初中数学 数学名师 高斯

1 高斯高斯 高斯 c f gauss carl friedrich 1777 年 4 月 30 日生于德国不伦瑞克 1855 年 2 月 23 日卒于格丁根 数学 天文 物理 大地测量 高斯出生在一个普通城市工人家庭 其父格布哈德 迪特里希 高斯 gebhard dietrich gauss 受教育不多 但能写会算 为人勤奋 靠手艺维持家庭生计 做过园林工人 运河 工人 街道小贩 还出任过丧葬机构的会计 据说迪特里希 高斯虽忠厚却性情暴躁 在家 尤为专制 小高斯是他第二个妻子的独子 高斯的母亲多罗西娅 本茨 dorothea benze 出 身石匠家庭 聪慧而善良 能读但不会写 婚前在一个贵族家当女仆 在其夫去世后长期 随高斯生活 母子相伴 直至 96 岁谢世 多罗西娅的弟弟天份颇高 是高斯长辈中智力最 突出的一位 他靠自己钻研成为艺术锦缎的著名织匠 高斯幼年时的生活跟当时一般市民家的孩子雷同 有一个故事说因父母为生计奔波 小高斯有时无人照料 大约在 3 或 4 岁时 曾堕入离家不远的运河 几乎溺死 另一个故 事说高斯自幼对数字有特殊的敏感 在 3 岁时就发现过父亲算账时的计算错误 这些故事 大都是高斯晚年对人谈起的 高斯成年后还常对人说 他在学会说话前就会计算了 高斯接受教育的状况受制于当时德国的社会背景 他出生的城市不伦瑞克是座古城 在 17 世纪初仍是能跟汉堡和阿姆斯特丹相媲美的贸易中心 后因城市民众暴动和欧洲 30 年战争的破坏而衰落 1671 年它失去政治独立地位 并入不伦瑞克 沃尔芬比特尔 现德国 下萨克森州 公爵领地 1673 年成为该领地的首府 在 18 世纪 它像其他德国城邦一样 经济政治状况落后于资本主义蓬勃发展中的英国和法国 高斯降生时不伦瑞克的统治者是 c w 费迪南德 carl wilhelm ferdinand 公爵 一位久经沙场的贵族 他按传统的封建 方式管理他的领地 典型的特征是以农业为其财政的主要来源 并保护组织起来的个体织 匠抵制纺织机械的使用 他在教育方面虽未实行义务教育 但他的大多数臣民都能识字并 掌握一些初等算术知识 至于社会下层有天赋的儿童要想获得较高等的教育 则非有贵族 富商或其他有影响的保护人的资助不可 1784 年 高斯像普通市民的孩子一样入小学读书 他进的圣 凯瑟琳小学给他带来了 好运 该校教师 j g 比特纳 b ttner 称职而热心 他教的班由 50 多名年龄各异 原有 知识参差不齐的学生组成 比特纳发现高斯才智出众 特意从汉堡弄来一本算术教科书给 高斯读 一个故事说 一次高斯在班上几乎不加思索就算出了 1 2 3 100 的和 令比特 纳惊讶不已 当时任比特纳助手的 m 巴特尔斯 bartels 只比高斯大 8 岁 酷爱数学 后 到俄国喀山大学任教授 是非欧几何创立者之一罗巴切夫斯基的老师 对高斯的数学才能 特别器重 他们常在一起讨论算术和代数问题 高斯的父亲不希望儿子继续升中学读书 让子女多读书并非当地工人阶层的风尚 读 小学时 高斯晚上经常秉父命上织机织布 经老师们的帮助 高斯于 1788 年进入预科学校 相当于现在的中学 这里班级的编排较正规 但课程颇显陈旧 而且过份强调古典语言 特别是拉丁语的教学 高斯的目标是学术上的深造 当时的人文学科特别是科学经典都是 拉丁文写的 于是他充分利用学校的条件攻读拉丁语 不久成绩就名列前茅 他还学会了 使用高地德语 路德翻译圣经用的那种德语 即现在的标准德语 高斯原来只会使用本地 方言 至于他的数学程度 教师在看了他的第一次数学作业后便认为 高斯已没有必要上 该校的数学课了 1791 年 位于不伦瑞克的卡洛琳学院的教授 e a w 齐默尔曼 zimmermann 向费迪 南德公爵引介了 14 岁的天才少年高斯 公爵接见高斯时为他的朴实和腼腆所动 欣然应允 资助高斯的全部学业 此后 高斯在经济上便独立于父母 父亲也不再反对儿子的继续深 造 2 1792 年 高斯入家乡的卡洛琳学院 brunswick collegium carolinum 学习 开始脱 离家庭的独立生活 这所学校不同于普通的大学 它由政府直接兴办和管理 目标是培养 合格的官吏和军人 在德国各城邦的类似学校中属于最优秀之列 其教学强调科学方面的 科目 高斯在校的三年间 全身心地投入学习和思考 获得了一系列重要的发现 入学前 他就研究算术 几何平均 1791 此时发现了它和其他许多幂级数的联系 1794 发现最小 二乘法 1794 考虑了几何基础问题 即平行公设在欧几里得几何中的地位 1792 由归 纳发现数论中关于二次剩余的基本定理 即二次互反律 1795 研究素数分布 猜想出素 数定理 1792 在这一时期 贯穿高斯一生的研究风格的一个重要方面已趋成熟 不停地 观察和进行实例剖析 从经验性质的研究中获得灵感和猜想 高斯在学院学习期间还开始 了对数学经典著作的钻研 阅读了 i 牛顿 newton 的 自然哲学的数学原理 philosophiae naturalis principia mathematica l 欧拉 euler 的代数与分析著作 