初中数学 数学名师 弗雷格VIP

1 弗雷格弗雷格 弗雷格 f l g frege friedrich ludwig go ttlob 1848 年 11 月 8 日生于德国 维斯马 wismar 1925 年 7 月 26 日卒于巴德克莱茵 bad kleinen 数学 逻辑学 哲 学 弗雷格出生的年代正值德国民主革命开始 维斯马是一个远离德国政治中心的小商业 城镇 革命风潮对这里影响很小 弗雷格出生在一个信奉路德教的中产阶级家庭 在血统 上是混杂的 部分是德国的 部分是波兰的 其父亚历山大 弗雷格 alexanderfrege 开办 了一所女子学校 他去世后这所学校就由他妻子来管理 1869 年 母亲奥古斯特 弗雷格 auguste frege 送弗雷格到耶拿大学就读 当时弗雷格就把数学作为自己的主要兴趣 但 也选修了化学 物理和哲学 他的老师 数学家 物理学家 e 阿贝 abbe 及时发现了 他的才能 成为他毕生信念的支持者 在阿贝的帮助下 他离开耶拿 来到格丁根大学继 续深造 1873 年 在数学家 e 谢林 schering 的指导下 弗雷格以论文 论平面上虚影 的几何图形 ueber eine geometrische darstellung derim ginaren gebilde in der ebene 获得哲学博士学位 该论文通过对平面上虚影图形性质的讨论 阐明了几何学基于 直觉的观点 他在格丁根还参加了著名哲学家 r h 洛采 lotze 的讲座 洛采的逻辑观 念 特别是他对纯逻辑的看法 对弗雷格逻辑思想的形成有着重要的影响 弗雷格在格丁根大学获得博士学位之后 又回到耶拿大学 在阿贝的帮助下 他于 1874 年以论文 基于量值概念外延的演算方法 rechungsmethoden die sich auf eine erweitung desgr ssenbegriffes gr nden 获得了无薪大学讲师的资格 在这篇论文中 弗雷格提出了用于运算的量值概念 并断言算术真理产生于量值概念 1879 年 弗雷格的 概念语言 问世之后 他又一次在阿贝的推荐下成为耶拿大学的编外教授 1896 年成为 荣誉教授 弗雷格在耶拿大学执教 40 余年 讲授过数学的各分支学科及有关的逻辑系统 举办过 概念符号 讲座 他一直致力于数学基础 数学哲学和逻辑理论的研究 1918 年 退休 弗雷格首先是作为一位数学家和逻辑学家而闻名于世的 他在数学上的主要成就 是 使自 c f 高斯 gauss 以来所建立的数学体系更精确和完善 确立了算术演算的基本规 则 他第一个建立了初步自足的命词演算系统和量词理论 首次提供了现代意义下的数理 逻辑的一个体系 因而成为数理逻辑的奠基人 他提出数学可以化归为逻辑的思想 成为 逻辑主义的创始人 弗雷格还是一位杰出的哲学家 他的绝大部分著作都具有明显的哲学 特征 他认为 一个好的数学家 至少是半个哲学家 一个好的哲学家 至少是半个数 学家 他直接把传统哲学对思维内容和认识能力的探讨 转向对语言表达形式和语言内部 框架的考虑 他认为对语言意义的分析 是哲学研究的主要任务 弗雷格对哲学任务的重 新规定 标志着当代西方分析哲学的开端 因此他被誉为当代分析哲学的真正奠基者 弗雷格的主要著作有 概念语言 算术的基础 函项与概念 function und begriff 1891 论意义和所指 ber sinn und bedeutung 1892 论概念和对象 berbegriff und gegenstand 1892 算术的基本规律 1 2 卷 以下简称 基本规律 弗雷格的科学生涯大致可以分为五个时 在第一个时期 弗雷格主要从事纯逻辑的研究 其研究成果总结在 1879 年出版的 概 念语言 中 用数学方法研究逻辑问题 一般认为是由 g w 莱布尼茨 leibniz 提出的 文字学设想开始 他提出过有关思维演算的思想 莱布尼茨的这种先驱性想法没有及时得 