广东省梅州市2020届高三数学上学期9月第一次质量检测试题 文（含解析）

1 广东省梅州市广东省梅州市 20202020 届高三数学上学期届高三数学上学期 9 9 月第一次质量检测试题月第一次质量检测试题 文文 含解析 含解析 本试卷共本试卷共 4 4 页 页 2222 小题 满分小题 满分 150150 分 考试用时分 考试用时 120120 分钟 分钟 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 1 已知集合 则 2 1 20ax xbx xx ab a b c d 1x x 12xx 11xx 1x x 答案 d 解析 分析 求解出集合 根据并集的定义求得结果 b 详解 2 2021012bx xxx xxxx 1abx x 本题正确选项 d 点睛 本题考查集合运算中的并集运算 属于基础题 2 设复数z满足 则 3 3i zi z a b 1c d 2 1 22 答案 b 解析 分析 利用复数除法运算求得 根据模长定义求得结果 z 详解 由题意得 2 338643 3331055 iii zi iii 22 43 1 55 z 2 本题正确选项 b 点睛 本题考查复数模长的求解 关键是能够利用复数的除法运算整理出复数 3 为弘扬中华民族传统文化 某中学学生会对本校高一年级 1000 名学生课余时间参加传统 文化活动的情况 随机抽取 50 名学生进行调查 将数据分组整理后 列表如下 参加场数 01234567 参加人数占调查人数的百分比 8 10 20 26 18 12 4 2 估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是 a 参加活动次数是 3 场的学生约为 360 人b 参加活动次数是 2 场或 4 场的学生 约为 480 人 c 参加活动次数不高于 2 场的学生约为 280 人d 参加活动次数不低于 4 场的学生约 为 360 人 答案 d 解析 分析 根据样本中的百分比代替总体中的百分比 从而可计算求得各选项中的学生数 详解 参加活动场数为场的学生约有 人 错误 31000 26 260 a 参加活动场数为场或场的学生约有 人 错误 24 100020 18 360 b 参加活动场数不高于场的学生约有 人 错误 2 10008 10 20 380 c 参加活动场数不低于场的学生约有 人 正确 4 100018 12 4 2 360 d 本题正确选项 d 点睛 本题考查利用样本的数据特征估计总体的数据特征 属于基础题 4 已知双曲线 直线与c的两条渐近线的交点分别为 22 22 10 0 xy cab ab yb m n o为坐标原点 若为直角三角形 则c的离心率为 omna 3 a b c 2d 235 答案 a 解析 分析 由双曲线的对称性可得渐近线方程 从而得到关系 进而求得关系 利用求 a b a c c e a 得结果 详解 为直角三角形 结合对称性可知 双曲线的渐近线为 omn c yx 即 1 b a 22 2caba 2 c e a 本题正确选项 a 点睛 本题考查双曲线离心率的求解 关键是能够根据双曲线的对称性得到渐近线方程 5 已知数列中 若数列为等差数列 则 n a 3 2 a 7 1 a 1 n a 9 a a b c d 1 2 5 4 4 5 4 5 答案 c 解析 分析 由已知条件计算出等差数列的公差 然后再求出结果 详解 依题意得 因为数列为等差数列 73 2 1aa 1 n a 所以 所以 所以 故选 c 73 11 1 1 1 2 73738 aa d 97 1115 97 84aa 9 4 5 a 点睛 本题考查了求等差数列基本量 只需结合题意先求出公差 然后再求出结果 较为 基础 4 6 已知 且 则 1 sin 62 0 2 cos 3 a b c d 0 1 21 3 2 答案 c 解析 分析 解法一 由题意求出的值 然后代入求出结果 解法二 由两角差的余弦公式求出结果 详解 解法一 由 且得 代入得 1 sin 62 0 2 3 cos 3 故选 c cos 3 cos01 解法二 由 且得 1 sin 62 0 2 3 cos 62 所以 故选 c coscoscoscossinsin1 3666666 点睛 本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值 较为基础 7 如图 线段mn是半径为 2的圆o的一条弦 且mn的长为 2 在圆o内 将线段mn绕n点 按逆时针方向转动 使点m移动到圆o上的新位置 继续将线段绕点按逆时针方向 mnm 转动 使点n移动到圆o上的新位置 依此继续转动 点m的轨迹所围成的区域是图中阴 影部分 若在圆内随机取一点 则此点取自阴影部分内的概率为 o a b c d 46 