建立与求解 一一 对学生整体成绩进行分析对学生整体成绩进行分析 利用附件中所给的数据进行统计 数据处理时把成绩分为四个等级 80 分及以上 的为优秀 70 分到 80 分之间的为良好 60 分到 70 分之间的为合格 小于 60 分的为 不及格 根据所给 Excel 可以看出 四个学期的学习成绩良好及以上同学居多 且不 及格人数逐年减少 运用 Excel 对统计后的数据进一步分析与计算得到的表格如下 平均分 72 8855568174 8533367373 7626300475 93762224 最高分 89 4590 8518518590 6158490689 625 最低分 27 5312519 1818181822 0526315819 43023256 极差 61 9187571 6700336768 5632174870 19476744 中位数 74 5208333376 9393939474 4033018976 745 总分 43658 4485344837 148744183 8153945486 63572 方差 81 3942362389 6640905458 1411209456 29434797 标准差 9 0218754279 4691124477 625032527 502955949 偏度 0 577725994 0 380977955 0 4885781210 974336831 优秀人数 138205130194 良好 273243301284 合格 136109143105 不及格 52422516 及格 547557574583 及格率 0 893790850 9101307190 9379084970 952614379 分数 90 0210 表 1 6 由上表可以得出 一 二 三学期的偏度为负 说明呈负偏态分布 即分数小于 平均分的学生比大于平均分的学生多 第四学期的偏度为正 说明呈正偏态分布 即 分数大于平均分的学生比小于平均分的学生多 由此说明学生的整体成绩提高了 同 时我们还可以得到以下结论 1 四个学期的及格率均在 89 以上 可以肯定大部分学生的学习能力 2 第一 二学期的标准差较第三 四学期的大 说明前两个学期的分数较为 分散 学生的差距较大 3 四个学期中 分数大于 90 分的学生比较少 所以该学校应该加强尖子生这 块的培养 4 四个学期的总平均成绩在 73 分左右 学生的总体学习情况良好 由表可得 四个学期的平均成绩分别为 73 1 X74 2 X73 3 X75 4 X 协方差 相关性系数 ovYEXEXYEYXC YDXD YXCov YX 由附件数据可得 因此第二学期成绩与第一学期成绩存在正非76 0 21 XX 线性相关关系 同理可得第三 四学期成绩与第一学期成绩也存在正非线性相关关系 二二 评价学生的学习情况评价学生的学习情况 1 1 数据处理 数据处理 黑尔指数转换 黑尔指数转换 用指数方差确定进步幅度和难度 并根据高低分着的进步幅度 一 不同的难度权重 最后根据两粗测验获得的 进步分 的多少来进行评价 1 根据原始的黑尔指数表格 表 1 回归分析出 T 分与进步分公式 根据黑尔指数换算表回归分析出T分与相应的进步分y的关系 得 T y0473 1 09966 0 到了进步分 ij y 先是利用公式 其中是第 个学生第个学期的成绩 j jij ij x xx T 1050 ij xij jx 分别是每个学期的学生总体的平均分与标准差 利用这个公式将成绩装换为T分 j x 可将两学期两次额成绩分别转换成 T 分 然后将 T 分转换为进步分 见附录 以下表是取序号排列 1 10 的学生为例所求的进步分 学生序号T 分进步分 T 进步分 T 进步分 T 1 56 79 13 75 50 43 10 25 51 24 10 64 49 24 2 53 24 11 67 49 08 9 63 58 24 14 71 55 40 339 01 6 05 35 68 5 18 44 82 7 91 43 59 460 74 16 51 58 34 14 77 53 70 11 92 51 41 553 74 11 94 58 26 14 72 54 89 12 60 52 46 656 03 13 28 41 43 6 76 53 19 11 64 50 95 753 97 12 07 51 06 10 55 39 19 6 10 38 64 7 837 78 5 71 34 76 4 97 30 82 4 14 31 28 946 42 8 51 51 87 10 96 47 65 9 01 46 08 1052 76 11 42 45 42 8 13 52 41 11 23 50 27 表2 分数的转换 分数的转换 由于学期的考试难度不同 将各学期的成绩分别强制重新分布 即分 别将没学期的成绩进行排名 再算出该名次四学期的平均分 j 1 2 612 则若学 i m 生在学期的成绩名次为k 则就为第k名次的分数 称为标准分 转换表见附录1 j ij s 现在先已前10个学生为例 以下均以前20个学生为例 学生序号学期 1学期 2学期 3学期 