初中数学 数学名师 婆罗摩笈多

1 婆罗摩笈多婆罗摩笈多 婆罗摩笈多 brahmagupta 约公元 598 年生 约 660 年卒 数学 天文学 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人 原籍可能为现在巴基斯坦的信德 从他 的姓名结构中含 gupta 推测 他属于吠舍氏的成员 即当时的平民阶层 婆罗摩笈多长期 在乌贾因工作 这里是当时印度数学 天文学活动的三个中心之一 婆罗摩笈多在 30 岁左右 编著了 婆罗摩修正体系 br1hma sphuatasiddh1nta 公 元 628 年 一书 该书用此名 是因为他修改和引用了印度最古老的天文学著作 婆罗摩体 系 br hmasiddh1nta 的内容 婆罗摩修正体系 分为 24 章 其中 算术讲义 ganit1d h1ya 和 不定方程讲义 kutakh1dyaka 两章是专论数学的 前者研究三角形 四边形 零和负数的算术运算规则 二次方程等 后者研究一阶和二阶不定方程 婆罗摩 修正体系 的其他各章是关于天文学研究的 也涉及到许多数学知识 婆罗摩笈多的另一部著作 肯达克迪迦 khandakh1dyaka 音译 是天文学方面的 名著 它包含 8 章 研究了行星的黄经 与周日运动有关的三个问题 月食 日食 星的 偕日升落 以及行星的会合等 婆罗摩笈多的这些著作在拉贾斯坦邦 古吉拉特邦 中央邦 北方邦 比哈尔 尼泊 尔 潘贾婆 panjab 和克什米尔等地受到广泛重视 许多学者对其进行过研究 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位 他提出了负数概念 用小 点或小圈记在数字上面以表示负数 并给出负数的运算法则 如 两个正数之和为正数 两个负数之和为负数 一个正数和一个负数之和等于它们的差 一个正数与一个负数的 乘积为负数 两个负数的乘积为正数 两个正数的乘积为正数 等等 他的负数概念及其 加减法法则 仅晚于中国 约公元 1 世纪成书的中国 九章算术 最早提出负数及其加减法 运算的概念 而早于世界其他各国数学界 而他的负数乘除法法则 在全世界都是领先 的 婆罗摩笈多对数学的最突出贡献是解不定方程 nx2 1 y2 在欧洲 这种方程曾在 j 佩尔 pell 的代数书中论及 后被 l 欧拉 euler 命名为佩尔方程 1767 年 j l 拉 格朗日 lagrange 运用连分数理论 给出了该问题的完全的解答 事实上 婆罗摩笈多在 公元 628 年便几乎完全解出了这种方程 只是当时不为欧洲人所知 其后 婆罗摩笈多的 解法又被婆什迦罗 bh1skara 改进 按照婆罗摩笈多的解法 令 和 分别为 nx2 k y2 和 nx2 k y2 的一个解集 于是很容易变换为 nx2 kk y2 的解 x y n 这被称为婆罗摩笈多引理 特别地 取 k k 若 na2 k 2 则有 x 2 y 2 n 2 为 nx2 k2 y2 的解 故有 若上述值为整数 便得到一整数解集 1 若 k 1 则上述值显然为整数 2 1 x 和 y 为整数 na2 4 2 也为偶数 故此为方程的一对整数解 若 a 为奇数 应用婆罗摩笈多引 理 可得 若 为奇数 则 x y 皆为整数 若 为偶数 x y 也是整数 2 4 若 k 4 按上述过程 反复运用婆罗摩笈多引理 可得 无论 是奇数还是偶数 以上解都是整数 总之 解 nx2 1 y2 若得到一组解 a k 1 2 或 4 反复运用婆罗摩笈多 引理 便可得到一无穷解组 这就是婆罗摩笈多解方程 nx2 1 y2 的方法 婆罗摩笈多还研究了不定方程 ax by c 这类方程在印度首先为 到联立不定方程及多个未知量的情形 对方程 ax2 bx c a 0 b 和 c 可以是负数 婆罗摩笈多给出一个根的公式 婆罗摩修正体系 中的许多代数问题都是属于天文学计算的 印度书中常见的离奇 古怪的题目并不多 后来的注释者补上一些以说明某种法则 如 山上住着两个苦行者 一个是巫师 会在空中飞行 他从山顶笔直跳到空中去 到达某一高度后 斜降到一个小 镇上 另一个从山顶垂直到达地面 再步行到同一小镇 二人所经距离相等 求山和小镇 的距离 以及巫师升空的高度 这是一个二次不定方程 注释者按图中的数字求得 x 8 在几何学方面 婆罗摩笈多对有理直角三角形即边为有理数的直角三角形很有兴 趣 他给出了一般解 a 2mn b m2 n2 c m2 n2 m n 是任意不相等的有理数 但没有证 明 婆罗摩笈多对有理四边形的研究也取得了许多成果 不过 他没有认识到他所得到的 结论仅适用于圆内接四边形 令 a b c 和 分别是两个有理直角三角形的边 并有关系 c2 a2 b2 和 2 a2 2 则边为 c c b 和 c c b 的两个四边形称为婆罗摩笈多四边形 例如 取 a b c 和 分别为 3 4 5 和 5 12 13 便得到边为 25 39 60 52 和 25 60 39 52 的婆罗摩笈多四边形 圆内接四边形的两个定理被称为婆罗摩笈多定理 1 边为 a b c d 2 边为 a b c d 的圆内接四边形的对角线长分别为 和 婆罗摩笈多还探讨了借助于一给定的正弦表求中间角正弦的方法 他所使用的插值法 则等价于牛顿 斯特灵公式 婆罗摩笈多的一些数学结论夹杂着错误 例如计算边长为 12 的等边三角形的面积 他 写为 6 12 边长为 10 13 13 的等腰三角形的 3 是 0 这也是不正确的 公元 8 世纪时 婆罗摩笈多的著作被