3 3 3 1 2 3 3 2 3 3 2 5 答案 b 解析 分析 求解出阴影部分的面积 根据几何概型中面积型问题的求解方法求得结果 详解 由题意得 阴影部分的面积 2 13 262246 3 22 s 2 46 33 3 1 22 p 本题正确选项 b 点睛 本题考查几何概型中面积型问题的求解 关键是能够准确求解出阴影部分的面积 属于常考题型 8 在边长为 的等边 中 点满足 则 3abc m bm 2 ma cm ca a b c d 3 2 2 36 15 2 答案 d 解析 分析 结合题意线性表示向量 然后计算出结果 cm 详解 依题意得 故选 d 121211215 3 33 3 33333232 cm cacbcacacb caca ca 点睛 本题考查了向量之间的线性表示 然后求向量点乘的结果 较为简单 9 若函数 当时 不等式 3 1 4 0 2 5 0 x x f x xxx 1xm m 恒成立 则实数的取值范围是 2 fmxf xm m a b c d 4 2 2 2 0 6 答案 b 解析 分析 先判断函数的单调性 然后解答不等式 在恒成立的条件下求出结果 详解 依题意得 函数在上单调递减 3 1 4 0 2 5 0 x x f x xxx x r 因为 所以 即 在上恒成立 2 fmxf xm 2mxxm 2xm 1xm m 所以 即 故选 b 2 1 mm 2m 点睛 本题考查了函数的单调性的应用 结合函数的单调性求解不等式 需要掌握解题方 法 10 设函数在r上可导 其导函数为 且函数在处取得极小值 则函 f x fx f x 2x 数的图像可能是 yxfx a b c d 答案 c 解析 试题分析 函数f x 在x 2 处取得极小值 所以时 时 2x 0fx 2x 0fx 所以时 时 时 选 c 2x 0 xfx 20 x 0 xfx 0 x 0 xfx 考点 导数及其应用 7 11 已知过抛物线焦点f的直线与抛物线交于点a b 抛物线的准 2 4 2yx 3affb uuu ruur 线l与x轴交于点c 于点m 则四边形amcf的面积为 aml a b c d 12 3 12 8 36 3 答案 a 解析 分析 过作于 作于 设 根据抛物线定义和 bbnl nbkam k bfm 3afm 长度关系可求得 进而得到 利用求得梯形的上下底边长和高 3 2 2 2 cfpm mm 利用梯形面积公式求得结果 详解 过作于 过作于 bbnl nbbkam k 设 则 bfm 3afm 4abm 2akm 60bam 3 2 2 2 cfpm 4 2 3 m 34 2amm 3 sin6032 6 2 mcafm 11 2 24 22 612 3 22 amcf scfammc 本题正确选项 a 点睛 本题考查抛物线中四边形面积的求解问题 关键是能够灵活运用抛物线的定义 得 到图形中的等量关系 进而求得所需的线段长度 12 若关于的方程没有实数根 则实数的取值范围是 x0 x eaxa a 8 a b c d 2 0 e 2 0 e 0e 0 e 答案 a 解析 分析 方程化为 令 求出函数的值域 只需令属于所求值域的补 1 x e a x 1 x e g x x g x a 集即可得结果 详解 因为不满足方程 1x 0 x eaxa 所以原方程化为化为 10 x ea x 令 1 x e a x 1 x e g x x 时 1x 0 g x 时 1x 22 12 11 xxx exeex gx xx 令 0 2gxx x 1 22 2 gx 0 g x递增递减 当 2 2ge 即时 1x 2 g x e 综上可得 的值域为 g x 2 0 e 要使无解 则 1 x e a x 2 0ea 9 即使关于的方程没有实数根的实数的取值范围是 故选 a x0 x eaxa a 2 0e 点睛 本题主要考查利用导数研究方程的根 以及转化与划归思想的应用 属于难题 已 知函数有零点 方程有根 求参数值 取值范围 常用的方法 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数的值域问题加以解决 3 数形结合法 先对解析式变形 进而构造两个函数 然后在同一平面直角坐标系中画 出函数的图象 利用数形结合的方法求解 二 填空题 本大题二 填空题 本大题 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 若实数满足约束条件 则的最小值等于 x y 20 0 220 xy xy xy 3zxy 答案 7 2 解析 分析 先画出可行域 改写目标函数 然后求出最小值 详解 依题意 可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域 目标函数化为 