和 j l 拉格朗日 lagrange 的若干论著 以及雅格布 伯努利 jacob bernoulli 的 猜 度术 ars conjectandi 等 高斯的志向不是谋取官吏的职位 而在于他最喜好的两门学问 数学和语言 1795 年 他离开费迪南德公爵管辖的领地 到格丁根大学就读 格丁根大学的办学方式追随英国的 牛津和剑桥大学 资金较其他德国大学充裕 较少受政府和教会的管理和干涉 高斯选中 这所大学另有两个原因 一是它有藏书 尤其是数学书 极丰的图书馆 二是它有注重改革 侧重科学的好名声 当时的格丁根对学生可谓是个 四无世界 无必修科目 无指导教 师 无考试和课堂的约束 无学生社团 高斯完全在学术自由的环境中成长 将来从事什 么职业完全由他自己抉择 入学初期 语言学家 g 海涅 heyne 对高斯 作数学家还是语 言学家可能曾在高斯脑际徘徊 有两个支持这种看法的旁证 高斯到校第一年所借阅的 25 本书中 仅有 5 本科学著作 其余皆属人文学科 而且高斯终其一生始终未改对语言和文 学的爱好 那个时代以数学为职业者收入不丰 高斯当时仍在靠公爵的补贴生活 寻找有 较高收入的职业是高斯一生中经常考虑的问题 1796 年是高斯学术生涯中的第一个转折点 他敲开了自欧几里得时代起就搅扰着数学 家的尺规作图这一难题的大门 证明了正十七边形可用欧几里得型的圆规和直尺作图 这 一成功最终决定了他走科学之路而非文学之路 高斯真正认识了自己的能力之所在 在注 明 3 月 30 日的 科学日记 中 高斯写道 圆的分割定律 如何以几何方法将圆分成十 七等分 所谓 科学日记 是 1898 年偶然在高斯的孙子的财产中发现的一本笔记 高斯 在上面记录他的众多科学发现 并称之为 notizen journal 日志录 日记中简要记载着 他自 1796 年至 1814 年间的共 146 条新发现或定理的证明 由于高斯的许多发现终身没有 正式发表 这本日记成了判定高斯学术成就的重要依据 在格丁根学习期间 高斯在日记中记录了许多重要信息 1796 年 4 月 8 日 得到数论中重要定理二次互反律的第一个严格证明 1797 年 1 月 7 日 开始研究双纽线 1797 年 3 月 19 日 认识到在复数域中 双纽线积分具有双周期 1797 年 5 月 由实例计算得到算术 几何平均和双纽线长度间的一些关系 双纽线函数 是椭圆函数的一种 1797 年 10 月 证明了代数基本定理 1798 年秋 高斯突然离开格丁根回到故乡 原因不详 很可能是费迪南德公爵不愿由 他资助的学生在他所辖的领地之外的大学获取文凭 正是在公爵的要求下 高斯于 1799 年 接受了海尔姆斯台特 helmstedt 大学的博士学位 名义上的导师是 j f 普法夫 pfaff 当时德国最负盛名的数学家 高斯在格丁根求学期间曾访问过他 但尚不知他们之间有无 学术上的联系 有一则故事表明他们二人在数学界的地位 在高斯成名后 他的好友 3 a 洪堡 humboldt 曾询问法国大数学家 力学家 p s m 拉普拉斯 laplace 谁是德国 最伟大的数学家 拉普拉斯答是普法夫 洪堡惊鄂之余追问道 那么高斯呢 拉普拉斯戏 谑地说 高斯是全世界最伟大的数学家 高斯博士论文的题目很长 单变量有理整代数 函数皆可分解为一次或二次式的定理的新证明 demo nstratio nova theorematis omnem functionem algelraicam rati onalem integram unius variabilis in factores reals primi vel secundi gradus resolvi posse 1799 年 8 月在公爵资助下出版 高斯在给 他大学时的同学 w 波尔约 bolyai 的信 1799 年 12 月 16 日 中说 题目相当清楚地讲 明了文章的主要目的 虽然它只占篇幅的三分之一 其余是讲述历史和对其他数学家 j r 达朗倍尔 d alembert l a de 布干维尔 bougainville 欧拉 拉格朗日等 相 应工作的批判 以及关于当代数学之浮浅的各种评论 此文反映了高斯研究风格的另一个 方面 强调严密的逻辑推理 这是区别于 18 世纪大部分数学家的高斯风格的主要特征 在 此论文中 他并未具体构造出代数方程的解 而是一种纯粹的存在性证明 这类证明此后 便在数学中大量涌现 还应指出 他的证明虽然必须依赖复数 但因当时的数学家仍在为 虚数的本质争论不休 所以高斯尽量避免直接使用虚数 他预先假定了直角座标平面上的 点与复数的一一对应 而将论及的函数分为实部和虚部分别加以讨论 高斯的证明也并非 在逻辑上完美无缺 如他视连续函数的一些性质自然成立而未加证明 这些性质后来为捷克 数学家 b 波尔查诺 bolzano 首先证明 高斯可能认识到这一问题 此后又给出了代数 基本定理的另外三个证明 1815 1816 1849 最后的证明是为庆祝他获博士学位 50 周年 而作 方法跟博士论文基本一致 只是 现在大家都认清了复数是什么 所以他直接运用 了复数 自 1796 