4名次 180 1708673 6098275 4834375 93652294 276 7651872 6018981 7392473 71727350 364 9219761 0985768 9610166 35911510 483 8326682 2995277 8896179 8259172 577 2014182 1287678 8994282 33829102 679 4155665 7870577 3789470 81329423 777 4208574 1694862 4396263 06503551 863 6605460 0806153 9064320 8267611 970 6560474 9701871 9538772 32588387 1076 2902169 3959876 5916268 48538477 表3 1 模糊层次分析模型模糊层次分析模型 模型原理 模型原理 模糊层次分析法采用0 1 0 9标度法 见附录1 能够准确地描述任 意两个因素之间关于某准则的相对重要程度 且由优先判断矩阵改造成的模糊一致 矩阵满足加性一致性条件即 就是的任意两行的对应元素之差为 2 1 jkikij rrrR 常数 无须再做一致性检验 另外模糊层次分析法还解决了解的收敛速度及精度问 题 具体步骤如下 1 建立优先关系矩阵 优先关系矩阵是每一层次中的因素针对于上层因素的相对重 要性两两比较建立的矩阵 也称为模糊互补矩阵 即 111 1 R n ijn n nnn rr r rr 其中表示下层第i个元素相对于第j个元素的模糊关系 而因素间两两重要性比较 ij r 与因素重要程度权重之间的关系为 越大 ij r ji ww wwr jiij 5 05 00 表示决策者越重视因素间重要程度的差异 将采用0 1 O 9标度给予数量表示 且 1 ij r ijji rr 8 2 将优先关系矩阵改造成模糊一致矩阵利用加性一致性 记0 5 ijikjk rrr 做变换 将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵 1 1 2 n iik k rr in i ij r r0 5 2 j r n 3 根据公式 可以算出的排序向量 1 1111 1 2 22 n iij j n wrin a nana R 越小表示决策者越重视因素间重要程度的影响 推导出各因 T n wwwW 2 1 a 素权重值 4 将各层次间的重要性权值转化为相对于总目标的综合权重 5 根据考评结果得出优劣次序 模型的建立与求解 模型的建立与求解 评价指标体系如上个模型的指标体系将学生学习情况的评价层定为目标层 评价 中主要涉及的两个方面定为准则层 构造优先关系矩阵并计算各因素权重值 在层次结构表的基础上建立优先关系矩阵 然后将优先关系矩阵改造为模糊一致矩阵如下 1 优先关系矩阵及转换成模糊一致矩阵 构造优先关系矩阵 为了显示重视每个因素间重要程度间的影响取 5 0 5 05 0 jiij wwr 将优先矩阵转换成模糊一致矩阵 则 i ij r r0 5 2 j r n 假设令成绩进步情况相对于实际成绩的权重值为 0 3 0 7则 A B 的优先关系矩阵 A B 模糊一致矩阵 0 50 3 0 70 5 0 50 4 0 60 5 假设令后一个成绩均比前一给成绩权重大为则为 0 1 0 2 0 3 0 4b C 的优先关系矩阵 1 B 0 50 450 40 35 0 550 50 450 4 0 60 550 50 45 0 650 60 550 5 模糊一致矩阵 1 BC 0 50 4750 450 425 0 5250 50 4750 45 0 550 5250 50 475 0 5750 550 5250 5 9 同样的令后一个的进步度的权重比为 2 2 6 c 的优先关系矩阵 2 BC 0 50 50 3 0 50 50 3 0 70 70 5 的模糊一致矩阵 2 BC 0 50 50 4 0 50 50 4 0 60 60 5 由模型原理中的步骤 3 中的计算公式 为了提高排序结果的分辨率我们取并且 同时取 根据可以算的 B 层相 2 1 n a 1 1111 1 2 22 n iij j n wrin a nana 对于 A 层 更因素权值为 C 层相对于 B 层 各指标相对应上层相应 0 0 4 0 6 w 因素的权值分别为 4000 0 3000 0 3000 0 2750 0 2583 0 2417 0 2250 0 12 11 w w 所以综合权重为 k 1211 6 0 4 0ww 2400 0 1800 0 1800 0 1030 0 1033 0 0967 0 0900 0 即如下面的关系图 各因素对综合评价的影响权重 综合评价 第一学期 成绩 0 0900 第二学期 成绩 0 0967 第三学期 成绩 0 1033 第四学期 成绩 0 1800 第二学期 进步度 0 1800 第三学期 进步度 0 1800 第四学期进 步度 0 2400 因此对于学生 学习状况的综合评定定量表示如下 i 11223344556677iiiiiiii