则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值 通过平移 3yxz z y 可知在点处动直线在轴上的截距最大 因为解得 a y 20 220 xy a xy 1 1 2 a 10 所以的最小值 3zxy min 17 31 22 z 点睛 本题考查了线性规划的简单应用 一般步骤 画出可行域 改写目标函数 求出最 值 14 已知长方体的外接球体积为 且 则直线与平 1111 abcdabc d 32 3 1 2aabc 1 ac 面所成的角为 11 bbc c 答案 4 解析 分析 先求出外接球的半径 结合题意找出线面角的平面角 然后计算出结果 详解 设长方体的外接球半径为 因为长方体的 1111 abcdabc d r 1111 abcdabc d 外接球体积为 所以 即 3 432 33 r 2r 1 ac 222 1 24aabcabr 因为 所以 1 2aabc 2 2ab 因为平面 所以与平面所成的角为 11 ab 11 bbc c 1 ac 11 bbc c 11 acb 在中 因为 所以 所以 11 rtacb 1 2aabc 111 2 2bcab 11 4 acb 点睛 本题考查了求线面角的平面角 通常要先找出线面角的平面角 然后结合题意解三 角形求出角的大小 需要掌握解题方法 15 将函数的图象向左平移个单位长度 得到一个 sincos r 0 f xaxbx a ba 6 偶函数图象 则 b a 答案 3 解析 11 分析 根据平移后关于轴对称可知关于对称 进而利用特殊值构造 y f x 6 x 0 3 ff 方程 从而求得结果 详解 向左平移个单位长度后得到偶函数图象 即关于轴对称 f x 6 y 关于对称 f x 6 x 0 3 ff 即 31 sincos 3322 ababb 3 b a 本题正确结果 3 点睛 本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题 关键是能够通过平移后的对称 轴得到原函数的对称轴 进而利用特殊值的方式来进行求解 16 已知数列的前项和为 且 为常数 若数列满足 n a nn s 1 1a 1 nn sa n b 且 则满足条件的的取值集合为 2 nn a bn 920n 1nn bb n 答案 5 6 解析 分析 利用可求得 利用可证得数列为等比数列 从而得到 11 as 2 1nnn ass n a 进而得到 利用可得到关于的不等式 解不等式求得的取 1 2n n a n b 1 0 nn bb nn 值范围 根据求得结果 n n 详解 当时 解得 1n 111 1asa 11 2 21 nn sa 当且时 2n n n11 21 nn sa 即 11 22 nnnnn assaa 1 2 nn aa 12 数列是以 为首项 为公比的等比数列 n a 12 1 2n n a 2 920 nn a bnn 2 1 920 2 n n nn b 2 22 1 1 191209201128 0 222 nn nnn nnnnnn bb 解得 20 n 2 1128470nnnn 47n 又 或 n n5n 6 满足条件的的取值集合为 n 5 6 本题正确结果 5 6 点睛 本题考查数列知识的综合应用 涉及到利用与的关系求解通项公式 等比数 n a n s 列通项公式的求解 根据数列的单调性求解参数范围等知识 关键是能够得到的通项公式 n b 进而根据单调性可构造出关于的不等式 从而求得结果 n 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 在中 角 的对边分别是 已知 abc a bcabc sinsin0 3 bccb 求角的值 c 若 求的面积 4a 2 7c abc 答案 i ii 2 3 c 2 3s 解析 分析 由 利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可得 sinsin0 3 bccb 结合角的范围可得结果 由余弦定理可得 求 sin0 3 c c 2 4120bb 13 出的值 利用三角形面积公式可得结果 b 详解 sinsin0 3 bccb 由正弦定理可得 13 sinsincossin sin0 22 bcccb 因为 sin0b 13 sincos0 22 cc sin0 3 c 0 c 2 3 c 222 2coscababc 2 4120bb 0b 2b 113 sin2 42 3 222 sabc 点睛 本题主要考查正弦定理 余弦定理及两角和与差的正弦公式 属于中档题 对余弦 定理一定要熟记两种形式 1 2 同 222 2cosabcbca 222 cos 2 bca a bc 时还要熟练掌握运用两种形式的条件 另外 在解与三角形 