年解决正十七边形的作图到 1801 年 是高斯学术创造力最旺盛的时间 按数 学史家 o 梅 may 统计 在这 6 年间 19 岁 24 岁 高斯提出的猜想 定理 证明 概念 假设和理论 平均每年不少于 25 项 其中最辉煌的成就是 1801 年发表的 算术研究 disquisitiones arithmeticae 它把过去一直是零星成果堆砌成的数论 织成一张结构 紧凑 自成系统的网 以及在 1801 年中根据少量观测数据准确预报小行星 谷神星 的运 行轨道 天文学是当时科学界最关注的课题 高斯的这项预报引起了轰动 上述两项成就 使他不仅在数学界而且在科学界一举成名 1802 年初 圣彼得堡科学院聘高斯为外籍院士 同年 9 月又邀请他出任圣彼得堡天文 台台长 这是极崇高的荣誉 高斯出于对公爵的忠心 也因公爵打算为他创造更好的工作 条件 计划专为高斯在不伦瑞克修建小天文台 并给他提薪 高斯最终决定留在家乡 此后 高斯虽从未完全放弃对数论 代数 几何及分析学的研究 但其主要精力和时 间逐步转向更有实际效用的科学 如天文学 测地学 物理学和应用数学 学术研究重点 的转移也带来了高斯结交朋友方面的转折 高斯在纯数学的研究中是相当孤独的 没有同 事和助手 即使在他创作高峰期也几乎未进行过直接的学术交流 w 波尔约虽是跟高斯有 过长达 50 年通信联系的数学家 但未见他们在数学思想上的深入讨论 唯一的例外是法国 女数学家 s 热尔曼 sophie germain 她曾化名男子和高斯通信 1804 1805 讨论数论 问题 二次互反律的一个证明就跟她的想法有关 但是 在天文学界和物理学界 高斯却 有不少挚友 他们不仅切磋学术 而且过往甚密 现存的 7000 多封高斯的通信中 跟这些 人的信件占极大比例 1802 1803 年间 高斯先后访问了 w 奥尔伯斯 wilhelm olbers 博士 医生兼天文 学家 1802 年发现了小行星 小惑星 pallas 和著名天文学家 f 察赫 zach 为当时 德国最著名的塞堡 seeberg 天文台的台长 1801 年 12 月 7 日晚第一个在高斯预报的位置 上重新观测到谷神星 讨论了天文和大地测量问题 从此高斯开始了天文观测和野外测 量 奥尔伯斯为堵绝圣彼得堡良好的工作条件对高斯的引诱 提议由高斯出任正在筹备中 4 的格丁根新天文台的台长 1804 年此建议得到格丁根方面的确认 1804 年底 高斯又开始 跟年轻的 f w 贝塞尔 bessel 后成为一流的理论及实用天文学家 进行维持终身的通 信 据现存信件可知 高斯的长期通信者还有 c l 格林 gerling 物理学家 高斯的学 生 h c 舒马赫 schumacher 高斯的学生 天文学家 和 j g 雷普索尔德 repsold 仪器制作家 曾和高斯探讨消色差双物镜镜片的设计等问题 1805 年 高斯跟制革商的独生女约翰娜 奥斯多夫 johanna osthoff 结为伉俪 此次 婚姻颇为美满 得二子一女 高斯分别以三个小行星发现者的名字为他们的教名 跟宁静 的家庭生活相悖的是政治环境的骤变 自 1789 年法国大革命后 德法之间爆发了多次短期 战争 为扼制拿破仑在中欧的扩张 德国最主要的部分普鲁士决定加强跟法国的对 抗 1806 年 曾任普鲁士将军的费迪南德公爵率部与法军决战 70 多岁的沙场老将在战斗 中负了致命伤 同年 11 月死于阿尔唐纳 altona 这意味着高斯失去了经济来源 从此必 须完全靠自己的努力维持生计 1807 年 高斯携全家迁往格丁根 出任格丁根天文台台长 实际上新天文台尚在建设 中 他需亲自为其购置仪器设备 同时担任格丁根大学天文学教授 高斯选择台长为其主 职 教授只为次职 这跟他不喜欢当时的教学有关 1802 年高斯在致奥尔伯斯的信中说过 我真的不喜欢教课 对真正有天赋的学生 他们绝不会依赖课堂上的传授 而必是自 修自学的 做这种不值得感谢的工作 唯一的代价是教授浪费了宝贵的时间 在以后的 通信中 可看出他对当时大多数学生无钻研兴趣 很少或根本没有学习动力 甚至有的学 生缺少必要的常识不满 至于对禀赋好的学生 高斯愿意 偶尔给他一点提示 以便他找 到最近的路 格丁根原属汉诺威公国 此时已划归法国控制下的西伐利亚王国 1814 年汉诺威公国 复辟后 格丁根才摆脱法国统治 法国政府征收的高额赋税给了高斯当头一棒 他无力筹 足大学教授需交的 2 000 法币 德 法两国的多名学者闻讯主动伸出援助之手 均遭高斯 婉拒 最后是一位匿名者替他交纳了全部税金 后知此人是法兰克福的大主教达尔贝格 dahlberg 伯爵 曾任罗马帝国的重臣 法国入侵 费迪南德伯爵战死 加上此次征税 无形中加深了高斯在政治上的保守倾向 纵观其一生 他对政治上的变革或激烈行为都持 旁观或反对的态度 高斯到格丁根后所受的第二次打击是爱妻在生第三个孩子时难产 不 久便去世了 1809 年 10 月 时隔不到半年 新生儿也夭折而去 高斯以独有的克制精神 和毅力 很快从精神沮丧中复原 为了正常的生活和工作 为让不满 4 岁的儿子和刚 2 岁 的女儿得到照顾 高斯于 1810 