Ckskskskskckckc 进步度 考虑到学生的基础不同 算出每个学生的三个进步度 进步度是 ij c 1 1 ij ijij s ss i s4 3 2 j 10 再由各项指标结合附件中的数据以前 20 个学生为例 对他们成绩的综合评定如下表 学生 序号学期 1学期 2学期 3学期 4 进步 度 2 进步 度 3 进步 度 4总评 名 次 180 17173 61075 48375 937 6 2441 9420 45829 2887 276 76572 60281 73973 717 4 1339 591 7 47929 1548 364 92261 09968 96166 359 3 8488 408 2 46525 93917 483 83382 30077 89079 826 1 481 4 3382 01331 2074 577 20182 12978 89982 3385 1150 3 1513 493032 7131 679 41665 78877 37970 813 12 5912 924 6 22427 36313 777 42174 16962 43063 065 2 909 10 960 69424 75718 863 66160 08153 90620 827 2 790 5 099 30 4810 52520 970 65674 97071 95472 3264 425 2 9160 37528 85310 1076 29069 39676 59268 485 6 5697 537 7 69326 87114 1185 10381 02282 58565 325 3 7651 515 16 4126 41115 1265 68968 68469 60365 5013 0720 901 3 97026 25216 1378 13472 36380 09980 758 5 7508 3210 64031 2383 1477 62674 04375 93773 444 3 4741 925 2 47028 68411 1569 99370 81377 46077 3790 8666 937 0 07730 5056 1671 72170 34975 79680 906 1 4285 7835 03531 4132 1776 20176 99783 32877 0100 8196 445 5 94330 7255 1856 14355 03962 33360 665 1 1517 759 1 56723 87619 1968 44571 84476 22772 7723 59154 412 3 27829 1319 2084 62978 67179 00371 436 5 5220 3314 7 51228 00612 表4 由表 4 的计算结果可看出 5 号同学的综合得分最高 为 32 71295 说明其学习 状况在这 20 名同学中最好 而且其进步度也在提高 而 8 号同学的综合得分最低且为 10 52521 说明他在这 20 名同学中学习状况最差 成绩一直呈下滑趋势 老师应该采 取必要的措施 帮助该同学尽快摆脱这种状况 所以 由以上模型 可以对所有的学 生的四个学期的成绩进行综合评定 来说明他们的学习状况 学生的整体情况可如下图来体现 11 30 20 30 10 20 30 20 30 10 20 10 上面这个表再次说明学生的学习状况整体是不错的达到中上等水平的同学占大部 分 但是仍有少部分学生的总评分是比较小的 因此老师 学校应该加强对这部分同 学的关心与注重 2 灰色关联分析法灰色关联分析法 模型原理 模型原理 灰色关联分析方法是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度 亦即 灰色关联度 作为衡量因素间关联程度的一种分析方法 具体步骤如下 1 选择母指标 可选取对方案效益影响最重要的指标作为母指标 2 对指标值进行处理 由于各指标的量纲不同 应对其均值化处理或初值化处理 3 计算关联系数 其中 bj ba jy i i 0 jxjxj ii mi 2 1 nj 2 1 minmin 11 ka i minj maxmax 516121 jb i ij 5 0 4 求关联度 n j ii ky n r 1 1 mi 2 1 7 排序 因素间的关联程度主要是用关联度的大小次序描述 而不仅是关联度的大 小 因此必须按的大小依次排序 即得关联序 i r 模型建立与求解 模型建立与求解 灰色关联分析法利用灰色关联度来描述因紊间关系的强弱 大小和次序 但把各 项指标等权划分 不能显示出各指标的重要性差异 而模糊层次分析法引入了模糊一 致矩阵 克服了层次分析法中判断矩阵的一致性与人类思维的一致性间存在的显著差 异 减小了主观影响 可以得到较为客观的综合评价结果 1 选择母指标 模型一求得的权重 中最大的指标为母指标 记 2400 0 1800 0 1800 0 1030 0 1033 0 0967 0 0900 0 W 7 c o x 2 指标的规范化处理 12 利用数据处理后得到的学生成绩和进步分 再对其进行规范化处理 