到应有的发展 在淹没了一个世纪之后 19 世纪英国的两位数学家 a 德摩根 de morgen 和 g 布尔 boole 用代数的方法建立了逻辑代数 但这种逻辑代数与亚里士多德 ar 2 istotle 的形式逻辑本质上是相似的 在 1874 1879 年间 弗雷格攻读了布尔学派和一些 哲学逻辑学家的著作 除上文提到的洛采外 18 世纪德国哲学家 a 特伦德伦堡 trendelenburg 的著作对弗雷格也有较大的影响 通过特伦德伦堡的工作使弗雷格了解到 莱布尼茨关于逻辑语言的观点 弗雷格还追随特伦德伦堡 把他的逻辑符号系统称作 概 念语言 弗雷格用心研究莱布尼茨和 i 康德 kant 的逻辑学和数学哲学方面的著作 有 选择地接受了两位哲学家的思想 在弗雷格晚年 他是这样描述自己的研究动机的 我 开始是搞数学 在我看来 这门科学急需更好的基础 语言逻辑的不完善对这种研究 是一种障碍 我在 概念语言 中寻求弥补 所以 我就从数学转向了逻辑 经过 5 年的沉思 弗雷格完成了一部划时代的著作 概念语言 在这本书里 弗 雷格把从洛采和特伦德伦堡 以及从莱布尼茨和康德那里得到的观点 变成一种全新的逻 辑 这本不足 80 页的小书是弗雷格的不朽之作 弗雷格在此建立的逻辑有效地终结了亚里 士多德逻辑两千多年来一直占据的统治地位 完成了始于几百年前 g 伽利略 galilei 破 除亚里士多德物理学的进程 在 概念语言 中 弗雷格创造了一种表意的语言 即 纯 粹思想的语言 正如他在这本书的副标题中所说 它可以使我们完全精确地表达判断的 概念内涵 弗雷格认为 真理分为两种 一种真理的证明必须以经验事实为根据 例如物 理学中的定理 另一种真理的证明似乎可以纯粹从逻辑规律出发 他认为算术命题就是属 于后一种的 在探讨如何根据思维的逻辑规律经过推理以得到算术命题时 必须绝对严格 要防止未被查觉的直观因素渗入 因此必须使推理过程没有漏洞 他觉得日常语言是表达 严密思想的障碍 当所表达的关系越复杂时 日常语言就越不能满足要求 因此他创造了 这种概念语言 他说 用这种语言进行推理 最有利于觉察隐含的前提和有漏洞的步 骤 这种语言和日常语言相比 就好像机械手和人手相比 或者像显微镜和肉眼相比一 样 利用这种语言 弗雷格成功地构造了一个严格的逻辑演算体系 下面简要介绍一下弗 雷格逻辑演算的内容 1 弗雷格严格区别了命题的表达和断定 他认为 我们只有能够表达一个思想 理解 一个思想 才能对它加以断定 他引进断定符号 表示 是被断定的 其 中垂直短线 称为判断短线 水平短线 称为内容短线 是一个整体 它 只表达可断定的内容 即命题的表达 而 才表示命题的断定 如 表示 不同的磁极相互吸引 这一断言 而 只是表达了不同磁极相互吸引这一思想 而对这一思想的正确性没有任何判断 2 弗雷格明确提出真值蕴涵的思想并指出它与日常语言的区别 他采用否定和蕴涵作 为基本的逻辑联结词 他用小竖线 放在内容短线下面表示否定 表示 非 符号 表示 蕴涵 他列举了 和 的四种可能的真值组合 1 肯定 肯定 2 肯定 否定 3 否定 肯定 4 否定 否定 用符号 表示以上第 三种可能不实现而其余三个可能性中的每一个都可实现 弗雷格说 当 为真时 蕴含 常可被断定 在此情形下 可以是任一命题 其具体内容完全无所谓 和 不必有 因果关系 与日常语言中的 如果 则 不同 3 弗雷格引进一个内容同一的符号 设 和 为任意名称 即不一定是命题记号 他 规定 的意思是 名称 和名称 有相同的概念内容 使得 总是能由 替 换 反之亦然 他还指出 由他的新符号所联结的名称不仅代表它们的内容而且代表名称 自身 后来 他改用符号 不被看成两个名字之间的关系 而是看成名字的指称 之间的关系 用于专门的指称 相当于等词 用于命题的指称 真值 则相当于现在 的等值符号 4 弗雷格把数学中的函数概念引入逻辑演算 从而建立了量词的理论 他采用变目和 