年 8 月跟格丁根大学法学教授的小女儿米纳 沃尔德克 minna waldeck 成婚 第二次婚姻也得二子一女 欧根纳 eugene 威廉 wilhelm 和女 儿特雷泽 therese 在这一非常时期 高斯完成并发表了他的理论天文学方面的名著 天 体沿圆锥曲线的绕日运动理论 theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis so lem ambientium 阐述他预测天体轨道的方法 首次发表他的最小二乘法 提出现称高斯分布的著名统计规律 1814 年 格丁根天文台新址基本建成 为配置最好的望远镜等设备 高斯多方奔走 如于 1816 年赴巴伐利亚会见光学仪器制造家 g von 赖兴巴赫 reichenbach 等 买到了 他最中意的装备 1818 年 高斯发表了 确定行星对任意点的引力 假定行星质量按下述 比例均匀分布在它的整条轨道上 即每一部分轨道上的质量正比于行星通过该段轨道所用 的时间 determinatio attra ctionis quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta si eius massa per totam orbitam ratione temporis quo singulae partes describuntur uniformiter esset dispertita 文中利用椭圆积分 算术 几何平均等工具探讨了困难的天体摄动问题 该文是高斯结束其理论天文学研究的标 志 此后他的天文研究主要在天文观测 记录特殊天象 计算并报告他对观测数据的分析 5 亲自调试仪器以达到最佳观测条件 一直到 1854 年他最后病倒为止 高斯退出理论天文学研究的一个原因是大地测量工作引起了他的兴趣 1815 年前后 中欧各重要国家出于经济和军事目的 纷纷开始大规模的大地测量 1816 年 舒马赫应丹 麦政府之请 测绘全丹麦的地理形状 他请高斯协助 在一系列准备之后 高斯于 1818 年 正式同意担负将丹麦的测地工作向南延伸 并开始参加艰苦的夏季野外测绘 冬季则对所 获数据进行分析整理 1820 年 汉诺威政府正式批准高斯对汉诺威全境作地理测量的计划 任命高斯为实施计划的负责人 1818 至 1825 的八年间 高斯请他前妻所生之子约瑟夫 joseph 和若干军人为野外考察的助手 工作井然有序 表现了高斯的组织才能 高斯动 用军人的理由是 农夫们尊敬军官 军队管理中的纪律和秩序对任何事情都有益而无害 为提高测量精度 高斯发明了 日光反射信号器 1820 和光度计 1821 至于实测数 据汇集后的计算 几乎由高斯一人承担 他每年撰写的测地报告后汇集于 利用拉姆斯登 ramsden 仪观测所确定的格丁根与阿尔唐纳两天文台之经度差 bestim mung des ch beobachtungen am ramsdenschen zenithsector 1828 长年的劳累损伤了高斯强壮 的体魄 1825 年医生诊断他患有气喘病和心脏病 迫使他停止了野外作业 此后高斯仍指 挥整个计划的执行 并于 1847 年完成汉诺威全境的测量 高斯全力关注测地工作的十年 1818 1828 是他创造活动的又一个高峰期 高斯在 1825 年致奥尔伯斯的一封信中说 他这些年未能把充斥脑际的许多思想加以实现 尽管如 此 他的两项理论成果已成永垂青史之作 1822 年 丹麦哥本哈根科学院设奖征答地图制 作中的难题 高斯以 将给定凸面投影到另一面而使 获头奖 此文在数学史上首次对保形映射作了一般性的论述 建立了等距映射的雏 形 1827 年 高斯写成 曲面的一般研究 disquisitiones generales circa supe rficies curvas 1828 年出版 这是他积 10 多年思考测地问题所得之精萃 提出了内蕴 几何的新观念 成为此后长达一个多世纪微分几何研究的源泉 测地问题中的大量计算也 推动高斯完善他的最小二乘法和对统计规律的严格研究 如他的 与最小可能误差有关的 观测值的组合理论 theoria binationis observationum erroribus minimis obnoxiae 1823 以数学的严格性推广最小二乘法 使它在任何概率误 差的假设下 都以最适当的方法来组合观测值 在第二次创造高峰期的后期 高斯因测地工作得到额外的津贴 1825 年开始领取 此 前的 1807 1824 年间 高斯的薪金一直固定未动 而家庭负担有增无减 他的经济状况 有了根本好转 但高斯却在为他自我感觉到的创造力开始下降担忧 在 1826 年 2 月 19 日 致奥尔伯斯的信中 他抱怨自己不能再如此努力而成果不佳 觉得应该去搞有别于数学的 其他领域 1828 年高斯到柏林参加了他一生中唯一的一次学术会议 柏林自然科学工作者大 会 洪堡希望他到柏林科学院工作以发挥更大的影响 并答应为他提供磁学研究的仪 器 高斯当时对磁学的兴趣确实在增长 但对到柏林就职并不热心 在 1822 1825 年间 