使其无量纲 无数量级的差别 处理方法为 先分别求出每个指标中的最大 最小值 再采 ij s 用公式 得到无量纲 x 矩阵 min max min ij j ij j ij j ij j ss ss ix 3 构建综合评价模型 根据灰色关联分析法 关联度可由以下表达式确定 其中 bi ba iy j j 0 ixixi jj 612 2 1 i7 2 1 j 0 minmin 516121 ka j ji maxmax 516121 jb j ji 5 0 综合各个指标的权重和各个指标的取值 建立综合评价模型 7 1 j ijji xwZ 4 再由各项指标结合附件中的数据以前 20 个学生为例 对他们成绩的综合评定如下 表 序 号学期 1学期 2学期 3学期 4 进步 度 2 进步 度 3 进步 度 4总评 名 次 180 17173 61075 48375 937 6 2441 9420 4580 442 7 276 76572 60281 73973 717 4 1339 591 7 4790 441 8 364 92261 09968 96166 359 3 8488 408 2 4650 432 17 483 83382 30077 89079 826 1 481 4 3382 0130 455 4 577 20182 12978 89982 3385 1150 3 1513 49300 531 1 679 41665 78877 37970 813 12 5912 924 6 2240 531 13 777 42174 16962 43063 065 2 909 10 960 6940 432 18 863 66160 08153 90620 827 2 790 5 099 30 480 429 20 970 65674 97071 95472 3264 425 2 9160 3750 438 10 1076 29069 39676 59268 485 6 5697 537 7 6930 437 14 1185 10381 02282 58565 325 3 7651 515 16 410 434 15 1265 68968 68469 60365 5013 0720 901 3 9700 434 16 1378 13472 36380 09980 758 5 7508 3210 6400 457 3 1477 62674 04375 93773 444 3 4741 925 2 4700 437 11 1569 99370 81377 46077 3790 8666 937 0 0770 442 6 1671 72170 34975 79680 906 1 4285 7835 0350 458 2 1776 20176 99783 32877 0100 8196 445 5 9430 458 5 1856 14355 03962 33360 665 1 1517 759 1 5670 431 19 1968 44571 84476 22772 7723 59154 412 3 2780 440 9 2084 62978 67179 00371 436 5 5220 3314 7 5120 437 12 结果与模糊层次分析法求出的结果大致相同 3 3 成绩标准化模型成绩标准化模型 13 原始成绩的标准化原始成绩的标准化 为了使得学生之间成绩的差距分布更为合理 原来成绩偏低的学生经过变换后处 于中等位置 从而使他们会得到适当的鼓励 树立信心 不断进步 并改变负偏态分 布中有较多同学集中在高分段或低分段的情况 激励成绩较低的学生努力学习取得更 好的成绩 有必要将负偏态分布的学生成绩通过数学手段变换为正态分布 而且变换 成正态分布后 还会对数据处理带来极大的方便 由于每个学期的评价体系存在一定的波动 例如考核中不可避免的难易程度的变 化等因素会使各学期之间的同一学生成绩缺少一定的比较性 例如某学生第一学期的 成绩为82 分 排名103 位 而第二学期为85 分 但是考虑到总体情况 第二学期考 核偏易 排名112 位 导致该学生排名比第一学期下滑 为了消除这些学期之间的差 异 为此将正态分布再经过变换为标准正态分布 使得同一学生在不同学期的成绩具 有更可靠的可比性 由此我们最终得到了标准化的成绩 称之为 有效成绩 并运 用该成绩对学生的学生状况进行评价 下面讲述如何将原始成绩变换为标准化的成绩 第一步 原始成绩的正态化及其检验 假设 i 1 2 612 为612个学生的某一学期的原始成绩 由将偏态分布变换 0 i x 为正态分布的对数变换法 令 0 ln 100 ii yx 此时这些学生的变换成绩yi 满足正态分布 由于该函数是单调递减函数 原始成绩 高的反而变换成绩低 为了与传统习惯保持一致 再经过下述变换 此时的为正态化之后的成绩 2 ii xyy i x 从图3的频次直方图可以看出基本符合正态分布 为了进一步验证成绩分布是否为 i x 正态分布 我们用matlab进行了正态性检验 检验结果如图4所示 从图中可以看出实 际观测值与期望值在中央横线的一段 坐标点落在中央横线附近 在中央横线的两端 