函项两个术语 表示变目 记号 表达变目 的一个不确定的函项 记号 3 表达按顺序所取的两个变目 和 的一个函项 假定如下一种函项 当它由变目填满时 它表达可能的判断内容 于是 读作 有性质 读作 与 有关系 弗雷格使用这种符号的主要优点是 它能够比普通语言所提供的方 式更令人满意地表达一般性 在此基础上 弗雷格引进了全称量词和存在量词 表示 不管怎样取函项的变目 函项总是一个事实 即 凡 a 都是 在这里 全 称量词是基本概念 存在量词则通过全称量词而表达为 它表达 至少有一个 a 是 5 弗雷格建立了 9 条公理 用现代的符号表示为 1 a b a 2 c b a c b c a 3 d b a b d a 4 b a a b 5 a a 6 a a 7 c d f c f d 8 c c 公理以外有四条变形规则 2 代入规则 弗雷格使用了但没有严格地陈述 假定 a 并不在表达式 中出现 而且 a 仅处于 a 的变目空位中 a 不在 和 中出现 a 中的 a 只处于变目空位中 事实上 这条规则是第三条规 则的推广 弗雷格在上述公理和规则的基础上 进行了大量的推演 成功地构造了一种基本自足 的逻辑演算 从而给出了历史上第一个严格的关于逻辑规律的公理系统 现代的逻辑系 统 它实质上包含了作为现代数理逻辑基础的两个演算系统 命题演算系统和一阶谓词 演算系统 不幸的是 弗雷格这本划时代的小册子被数学家和哲学家们忽视了 他在 概念语言 中建立的新逻辑没有马上被人理解 其中使用复杂而陌生的符号来表达新奇的概念 确使 读者望而生畏 德国数学家 e 施罗德 schrder 发表长篇文章 对该书进行全面批评 事 实上 直到 b a w 罗素 russell 1901 年开始发现弗雷格著作的价值之前 概念语言 几乎没有读者 概念语言 出版之后 弗雷格的创造生涯进入第二时期 在这一时期 弗雷格开始 形成逻辑主义的观点 在最初几年 他由于自己的著作没有受到重视而大受挫折 没有发 表任何作品 但他仍然在重新思考和深刻挖掘自己的哲学和数学观点 并逐渐形成了他的 数学哲学的三个主要原则 第一 他反对在数学基础问题上的经验主义 否认数学来源的 经验基础 强调数学真理的先天性 第二 他认为数学真理是客观的 这种客观性基于数 4 学的非经验的基础 在他看来 客观性是思想的必要条件 第三 他主张一切数学最终都 可化归为逻辑 数学概念可以定义为逻辑普遍要求的概念 数学公理可以从逻辑原则中得 到证明 这第三条原则后来被罗素作为逻辑主义的基本主张而广为传播 弗雷格因此成为 逻辑主义的创始人之一 弗雷格在 算术的基础 中力图作为逻辑的延展去建立数学 为此 首先要从逻辑推 出算术 为使大家能够理解他的著作 他对自己的观点及关于数和算术所流行的各种哲学 观点作了非形式的说明 然后他指出 要从逻辑推出算术 首先必须给出数和自然数的定 义 弗雷格接受他的前辈的观点 所有大于 1 的自然数可由指出它们的前趋即用 2 1 1 3 2 1 一类等式来定义 但他认为 这些定义是不完全的 因为使用了 数 1 和 加 1 这两个未定义的概念 他考察了从欧几里得 euclid 到 g 康托尔 cantor 以来的许多 数学家的著作 发现关于数的定义是相当混乱的 他指出在此之前所见到的一切关于数的 定义都含有基本的逻辑错误 他说 数是什么 这是一个最根本的问题 如果我们对这 个问题都不能做清楚的回答 岂不是一个笑话 又说 数学的本质就在于 一切能证 明的都要证明 而不是通过归纳法来验证 因此 我们也应考虑如何来证明关于正整数的 命题 弗雷格发展了 概念语言 中关于数学序列的理论 在那里他用 遗传性 定义了 y 属于从 x 开始的 f 序列 和 y 是 x 的 f 后裔 为自然数的定义和说明数学归纳法作了 理论和技术上的准备 弗雷格给出的自然数的定义的核心在于使用了 一一对应 的概念 属于两个概念 f 和 g 的对象借助于关系 一一对应 