柏林方面曾和高斯谈判他来柏林的条件 高斯发现这个大都市的办事效率很低 要他担负 的领导或顾问方面的责任也过多 因此高斯宁肯留在格丁根 高斯此次柏林之行最大的收 获是结识了年轻的 才华横溢的实验物理学家 w 韦伯 weber 高斯正准备全力投入的物 理学各学科原非他熟悉的领域 他正需要一个象韦伯这样的合作者 高斯一旦决定转变研究方向 他进入新课题的加速度是惊人的 他发表的下述文章和 发明就是明证 s allgemeines grundgesetz der mechanik 6 1830 年 发表了 论平衡状态下流体性质的一般理论原则 principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequ ilibrii 1832 年 发表了 以绝对单位测定的地磁强度 intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata 1833 年 又与 1831 年到格丁根工作的 韦伯合作发明了电磁电报 高斯跟韦伯的合作对他深入磁学研究影响颇大 1833 年他们在格丁根兴建了地磁观测 站 洪堡曾设想建立全球的地磁测量网 高斯和韦伯的参与加速了这项计划的实施 为使 测量准确 他们精心设计以铜材代替铁材 以免磁针受其他铁器的干扰 不久 格丁根的 观测站成了地磁测量的中心 各国纷纷仿照他们的设计建站 到 1834 年欧洲已建起了几十 处磁观测站 为促进交流 高斯和韦伯组织了磁学会 magnetisch verein 出版年刊 磁 学会年度观测成果 resultate aus den beobachtungen des magne tischen vereins 1836 1841 年间共出版 6 卷 其中有高斯的 15 篇和韦伯的 23 篇文章 1837 年 他们改进了测量地磁强度的仪器 发明了双线地磁仪 1839 年 高斯发表 地磁的一般理 论 allgemeine theorie des erdmagnetismus 澄清 简化并发展了已有的地磁理 论 1840 年 除和韦伯合作出版了不朽的 地磁图 atlas des erdmagnetismus 高斯 还发表了 与距离平方成反比而发生作用的引力 地磁学之余 高斯还探讨了若干光学问题 在高斯全力投入物理研究的时期 他的家庭生活和人事关系屡屡出现麻烦 夫人米纳 在生育特雷泽后身体虚弱 经常卧床不起 儿子欧根纳在选择学业上跟高斯意见相悖 欧 根纳是高斯所有孩子中最富语言和数学才能的一个 他想选读科学方面的学科 但终拗不 过父亲的威严 不得不进大学去读法律 于是在大学他常放纵自己 时因赌博而负债 父 子间的不睦最终导致欧根纳于 1830 年出走 远度重洋移居美国 米纳不堪这一打击 次年 便病故了 高斯的另一个儿子威廉热衷务农 这在父亲眼里是无前途的职业 他因在德国 生活不如意 于 1832 年征得高斯的同意 携妻去了北美 此后父子们再未见面 高斯的第 二次婚姻不能说美满 对高斯唯一的安慰是女儿特雷泽十分孝顺 在米纳去世后担起了全 部家务 直到高斯去世后才出嫁 在 30 年代初期 高斯还因一个地磁实验方案而对德高望 重的洪堡进行严厉的抨击 造成两人感情上的疏远 纵观高斯一生 他待人接物都极力避免感情用事 而且厌恶争吵 即使在有人议论他 有剽窃他人成果的嫌疑时也能泰然处之 如高斯正式发表最小二乘法在法国数学家勒让德 之后 因而招来非议 高斯对此并未拍案而起 只是在给友人的信中摆明事情的原委 前 述争吵是发生在米纳长期患病之后 足见它对高斯造成的心理压力之重 使他无法控制自 己的感情 这一时期的另一不测事件是由汉诺威的新君主压制民主引起的 受 1830 年法国资产阶 级革命的影响 汉诺威公国曾于 1831 年通过了一部较为民主和自由的宪法 1837 年 11 月 新国王 e 奥古斯特 august 取消这部宪法 要求公职人员 包括大学教授 对他本人宣誓 效忠 遂有格丁根大学 7 位教授奋起抗议 其中有高斯最亲密的合作者韦伯 以及高斯的 大女婿 东方学专家 g h a von 埃瓦尔德 ewald 人们期待高斯采取公开的行动 以其崇高的威望声援他的同事 但高斯保持了沉默 七教授被解 760 职 其中三人被逐出 境外 此时高斯除私下请洪堡为韦伯说情外 未对政府的行动表示异议 实际上高斯不赞 成政治上的任何激进行为 倾向于维持王室的统治 况且 时年高斯的母亲已 95 岁高龄 他本人也年过 6 旬 高斯不愿因为这一事件改变习惯的生活方式 1848 年德国爆发革命时 7 高斯也是站在保守的保皇分子一边的 韦伯的离去中断了高斯一生中最成功的合作研究 对他后期的物理研究带来了无法弥补的损失 从 19 世纪 40 年代初期开始 高斯几乎完全退出了物理学的创新研究 只从事例行的 天文观测 计算汉诺威测地工作中遗留下的问题 对老的研究课题 发表过的评论或报告 作些修饰 解决一些小的数学问题 此后的出版物正反映了他的这种状态 他对 e e 库 默尔 kummer 新创立的理想论 1845 没有强烈的反应 对海王星的发现 