则有一定的偏离 但绝大部分偏离值均小于0 05 仅有个别点偏离较大 可见 学期 1 4 的成绩呈现正态分布 14 图3 的频次直方图 i x 15 图4 四个学期的正态检验图 第二步 将正态分布标准化 由于已是正态分布 因而可由正态分布转化为标准正态分布的相关公式 将转 i x i x 化到服从标准正态分布 得 定义有效成绩 i 1 2 612 2 i i xx x 其中均值为 111 111 2 nnn iii iii xxyyy nnn 方差为 2 2 11 11 11 nn ii ii xxyy nn 此即我们所定义的有效成绩 下表是我们应用EXCEL 由四学期原始成绩计算的有效成 16 绩 由于篇幅有限成绩列表均只列出部分成绩 计算过程 及其它见附件 图4为有 i x 效成绩的频次分布直方图 可以看出它已很好的符合正态分布 i x 表2 有效成绩 学生序号学期 1学期 2学期 3学期 4总分 10 6524554 0 1451857090 0196864720 0497142740 57667 20 1965128 0 2937509630 893424606 0 2098942090 586292 3 1 152195 1 4502229780 679121693 0 834160597 2 75746 41 25424850 9494844990 2731271430 5915252063 068385 50 25671820 9353728050 424352450 9882841682 604728 60 5486194 1 0135578730 209256812 0 471843181 0 72752 6100 8955590 5074742410 1790072360 9804099052 56245 6111 99943091 6969433821 0353278580 5429677565 27467 612 1 666376 0 3046388740 3161521941 600975952 0 05389 此时应用有效成绩已经能够对学生的学习情况进行公平 合理的评价 因为原始分数 没有比较的参照点 故而不可比 而有效成绩以学生整体的平均分数作为比较的基准 以标准差作为单位 而且它的基本形式都是平均数为零 标准差为1 因而无论不同学 期成绩的平均分和标准差多么不同 一经转换为均值为零和标准差为1的标准分数 则 不同学期成绩所处的相对地位是平行的 从而有了可比性 这时学生学习状况的评定 不再是简单的绝对分的比较 名次的提高 也即进步成为了决定学生成绩的重要因素 从这些数据可以看出 有的同学总分排名较后 可有效成绩排名却来了个咸鱼大翻身 一跃进入前列 而且 有的同学标准分总分甚至出现负分 这就说明该考生的分数低 于平均分 17 图5 的频次直方图 i x 下面为了能够直观的了解不同学生成绩在整体中的位置 我们进一步对成绩进行等级 评定 基于有效成绩的等级评定基于有效成绩的等级评定 在将原始成绩化为符合标准正态分布的数据之后 我们将建立一种评分制度 标准化分数为基础的成绩标准化评价模型 服从正态分布的数据概率曲线具有对称性 其数据按概率落人一定范围内 如下 表所示 范围 0 5 1 0 1 5 1 64 1 96 2 58 概率 38 68 86 90 95 99 为总体算术平均值 为总体标准差 实际教学中 对考试成绩约定俗成地选用90分 80分 70分 60分作为等级分数线 评定成绩的优秀 良好 中等 合格与不台格 我们根据落入和内1 0 1 64 外的概率来确定成绩的等级 取落人内的概率为68 落入外的概1 0 1 64 率为10 落入余下的概率为22 则可确定优秀 不合格各占50 良好 台格 各占11 中等占68 各等级的对应分数线为概率等级分数线 DP 经对数变换 的成绩数据还原成原始分数 即为各等级的分数 经计算可得各等级分数线表 如下所示 18 学期1学期2学期3学期4 优秀 5 88 1388 3688 5088 90 良好 11 80 2582 3483 0084 00 中等 68 68 2569 5470 0070 68 合格 11 58 3058 0059 4659 50 不合格 5 58 30以下58 00以下59 46以下59 50以下 以第一学期的为例 原始分数高于88 13的认定为优秀 而低于60 30的认定为不合格 但在这种评定标准中优秀与不合格所占比例较小 大部分的人集中在中等层次 从来 相对于一般的评定标准更多的人上升到了合格或中等 但这一评定标准是建立在整体 成绩为正态分布的基础上的 从而当出现因为试卷人为的过于简单而了导致大量学生 的成绩偏高时 运用该评定方法则可以提高不合格或合格的分数线 维持整体的正态 分布 从而保证了评价的合理 公平 三三 预测接下来两学期的学习成绩预测接下来两学期的学习成绩 多元线性回归法预测模型多元线性回归法预测模型 记为第i个学生第j期的预测成绩 则假设学期的成绩是由前三个学期的成绩所 i j x 确定的建立如下多元线性回归方程 利用附件提供 2 2 1 i ji ji ji j xa xb xc xd 的前三个学期的成绩 