矩阵秩的相关结论证明及举例

华 北 水 利 水 电 大 学 矩阵秩的相关结论证明及举例矩阵秩的相关结论证明及举例 课 程 名 称 线性代数 专 业 班 级 能源与动力工程 热动 101 班 成 员 组 成 王威威 联 系 方 式 2014 年 12 月 30 日 一 摘要一 摘要 矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念 是线性代 数的一个重要研究对象 因此 矩阵的秩的结论作为线性代数的一 个重要结论已经渗透到各章节之中 他把线性代数的内容紧紧联系 在一起 矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的 始终 所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵 而且 也是我们学习好线性代数各章节的有力保证 关键词关键词 矩阵 秩 结论 证明 英文题目英文题目 Abstract Matrix rank is an extremely important and widely used in th e mathematical concept is an important research object of linear algebra as a result the conclusion of the rank of matrix as an important conclusion of linear algebra has pen etrated into chapter associate the content of the positive linear algebra and matrix of rank as an important essentia l attribute of the matrix however throughout the course o f the theory of matrix so that the study of matrix rank can not only help us better learning matrix and chapter we lea rn good linear algebra Key words matrix rank conclusion proof 二 正文二 正文 1 定义 定义 定义定义 1 11 在矩阵在矩阵 A 中任意取中任意取 k 行行 k 列列 mn ij a 1 k min m n 位于这 位于这 k 行行 k 列交点上的列交点上的 k 2 个元素 个元素 按照他们在矩阵按照他们在矩阵 A 中的相应位置所组成中的相应位置所组成 k 阶行列式称为矩阶行列式称为矩 阵阵 A 的一个的一个 k 阶子式 阶子式 定义定义 1 12 若若 m n 矩阵矩阵 A 中至少存在一个中至少存在一个 r 阶子式不阶子式不 为为 0 而所有 而所有 r 1 阶子式 如果有的话 全为阶子式 如果有的话 全为 0 则称 则称 r 为为 矩阵矩阵 A 的秩 记为的秩 记为 Rank A 或简记为 或简记为 R A 此外 我们 此外 我们 规定 零矩阵的秩为规定 零矩阵的秩为 0 2 矩阵秩的相关结论证明及举例 矩阵秩的相关结论证明及举例 2 1 矩阵几个重要结论的证明 结论结论 1 对于任意矩阵对于任意矩阵 A 有 有 其中 其中是矩阵是矩阵 A 的转置矩阵的转置矩阵 Ar Ar A 证 因为 则 A 与的不等于零的子式的最高阶数相等 即 A A A Ar Ar 结论结论 2 对于任意矩阵对于任意矩阵 A 有 有 其中 其中 k 是非零常数是非零常数 kAr Ar 证 因为 KA 与 A 的不等于零的子式的最高阶数相等 则 kAr Ar 结论结论 3 对于任意矩阵对于任意矩阵 A 其中 其中是矩阵是矩阵 A 的伴随矩阵的伴随矩阵 Ar Ar A 证 当 n 即 A 可逆时 由于 故也是可逆的 即 n Ar A 1 n A A Ar 当 n 1 时 有 0 于是 I 0 从而1 又因为 n 1 所 ArA AAA Ar Ar 以至少有一个代数余子式 从而又由 于是 当0 ij A 1 Ar 1 Ar 时 即此时 则 即 10 nAr0 A 0 Ar 1 0 1 1 nAr nAr nArn Ar 当 当 当 ArAr 结论结论 4 minBrArABr 证 因为 所以存在可逆矩阵 P Q A sBrrArB nllm 设 rAr 使得 PAQ 于是 00 0 r I 00 0 1 1 B I rBPAQQrPABrABr r 其中所以 1 1ij bQB oo oo bb rb I rABr n ij r 00 0 111 显然最右边一个矩阵的秩不超过它的非零行数 r 也不超过所以 1 sbr minBrArABr 结论结论 5 设设 A B C 分别为分别为矩阵 则矩阵 则qppnnm BrABCrBCrABr 证 因为所以 00 oB ABC BCB AB Io AI BrABCr oB ABCo r BCB oAB r BCo oAB rBCrABr 结论结论 6 设设 A B 均为均为 n m 阶矩阵 则阶矩阵 则 r A B r A r B 证明 设 A a1 a2 an B b1 b2 bn 则 A B a1 b1 a2 b2 an bn 于是 r a1 b1 a2 b2 an bn r a1 a2 an r b1 b2 bn 故 r A B r A r B 结论结论 7 设设 A B 均为均为 n 阶方阵 则阶方阵 则 EBrEAr E ABr 证明 故 E B A AB 00 0E A 2121 EB EAB EB AABEA EB EbbbAb rrrr ABr 例设 A 是 n 阶可逆矩阵 且试用 A B C 表示 X n XC BA r 解 BAbbbCAb rrrr BCAX BA XC B1 121 1 2 1 0 A 则故 nBCAXnBCAXrAr XC BA 11 rr BCABCAX 11 X 0r 因而 结论结论 8 r A B r A r B 证明 设 A1 A2 A3 Ar 为 A 的列向量的极大线性无关组 B1 B2 B3 Bs 为 B 的列向量的极大线性无关组 则 A B 的列向 量均可由 A1 A2 A3 Ar B1 B2 B3 Bs 线性表示 r A B r A1 A2 A3 Ar B1 B2 B3 Bs 而 A1 A2 A3 Ar B1 B2 B3 Bs 中线性无关的向量一定不超过 r s 个 所以 r A B r A r B 结论结论 9 设设 A B 都是都是 n 阶非零矩阵 且阶非零矩阵 且 AB 0 则 则 A 和和 B 的秩的秩 都小于都小于 n 因为 AB 0 所以 r A r B n 因为 A 0 B 0 所以 r A 1 r B 1 所以 1 r A n 1 r B n 结论结论 10 对于任意方阵对于任意方阵 A 必存在正整数 必存在正整数 m 使得 使得 r A m 1 r A m 证明 由结论 4 知 r A r A 2 r A 3 r A k 而 rA 是有 限数 上面不等式不可能无限不等下去 则一定存在正整数 m 使 得 r A m 1 r A m 结论结论 11 设设 D 则 则 r D r A r B B C O A r r En O O AB En A B O 得 r AB n r A r B 即 r AB r A r B n 三 结束语三 结束语 本文列举了一些矩阵秩的相关重要结论 证明和举例 在此过 程中 加深了我们对矩阵