1846 亦很漠 然 c g 雅可比 jacobi 在参加纪念高斯获博士学位 50 周年大会后说 跟高斯谈数学问 题时 他总是把话题叉开而谈些无聊的事 在 40 年代 高斯对格丁根大学的事务有了较多 关注 担任过教授会的负责人 花了几年时间 将大学丧偶者基金会的财务预算奠基于可 靠的统计规律之上 他对教学的兴趣也比以前浓厚了 我们注意到 高斯在大学开的课 大部分是天文学方面的 唯有在当教授的第一年讲过一次数论 他最常讲的课是最小二乘 法及其在科学中的应用 晚年的高斯在学术圈子以外的人眼里是位科学奇人 而高斯本人却极端热衷于从报纸 书本和日常生活中收集各种统计资料 在 1848 年革命时期 他几乎每天到学校守旧派成立 的文学会 高斯是会员 附属的阅览室寻觅各种数据 如果某个学生正在看的报是他所寻找 的 高斯会一直瞪着他直到对方递过来这份报纸 他因而被学生戏称为 阅览室之霸 据 说这一习惯对他从事投资活动 主要是买债券 包括德国以外发行的债券 大有裨益 他身 后留下的财产几乎等于其年薪的 200 倍 说明他是个理财的好手 高斯生命的最后几年仍保持学者风度 没有间断过阅读和参加力所能及的学术活动 1850 年 心脏病加重 行动受到限制 1851 年 7 月 1 日有日蚀 高斯作了他最后一次天文观测 1851 年 核准 g f b 黎曼 riemann 的博士论文 给予高度评价 1852 年 改进傅科摆 解决一些小的数学问题 1853 年 为黎曼选定为获讲师资格需作的答辩题目 几何基础 1854 年 1 月 全面体检诊断高斯心脏已扩大 将不久于人世 但病情奇迹般地得到缓 解 1854 年 6 月 听了黎曼关于几何基础的答辩报告 出席格丁根到汉诺威间铁路的开通 仪式 1854 年 8 月 病情恶化 下肢水肿 1855 年 2 月 3 日清晨 高斯在睡眠中故去 高斯的葬礼有政府和大学的高级官员出席 他的女婿在悼词中赞扬高斯是难得的 无 与伦比的天才 送葬抬棺者中有 24 岁的 j w r 戴德金 dedekind 他曾选修高斯的最 小二乘法课 高斯的大脑有深而多的脑回 作为解剖标本收藏于格丁根大学 高斯全集 carl friedrich gauss werke 的出版历时 67 年 1863 1929 由众多 著名数学家参与 最后在 f 克莱因 klein 指导下完成 全集共分 12 卷 前 7 卷基本按 学科编辑 第 1 2 卷 数论 第 3 卷 分析 第 4 卷 概率论和几何 第 5 卷 数学物理 第 6 7 卷 天文 其他各卷的内容如下 第 8 卷 算术 分析 概率 天文方面的补遗 第 9 卷是第 6 卷的续篇 包括测地学 第 10 卷分两部分 算术 代数 分析 几何方 面的文章及日记 其他作家对高斯的数学和力学工作的评论 第 11 卷也分两部分 若干物理学 天文学文章 其他作家对高斯测地学 物理学和天文学工作的评论 第 12 卷 杂录及 地磁图 以下介绍高斯最主要的学术贡献 8 数 学 高斯被后人誉为 数学王子 这种赞誉恰如其分 他是数学史上一个转折时期的杰出 代表人物 起着承上启下的作用 18 世纪的数学处于由微积分的创立而促成的分析学蓬勃 发展的时代 它的代表人物往往毫不顾及推理的严格性 而得到大量跟天文学 力学等自 然科学有联系的分析学成果 数论 代数和综合几何方面只有较零散的结果 高斯强调数 学作为一门严谨的科学 必须要追求明确的定义 清晰的假设 严格的证明以及成果的系 统化 倡导了至今已延续近 200 年的现代数学传统 算术研究 是高斯最具代表性的著作 该书共分七节 第一节 一般同余 定义有 理整数模一个自然数同余的概念 证明同余的基本性质 包括除的算法 第二节 一次同 余 证明整数分解成素数的唯一性 定义最大公因子和最小公倍数 导入同余的符号 a bmodc 转而 它代表比 m 小且和 m 互素的整数的个数 实质上研究了素剩余的乘法性 质 第三节 幂剩余 研究给定数的幂模 奇 素数的剩余 其基础是费马小定理 ap 1 1 mod p p 是素数且非 a 的因子 高斯给出费马小定理的两个证明 由此导出素根 的概念 a 称为素根 若 a a2 a3 模 p 可产生所有与 p 互素的整数 进而利用公 式 ae b modp 定义一个数 b 关于 a 的指标 e 及相关的运算 以指标表示法导出一个数的 二次特征的判别准则 即判别一个数是否为模 p 的二次剩余 该准则欧拉已经知道 而高 斯的推导和证明更完全和确切 导出了威尔逊 wilson 定理 以上三节是高斯为读者阅读 书的主要部分而首次系统表述的初等数论知识 第四节 二次剩余 在给出定义后证明了 他的 基本定理 若 p 是形如 4n 1 的素数 则当任一正素数是 p 的 非 二次剩余时 p 也是它的 非 二次剩余 对于形如 4n 3 的素数 类似的结论对 p 成立 此即著名的二次 互反律 这一被誉为数信纸中的 酵母 的定理最早为欧拉提出 勒让德作过繁杂的讨论 但 都未给出正确的证明 高斯在证明中首先论证定律对某些素数成立 然后通过对素数的完 全归纳法证明之 高斯一生中给出过二次互反律的六个不同的证明 