三角函数有关的问题时 还需 要记住等特殊角的三角函数值 以便在解题中直接应用 30 45 60 ooo 18 为了了解我市特色学校的发展状况 某调查机构得到如下统计数据 年份x 20142015201620172018 特色学校 百 y 个 0 300 601 001 401 70 根据上表数据 计算与的相关系数 并说明与的线性相关性强弱 已知 y xr y x 14 则认为与线性相关性很强 则认为与线性相关性一 0 751r y x 0 30 75r y x 般 则认为与线性相关性较弱 0 25r y x 求关于的线性回归方程 并预测我市 2019 年特色学校的个数 精确到个 y x 参考公式 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 2 1 10 n i i xx 2 1 1 3 n i i yy 133 6056 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx a ybx 答案 i 相关性很强 ii 208 个 0 36724 76yx 解析 分析 求得 利用求出的值 与临界 2016x 1y 1 22 11 n iii nn iiii xxyy r xxyy r 值比较即可得结论 结合 根据所给的数据 利用公式求出线性回归方程的系数 再根据样本中心点一定在线性回归方程上 求出的值 写出线性回归方程 b a 代入线性回归方程求出对应的的值 可预测地区 2019 年足球特色学校的个数 2019x y a 详解 2016x 1y 1 22 11 n iii nn iiii xxyy r xxyy 20 710 41 0 42 0 73 6 0 75 3 605610 1 3 与线性相关性很强 y x 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx 20 710 41 0 42 0 7 4 1 0 14 0 36 15 120160 36724 76aybx 关于的线性回归方程是 y x 0 36724 76yx 当时 百个 2019x 0 36724 762 08yx 即地区 2019 年足球特色学校的个数为 208 个 a 点睛 本题主要考查线性回归方程的求解与应用 属于中档题 求回归直线方程的步骤 依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系 求得公式中所需数据 计算回归系数 写出回归直线方程为 回归直线过样本点中心是一条重要性质 a b ybxa x y 利用线性回归方程可以估计总体 帮助我们分析两个变量的变化趋势 19 如图 三棱台的底面是正三角形 平面平面 abcefg abc bcgf 2cbgf bfcf 求证 abcg 若和梯形的面积都等于 求三棱锥的体积 abc bcgf3gabe 答案 i 证明见解析 ii 1 3 g abe v 解析 分析 取的中点为 连结 可证明四边形为平行四边形 得 bcddfcdfg cgdf 由等腰三角形的性质得 可得 由面面垂直的性质可得平面 dfbc cgbc cg 从而可得结果 由三棱台的底面是正三角形 且 abcabcefg 2cbgf 16 可得 由此 根据面积相 2aceg 2 acgaeg ss 11 22 gabebaegbacggabc vvvv 等求得棱锥的高 利用棱锥的体积公式可得结果 详解 取的中点为 连结 bcddf 由是三棱台得 平面平面 abcefg abcefg bcfg 2cbgf cd gf 四边形为平行四边形 cdfg cgdf 为的中点 bfcf dbc dfbc cgbc 平面平面 且交线为 平面 abc bcgfbccg bcgf 平面 而平面 cg abcab abc cgab 三棱台的底面是正三角形 且 abcefg 2cbgf 2aceg 2 acgaeg ss 11 22 gabebaegbacggabc vvvv 由 知 平面 cg abc 正的面积等于 abc 32bc 1gf 17 直角梯形的面积等于 bcgf3 12 3 2 cg 2 3 3 cg 11 11 22 33 gabegabcabc vvscg 点睛 本题主要考查面面垂直证明线面垂直 线面垂直证明线线垂直以及棱锥的体积 属 于中档题 解答空间几何体中垂直关系时 一般要根据已知条件把空间中的线线 线面 面 面之间垂直关系进行转化 转化时要正确运用有关的定理 找出足够的条件进行推理 证明 直线和平面垂直的常用方法有 1 利用判定定理 2 利用判定定理的推论 3 利 用面面平行的性质 4 利用面面垂直的性质 当两个平面垂直时 在一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面 