如果 1 每一个属于概念 f 的对象对 于属于概念 g 的一个对象 有关系 2 对于属于概念 g 的每一个对象 存在一个属于 概念 f 并与前者有关系 的对象 3 对所有 x y 和 z 而言 如果 x 对 y 和 z 有关系 那么 y 和 z 就是同样的 4 对所有 x y 和 z 而言 如果 x 和 y 对 z 有关系 那么 x 和 y 就是同样的 弗雷格在此基础上构造了以下三个定义 1 概念 f 与概念 g 是等数的 与 存在一个关系 使得属于概念 f 的对象与属 于概念 g 的对象一一对应 其意义是相同的 2 属于概念 f 的数是 与概念 f 等数 这一概念的外延 3 n 是一个数 与 存在一个概念使得 n 是属于它的数 其意义是相同的 接着他又定义了 n 在自然数序列中是 m 的直接后继 存在一个概念 f 和一个归 于它的对象 x 使得属于概念 f 的数是 n 属于概念 归于 f 但不同于 x 的数是 m 这实 质上是后继函数的定义 在这些工作的基础上 弗雷格取 0 作为数列的起点 提出如下定义 0 是属于概念 不同于自身 的数 1 是属于概念 同于 0 的数 2 是属于概念 同于 0 或同于 1 的数 3 是属于概念 同于 0 或同于 1 或同于 2 的数 可见 1 在自然数序列中是 0 的直接后继 2 在自然数序列中是 1 的直接后继 等 等 事实上 弗雷格所用到的 一一对应 概念与康托尔所谓的集合的 等价 意义是一 样的 弗雷格指出 他的数与康托尔理论中集合的 势 或 基数 是相同的 两个概念 同数 就是两个集合等价 概念 与概念 f 等数 的外延 就是与集合 f 等价的一切集合 构成的集合 所以弗雷格实际上是把数定义为集合的集合 或类的类 利用康托尔的语言 5 概括弗雷格关于数的定义 1 一个集合的基数是所有等价于它的集合的集合 2 0 df 空集合的单元集 1 df 0 2 df 0 1 3 df 0 1 2 弗雷格的后续函数的定义实际上是说 后续函数把等价集合的集合 m 映射到一个新的 集合的集合 m 即 n m 中的每一个集合是由在 m 中的某一个集合加上一个新分子 而得到 由此可见 自然序列中的每一个数 有一个直接后继的数 这样 自然数就由 0 和后 继函数而确定下来 有逻辑学家评论 弗雷格的这个定义系统是哲学技巧中极其卓越的成就 人们也很容 易理解 为什么弗雷格认为他至少使得算术化归为逻辑是可能的 在 算术的基础 的最后几页 弗雷格指出 其他类型的数 也可以用类似的方式加 以定义 实数和复数同样可以刻画为概念的外延 在 基本规律 的第二卷中 他阐明了 这个方案是如何实施于实数的 康托尔在 1884 年也给出数的定义 但弗雷格的定义比康托尔的更为精确 弗雷格从逻辑出发定义了数和自然数 他对自然数的归纳定义也是对数学归纳法的最 好说明 他认为 借助于上述定义 自然数的概念就被化归成了逻辑的概念 自然数的理 论则可以借助于上述定义和逻辑得到建立 这样 算术理论就被 逻辑化 了 弗雷格在他的第三时期集中精力写作 基本规律 原计划写三卷 实际上只完成两卷 1893 1903 弗雷格准备在这部专著中 从逻辑出发去展开除了几何学以外的全部数 学 他认为 逻辑的原则是完全可靠的 一旦完成了上述工作 数学 就被固定在一个永 恒的基础上了 1893 年 出版了 基本规律 第一卷 它是 算术的基础 的理论的严谨发展 书中 改进了 概念语言 符号系统 提出了不同的公理 阐述了高阶谓词演算 从 概念语言 到 基本规律 弗雷格的逻辑发生了三个主要变化 1 他在自己的系统中加上了函项的 值域这一概念 2 区分了意义的两个方面 即 所指 和 意义 3 更为严格地规定了 与对象相对的函项的性质 明确提出了 第一层函项 和 第二层函项 的区别 第一层 函项就是以前所定义的函项 其变目是对象 第二层函项就是函项的函项 其变目是函项 例如在 m f 中 m 就是第二层函项 其变目是 