1817 年高斯就其证明 之一发表评论时说 高级算术的特点是 通过归纳愉快地发现许多最漂亮的定理 但要 证明它们 常常要经过多次失败 最终的成功依赖于深刻的分析和有幸发现的某种结合 数学这一分支中不同理论间的奇妙结合 他认为寻找定理的新证明 绝非多余的奢侈品 有时候 你开始并没有得到最美和最简单的证明 而恰是这种证明才能深入到高级算术的 真理的奇妙联系中去 这是吸引我们去研究的主要动力 并常能使我们发现新的真理 这 反映了高斯对纯数学研究的看法 第五节 二次型 讨论二元二次型 f x y ax2 2bxy cy2 a b c 为给定的整数 该节主要部分的基础来源于拉格朗日 高斯从他 的工作中抽象出型的基本性质 型的变换及等价概念 将型的理论系统化并加以发展 如 对给定判别式的型的各个类 皆可选取一个型为其代表 高斯给出了选择最简单的代表的 准则 他证明了有关型的复合的重要定理 讨论了用型表示数的问题 第六节 应用 提 出了上节引入的概念的重要应用 主要涉及部分分数 循环小数 解同余方程以及区分合 成数和素数的准则等 第七节 分圆问题 这是高斯于 1896 年宣布已完成正十七边形作图 后首次公开它的理论基础 高斯证明的结论是 一个正多边形 其边数为奇数 p 时 可尺 为任意非负整数 算术研究 系统总结了前人的工作 解决了一批最困难的著名问题 系统地形成了一批概念和问题 它直接影响了其后一个世纪的研究模式 实为现代数学史 上第一部结构严谨的数论巨著 高斯曾称 数论是数学中的女皇 足见他对数论的重视 在他的科学日记及手稿中 还记载着他的其他数论发现 重要的有 9 1 根据瑞士数学家 j 兰伯特 lambert 的素数表和他自制的素数表 对素数的分布 作出如下猜测 小于 x 的素数个数 x 分式差 2 通过实例找到双纽线函数的周期与算术 几何平均的关系 并给出了证明 实际上 早于 n h 阿贝尔 abel 和 c g j 雅可比 jacobi 的椭圆函数研究 他将双纽线函数 表成两个整函数 p q 本质上是雅可比的 函数的特例 3 写于 19 世纪早期的一些手稿表明 高斯已熟悉了最终由 f 克莱因等人完成的一 种模函数的理论的基本要领 他是从二次型的约化理论出发到达模函数论的 高斯还掌握 了模函数的几何表示 的高斯和 1811 后在数论发展中变得十分重要 5 在研究四次剩余的理论时 将整数概念推广到复域 即形如 a ib a b 为整数 的 所谓高斯整数 他还对几种特殊情形证明了四次互反律 6 提出二元和三元二次型的代数理论有相应的几何模拟 1830 这是数的几何理论的 一个发端 高斯是 19 世纪分析严格化的先躯之一 他在 1813 年发表了 无穷级数 的一般研 究 disquisitiones generales circa seriem infinitam 讨论超几何级数 欧拉曾研究过它 高斯对它的兴趣在于他发现当取不同的 和 时 几乎可 以导出所有当时已知的初等函数和许多诸如贝塞尔函数 球函数那样的超越函数 具有极 大的普遍性 高斯在文中给出了该级数收敛的具体判据 使它成为数学史上最早讨论无穷 级数收敛问题的文献 高斯还在实质上建立了该级数与 函数 在上文发表前两年 高斯对复函数论也作出了开创性的贡献 在给贝塞尔的一封信 1811 年 12 月 中 他描述了复函数沿复平面上的曲 以及复函数基本定理 若复函数 f z 在曲线 c 及其内部解析 则其沿 c 的积分为零 因高 斯未公开发表他的成果 而 a l 柯西 cauchy 的表述较为完整 现称此定理为柯西积分 定理 高斯在复分析方面的另一重要成果是获丹麦哥本哈根科学院奖的那篇文章 它实际 上解决了任一曲面保形变换到任何另一曲面上的解析条件问题 高斯的几何学研究 使他实现了 19 世纪最富革命精神的两项几何创造 非欧几何和内 蕴微分几何 关于非欧几何 高斯生前从未正式发表他的成果 但从其通信 科学日记及手稿中 可清晰看到他的思想发展脉络 证明他是最早认识到存在非欧几何的数学家 1 1799 年 9 月 他在科学日记中记道 在几何基础的问题上 我们获得了很好的 进展 2 同年 w 波尔约在给高斯的信中自称能从欧几里得的其他公理公设推出平行公 设 高斯在 12 月 17 日的回信中婉言否定了波尔约的结论 并说 我可以从存在面积为任 意大的直角三角形的假设 严密地导出平行公设 大多数人肯定会把它当作公理 但我不 这样做 因为我相信不管三角形三个顶点离得多么远 其面积可能永远在某个限度以内 3 在 19 世纪初 数学家们已经知道如平行公设不成立 则可导出存在绝对长度单 位 但因无法找到这样的单位 勒让德于 1794 年认定这反而是使人相信平行公设的理 由 高斯在给天文学家 c l 格林 gerling 的信 1816 中表示 绝对长度单位的存在固 然值得怀疑 但他无法从存在绝对单位推出任何矛盾 他觉得有一绝对长度单位反而更好 10 并说 人们可以取角度为 59 59 59 9999 的等边三角形的边长为单位长度 4 1824 年 高斯在回答 f a 陶里努斯 taurinus 证明 