可以算得第四个学期的成绩的预测值 所以 用 最小二乘拟合 求解系数a b c d则 从上式中 2 2 1 0 0225 0 2068 0 6961 7 1190 i ji ji ji j xxxx 的式子中我们可发现 系数值依次递减 说明第4 学期的成绩受第3学期影响最大 随 时间 差的增大同时画出相应的残差分析图 从上式可发现 系数值依次递减 说明第4 学 期 的成绩受第3学期影响最大 随时间差的增大 等级 学期 19 100200300400500600 50 40 30 20 10 0 10 20 30 Residual Case Order Plot Residuals Case Number 图6 未剔除数据前的多元线性回归预测的残差图 为了更精确的预测学生成绩 我们剔除一些成绩波动较大的学生的成绩 然后再次 进行多元线性回归预测 如成绩变化太过悬殊及出现成绩为0的都先不考虑 为 8 11 26 43 62 67 90 121 181 231 249 264 267 273 288 301 307 466 491 536 557 565最终我 们剔除了这些同学的成绩数据 再求解线性回归方程的系数 求得的多元线性回归方 程如下并得残差分析图7 发现没有特别脱离的数据则可以得到为 3 2 1 0 0387 0 2220 0 5400 16 7594 i j i ji ji j xxxx 5 0 10 0 15 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40 0 45 0 50 0 55 0 25 20 15 10 5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 Residual Case Order Plot Residual s Case Number 图7 剔除部分波动较大的数据之后的多元线性回归残差图 20 由图 7 可以明显发现预测值与真实值之间的偏差几乎都小于 10 分 没有波动很大的 成绩出现 说明该线性回归的精度在一定程度上满足要求 从以上的数据分析来看 在不考虑极少部分成绩很不稳定的同学的前提下 该模型能够很好的预测学生的 5 6 学期的成绩 由此来说明其学习状况 学生序号学期 5 成绩学期 6 成绩学生序号学期 5 成绩学期 6 成绩 177 7167178 691011174 8717975 48324 277 9076878 564021271 6704273 29807 371 4455173 279031381 3490881 92946 480 6336681 215521476 5252177 5271 582 1770582 628671578 7628479 64912 675 3117876 463291680 3554381 25079 769 6762471 603621780 2868280 65469 840 3329944 365581867 1875469 61233 975 2542276 494591976 188877 23307 1074 0774575 258942076 4601177 23652 由下表的数据 可看出学生总体的成绩是在不断提高的 成绩为优秀和良好的同学占 得比例越来越大 同时不及格的同学正在逐渐减少 学生总体的学习状况良好 再利用Excel对所预测的学生成绩进行数据分析与计算得到的表格如下 第5学期第6学期 平均分77 19578 389 最高分87 95787 944 最低分29 67336 781 极差58 28451 163 中位数77 62178 845 总分45158 86845857 280 方差41 51332 166 标准差6 4435 672 偏度 0 4356 0 3725 灰度模型灰度模型GM 1 1 预测成绩模型预测成绩模型 模型分析 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度 即进行关 联度分析 并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律 生成数据序列有较 强的规律性 可以用它来建立相应的微分方程模型 从而预测事物未来的发展趋势和 未来状态 模型建立 是第 i 个学生第 j 个学期的综合成绩 则第 i 个学生的的原始数据列可为 0 jxi 利用原始数据进行累加和得到生成数列 4 3 2 1 00000 iiiii xxxxx 所以 则建立灰色模型 1 0 1 1 2 k i i j x kxj kn 4 3 2 1 11111 iiiiixxxxx 21 GM 1 1 相应的微分方程为 称为发展灰数 称为内生控制灰数 1 1 i i dxt ax tu dt 令 B 1 4 3 2 1 1 3 2 2 1 1 2 1 2 1 11 11 11 ii ii ii xx xx xx 0 0 N 0 2 3 i i i x x Y xn 则 A 称为待估参数向量 1 TTT N Aa uB BB Y 可得到 k 1 2 3 4 5 1 0 1