f 弗雷格还把概念分为第一层概 念和第二层概念 这些逻辑上的变化在 基本规律 第一卷之前的 5 篇文章 中就已经提 出并作了解释 弗雷格在 基本规律 第一卷中建立了另一个逻辑系统 二阶谓词演算 提出了新 的公理 他用 xf x 代表 f x 的值域 例如 若 f x 表达 x 是人 则它的值域 xf x 就 表达 人类 他还引进代表定冠词的函项符号 x 如 xf x 读为 那个具有性质 f 的 x 用现在的符号表示弗雷格的新公理如下 在这个新系统中 除分离规则和代入规则之外 弗雷格还把原来系统的一些公理和定 理作为新的推理规则 在这一系统中处理了命题演算 谓词演算 类理论和关系理论 更 重要的是进行了推导算术的工作 基本规律 第一卷出版后 再次受到冷遇 只有 g 皮亚诺 peano 在 1895 年作了 评述 但他对这本书的内容没有足够的理解 这再一次使弗雷格深感痛苦 然而 弗雷格 并没有放弃自己的目标 他继续撰写 基本规律 第二卷 其中主要论述实数的理论 并 6 用较多的篇幅批评当时流行的观点 但是 弗雷格并没有完成他的计划 因为要理解数学科学的性质 除了算术以外 还 必须考虑无穷集合的理论 集合论 弗雷格没有深入研究集合论 没有接触到关于无穷 集合的各种问题 特别是悖论问题 1902 年 正当弗雷格等待 基本规律 第二卷付印的 时候 他收到了罗素 6 月 16 日写给他的信 信中首先称颂他的工作 就我所知 您的工 作是我们时代中最好的 在许多具体问题上 我发现您的著作都进行了讨论 区分和定 义 这使其他逻辑学家的工作黯然失色 具有讽刺意味的是 罗素的来信既标志着弗雷格 的工作开始得到承认 也宣告了他的独创性工作的终结 因为罗素在他的信中接着写道 只有在一点上我遇到了困难 由于下述矛盾 令 w 为不能论断自身的谓词的 谓词 w 可以论断自身吗 每种回答都隐含着它的否定 因而人们必须得出 w 不是一个 谓词 同理 没有不包含自身的作为整体的类的类 由此我得到 在某种条件下 一个可 定义的集合没有构成一个整体 罗素当时并没有完全认识到他的发现是怎样严重地威协着弗雷格的逻辑主义纲领 但 是 弗雷格本人毫无疑问地认识到这个矛盾的潜在致命力 他对罗素来信的反映迅速而强 烈 他马上复信 15 您发现的矛盾引起了我极大的震惊 我几乎可以说是惊愕不已 因为它动摇了我建 立算术基础的企图 我的 基本规则 第二卷看来是有缺陷的 我无疑要补充一个附 录 对您的发现作出论述 在 1903 年 弗雷格出版了带有一个后记 写于 1902 年 10 月 的 基本规则 的第二 卷 他在后记中不无悲哀地写道 对于一个科学工作者来说 最不幸的事情莫过于 当他完成他的工作时 发现他的 知识大厦的一块基石突然动摇了 正当本书的印刷接近完成之际 伯伦特 罗素先生给我的 一封信使我陷入这种境地 这封信是关于我的公理 v 的问题 我本人从来没有掩盖这条公 理缺乏其他公理所具有的并必为逻辑规律所正当要求的自明性 成为问题的恰恰不是我建立算术的特殊方式 而是算术是否完全可能有一个逻辑基 础 弗雷格的第四时期是在极度消沉中度过的 这一时期长达十几年 最初 他相信能有 补救的办法使他的系统避免矛盾 他首先提出一种设想 可能有一些概念没有相应的 类 然后他用修改第 公理的办法来阻止罗素悖论的衍生 但是 后来逻辑学家的工作证 明 他所做的努力并不足以使他的系统避免不一致 他还打算论述集合论的逻辑悖论 1906 经过几年的努力之后 弗雷格似乎不那么相信能够找到解决矛盾的办法 虽然他 没有公开放弃自己的主张 但也不再做进一步的努力 至到 1918 年 弗雷格才彻底放弃把 算术化归为逻辑的一切希望 放弃了 基本规律 第三卷的写作计划 从此以后 他又进 入了新的研究时期 他的研究兴趣仍在数学基础上 并很自然地转向几何学 提出了几何 学是整个数学的基础的主张 弗雷格在 1903 年以后发表的论著很少 虽然弗雷格的逻辑主义纲领没有实