平行公设的来信时写道 由三角形的内角和小于 180 的假设可导出一种奇异的几何 它跟欧几里得几何大相径 庭 但其本身却是相容的 高斯接着说此类几何由某一常数所确定 这常数越大 这几 何就越接近欧氏几何 当它变成无穷大时 两种几何就一致了 高斯当时未指出这常数 即绝对单位 的值 实际上它可通过空间曲率 k 来表示 即 理论一直众说纷纭 我们知道高斯一直认为几何是和力学一样应能以实践检验的科学 他 又十分熟悉测量时的误差估计 而在当时的条件下尚不可能对非欧几何进行有说服力的检 验 高斯可能是不愿意公布会引起争论而无法作出最终判决的理论 关于高斯的内蕴微分几何思想 集中体现在 曲面的一般理论 中 其主要内容为 1 以曲面的参数方程 x x u v y y u v z z u v 为研究的出发点 定义弧长 元素为 ds2 e u v du2 2f u v dudv g u v dv2 其中 e f g 为 x y z 对参数的偏导数的有理式组成 并给出曲面上曲线间夹角 的定义 2 推广 c 惠更斯 huygens 和 a c 克莱罗 clairaut 关于平面曲线曲率的概念 定义了一个曲面在曲面上一点处的曲率 k 种坐标系 曲线坐标和直角坐标 中给出了曲率 用曲面的偏导数表示的公式 证明曲率 k 完全跟曲面是否在三维空间中或曲面在三维空间 中的形态无关 因此当曲面无伸缩地弯曲时 ds 保持不变 曲面的所有性质 包括曲率 亦 保持不变 这就提出了几何史上一个全新的重要概念 即一张曲面本身就是一个空间 3 研究了曲面上的测地线 证明了测地线构成的三角形的著名 角形 a 上的积分 则有 其中 1 2 3 为测地三角形的三个内角的值 高斯认定这是 最精美的定理 即现称的高斯 博内 bonnet 公式 天文学 高斯曾在给 w 波尔约的信中说 天文学和纯粹数学是他灵魂的指南针永久指向的两 极 表明天文学在高斯心目中的地位 高斯是在天文学史上的一个重要时期介入这一领域 的 在 1800 年前后 由于技术和光学仪器的进步 以及观测资料的系统积累 已编制出西 方天文学界的第一部可靠的天象图 这对发现新天体大有裨益 又由于外行星的发现 1781 年发现天王星 为理论天文学提出了更精确计算行星摄动的问题 1801 年 1 月 1 日 意大利天文学家 j 皮亚奇 piazzi 新发现一颗亮度为 8 等的星 到同年 2 月 11 日 人们仅观测到它在其轨道上运行了 9 它便行至日光中而无从继续观 测 全欧洲的天文学家都期待重新发现这颗现定名为谷神星的小行星 高斯根据拉普拉斯 的方法和他在算术 几何平均方面的知识 详细计算了谷神星的星历表 预测了它再次出现 的时间和位置 高斯的方法载于 天体沿圆锥曲线的绕日运动理论 其新思想是充分利用 半径向量扫过的扇形面积与相应三角形的比值 高斯不必事先假设被观测天体的运行轨道 是椭圆还是双曲线 只要根据三次完全观测 即包含时间 赤经和赤纬的观测 就能算出运 行轨道的特性 高斯方法的普适性使得整个计算比前人针对不同天体使用不同的特殊方法 要复杂 但它对新发现的星体轨道的计算有本质的优越性 特别是当观测资料像初次发现 谷神星那样十分匮乏时 此时很难区分该星是彗星还是行星 高斯的方法遂成为计算天文 学的经典 11 在上述著作中 高斯首次发表他的最小二乘法 这是他整理观测数据必不可少的工 具 1812 年他在致拉普拉斯的信中称 自 1802 年起几乎每天用最小二乘法计算新的行星 轨道 在 1803 年他还和阿尔伯斯讨论过这种方法 高斯的遗稿证实了上述说法 可见高斯 和勒让德同为此方法的独立发明者 不存在剽窃问题 高斯在 确定行星对任意点的引力 以及一些手稿中 继牛顿和拉普拉斯创立天 体摄动学说后 提出了一种分析摄动问题的具体模型 即将行星质量假想为按一定方式分 布于整个运行轨道上 据此计算星体间的互相影响 探讨了长年摄动问题 对摄动理论做 出了基础性贡献 高斯对实用天文学的贡献除积累了几十年的观测资料 预报新发现的小行星轨道外 还自制天文仪器六分仪 为提高观测精度而从事几何光学研究 改进了望远镜的质量 测地学 高斯在实施汉诺威公国的测地计划的实测工作中 使用传统的三角测量法 即从长度 精确测定的基线出发 选定一个三角形网络将所测的地域覆盖 各三角形的顶点的选取 至少应能保证从两个方向上对其进行目力观测 测出各三角形内角的精确值是提高测地精 度的关键 由于地形千变万化 仪器精度不高 使实测工作费时费力 测量时不可避免的 随机误差也给数据处理提出了新课题 高斯首先设计了日光反射信号器以提高观测精 度 该仪器的主要部件是一面能旋转的镜子 配以必要的光学仪器 如小望远镜 它在测 量时既可作为发光的被测目标 又可用于传递信息 成为三角测量的标准仪器 借助这一 发明 高斯能进行远距离的观测 反射光在 15 英里远处仍相当于一等星的亮度 即使在天 空有云 无直射阳光照射的条件下仍能保证观测继续进行 这一仪器到 1840 年才为其他人 改进 高斯还曾设想用 100 个平面镜 每个为 1 5 1 5 平方米 制作巨大的反射器 它可 将日光反射到月球表面 如果能把天文学家送上