20 已知直线与焦点为f的抛物线相切 10l xy 2 2 0 c ypx p 求抛物线c的方程 过点f的直线m与抛物线c交于a b两点 求a b两点到直线l的距离之和的最小 值 答案 2 4yx 3 2 2 解析 分析 联立 和 利用即可求得 从而得到抛物线方程 设直线为 lc0 p m 与抛物线联立后可利用韦达定理求得 进而得到 由中点坐 1xty 12 4yyt 12 xx 标公式可求得中点 利用点到 距离之和等于点到 的距离的 ab 2 21 2mtt a b lml 倍 可将所求距离变为关于 的函数 求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值 2t 详解 将与抛物线联立得 10l xy 2 2c ypx 2 220ypyp 与相切 解得 l c 2 480pp 2p 抛物线的方程为 c 2 4yx 18 由题意知 直线斜率不为 可设直线方程为 m0m 1xty 联立得 2 4 1 yx xty 2 440yty 设 则 11 a x y 22 b xy 12 4yyt 2 1212 1142xxtytyt 线段中点 ab 2 21 2mtt 设到直线 距离分别为 a b m l abm ddd 则 22 2 222 13 222 212 2 242 abm tt dddttt 当时 2 133 244 t 1 2 t 2 min 133 244 t 两点到直线 的距离之和的最小值为 a b l 33 2 2 2 42 点睛 本题考查直线与抛物线的综合应用问题 涉及到根据直线与抛物线的位置关系求解 抛物线方程 抛物线中的最值问题的求解等知识 求解最值的关键是能够将所求距离之和转 变为中点到直线的距离 利用点到直线距离公式得到函数关系 利用函数最值的求解方法求 得结果 21 已知函数 22 3ln f xxaxax ar 求的单调区间 f x 若对于任意的 为自然对数的底数 恒成立 求的取值范围 2 xe e 0f x a 答案 i 当时 的单调递增区间为 无单调递减区间 当时 0a f x 0 0a 的单调递增区间为和 单调递减区间是 ii f x 0 2 a a 2 a a 2 2 2 e e 解析 分析 19 求出 分两种情况讨论 在定义域内 分别令求得的范围 可得 fx 0fx x 函数增区间 求得的范围 可得函数的减区间 对分四种 f x 0fx x f x a 情况讨论 分别利用导数求出函数最小值的表达式 令最小值不小于零 即可 f x f x 筛选出符合题意的的取值范围 a 详解 的定义域为 f x 0 222 23 23 axaxa fxxa xx 2xaxa x 1 当时 恒成立 的单调递增区间为 无单调递减区间 0a 0fx f x 0 2 当时 由解得 由解得 0a 0fx 0 2 a xa 0fx 2 a xa 的单调递增区间为和 单调递减区间是 f x 0 2 a a 2 a a 当时 恒成立 在上单调递增 0a 0fx f x 0 恒成立 符合题意 2422 320f xf eeaea 当时 由 知 在 上单调递增 在上单调递减 0a f x 0 2 a a 2 a a i 若 即时 在上单调递增 在上单调递减 在 2 0 2 a e 2 2 ae f x 2 2 a e 2 a a 上单调递增 a 对任意的实数 恒成立 只需 且 2 xe 0f x 2 0f e 0f a 而当时 2 2 ae 且 222422 2320f eaaeeaeae 成立 2222 3lnln20f aaaaaaa 符合题意 2 2 ae ii 若时 在上单调递减 在上单调递增 2 2 a ea f x 2 e a a 20 对任意的实数 恒成立 只需即可 2 xe 0f x 0f a 此时成立 2222 3lnln20f aaaaaaa 符合题意 22 2eae iii 若 在上单调递增 2 ea f x 2 e 对任意的实数 恒成立 只需 2 xe 0f x 2422 320f eeaea 即 242222 3220f eeaeaaeae 符合题意 2 0 2 e a 综上所述 实数的取值范围是 a 2 2 2 e e 点睛 本题主要考查利用导数研究函数的单调性 求函数的最值以及不等式恒成立问题 属于难题 不等式恒成立问题常见方法 分离参数恒成立 即可 af x maxaf x 或恒成立 即可 数形结合 图象在 上方 af x minaf x yf x yg x 即可 讨论最值或恒成立 讨论参数 排除不合题意的参 min0f x max0f x 数范围 筛选出符合题意的参数范围 请考生在第请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的 第一个题目计分 作答时 请用第一个题目计分 作答时 请用 2b2b