（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系课时闯关（含解析）

江苏专用 江苏专用 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 第八章第第八章第 4 4 课时课时 直线与直线与 圆 圆与圆的位置关系圆 圆与圆的位置关系 课时闯关 含解析 课时闯关 含解析 A 级 双基巩固 一 填空题 1 圆C x2 y2 6x 5 0 被直线l x y 5 0 所截得的弦长为 解析 C x 3 2 y2 4 则圆心到直线的距离d 弦长l 3 5 22 2 2 4 22 答案 2 2 2 两圆x2 y2 6x 6y 48 0 与x2 y2 4x 8y 44 0 公切线的条数是 解析 圆x2 y2 6x 6y 48 0 配成标准方程为 x 3 2 y 3 2 64 圆心坐标 3 3 半径r1 8 而圆x2 y2 4x 8y 44 0 配成标准方程 为 x 2 2 y 4 2 64 圆心坐标 2 4 半径r2 8 圆心距d r1 r2 74 从而两圆相交 故公切线有两条 答案 2 3 与圆x2 y 2 2 1 相切 且在两坐标轴上截距相等的直线共有 条 解析 有两条相互垂直的直线 另两条直线过原点 答案 4 4 若直线y kx 1 与圆x2 y2 1 相交于P Q两点 POQ 120 其中O为原点 则k的值为 解析 设直线PQ与x轴交于M点 易知 OMP 60 k tan60 或 tan120 即 k 3 答案 或 33 5 过点 4 0 作直线l与圆x2 y2 2x 4y 20 0 交于A B两点 如果 AB 8 则l的方程为 解析 圆的方程可化为 x 1 2 y 2 2 25 所以圆心 1 2 半径r 5 由于弦 长 AB 8 解圆中的直角三角形可得圆心到弦所在直线的距离d 3 直线l过 52 42 点 4 0 当直线斜率不存在时 方程为x 4 0 显然成立 当斜率存在时 可设为 k 则直线方程可化为kx y 4k 0 d 3 解之可得k 代回方程 k 2 4k k2 1 5 12 化简得 5x 12y 20 0 综上 直线l的方程为x 4 0 或 5x 22y 20 0 答案 x 4 0 或 5x 12y 20 0 6 2010 高考江西卷改编 直线y kx 3 与圆 x 2 2 y 3 2 4 相交于M N两 点 若 MN 2 则k的取值范围是 3 解析 如图 记题中的圆的圆心为C 2 3 作CD MN于D 则 CD 2k 1 k2 于是有 MN 2 MD 2 CM 2 CD 2 2 2 即 4 3 4 4k2 1 k23 4k2 1 k2 解得 k 3 3 3 3 答案 3 3 3 3 7 若直线y x b与曲线y 3 有公共点 则b的取值范围是 4x x2 解析 曲线y 3 表示圆 x 2 2 y 3 2 4 的下半圆 如图所示 当直线 4x x2 y x b经过点 0 3 时 b取最大值 3 当直线与半圆相切时 b取最小值 由 2 b 1 2或 1 2 舍 2 3 b 222 答案 1 2 3 2 8 2010 高考江苏卷 在平面直角坐标系xOy中 已知圆x2 y2 4 上有且只有四个 点到直线 12x 5y c 0 的距离为 1 则实数c的取值范围是 解析 如图 圆x2 y2 4 的半径为 2 圆上有且仅有四个点到直线的距离为 1 问题 转化为原点 0 0 到直线 12x 5y c 0 的距离小于 1 即 1 13 c 122 5 2 c 13 c 13 答案 13 13 二 解答题 9 已知圆C x2 y2 9 点A 5 0 直线l x 2y 0 1 求与圆C相切 且与直线l垂直的直线方程 2 若在直线OA上 O为坐标原点 存在定点B 不同于点A 满足 对于圆C上任意 一点P 都有为一常数 求所有满足条件的点B的坐标 PB PA 解 1 设所求直线方程为y 2x b 即 2x y b 0 直线与圆相切 3 b 22 12 得b 3 5 所求直线方程为y 2x 3 5 2 假设存在这样的点B t 0 当P为圆C与x轴左交点 3 0 时 PB PA t 3 2 当P为圆C与x轴右交点 3 0 时 PB PA t 3 8 依题意 t 3 2 t 3 8 解得 t 5 舍去 或t 9 5 下面证明点B 0 对于圆C上任一点P 都有为一常数 设P x y 则 9 5 PB PA y2 9 x2 PB2 PA2 x 9 5 2 y2 x 5 2 y2 x2 18 5 x 81 25 9 x2 x2 10 x 25 9 x2 18 25 5x 17 2 5x 17 9 25 从而 为常数 PB PA 3 5 10 在平面直角坐标系xOy中 已知圆C1 x 3 2 y 1 2 4 和圆C2 x 4 2 y 5 2 4 1 若直线l过点A 4 0 且被圆C1截得的弦长为 2 求直线l的方程 3 2 设P为平面上的点 满足 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2 它们 分别与圆C1和C2相交 且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等 试 求所有满足条件的点P的坐标 解 1 由于直线x 4 与圆C1不相交 所以直线l的斜率存在 设直线l的方程为 y k x 4 圆C1的圆心到直线l的距离为d 因为圆C1被直线l截得的弦长为 2 所 3 以d 1 22 3 2 由点到直线的距离公式得 d 1 k 3 4 1 k2 从而k 24k 7 0 即k 0 或k 7 24 所以直线l的方程为 y 0 或 7x 24y 28 0 2 设点P a b 满足条件 不妨设直线l1的方程为y b k x a k 0 则直线l2 的方程为y b x a 因为圆C1和C2的半径相等 且圆C1被直线l1截得的弦长与 1 k 圆C2被直线l2截得的弦长相等 所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2 的距离相等 即 1 k 3 a b 1 k2 5 1 k 4 a b 1 1 k2 整理得 1 3k ak b 5k 4 a bk 从而 1 3k ak b 5k 4 a bk或 1 3k ak b 5k 4 a bk 即 a b 2 k b a 3 或 a b 8 k a b 5 因为 k的取值有无穷多个 所以Error 或Error 解得Error 或Error 这样点P只可能是点P1或点P2 5 2 1 2 3 2 13 2 经检验点P1和P2满足题目条件 B 级 能力提升 一 填空题 1 2011 高考全国卷改编 设两圆C1 C2都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则两 圆心的距离 C1C2 解析 两圆都和两坐标轴相切且都经过点 4 1 两圆圆心均在第一象限且横纵坐 标相等 设两圆圆心分别为 a a b b 则有 4 a 2 1 a 2 a2 4 b 2 1 b 2 b2 即a b是方程 4 x 2 1 x 2 x2的两个根 整理得 x2 10 x 17 0 a b 10 ab 17 a b 2 a b 2 4ab 100 4 17 32 C1C2 8 a b 2 a b 232 2 答案 8 2 圆x2 y2 2x 4y 1 0 关于直线 2ax by 2 0 a b R R 对称 则ab的取值范 围是 解析 圆的标准方程为 x 1 2 y 2 2 4 由题意知圆心 1 2 在直线 2ax by 2 0 上 因此 2a 2b 2 0 即a b 1 a2 b2 2ab 4ab 4ab 1 即ab 当且仅当a b 时等号成立 1 4 1 2 答案 1 4 3 设有一组圆Ck x k 1 2 y 3k 2 2k4 k N N 下列四个命题 存在一条定直线与所有的圆均相切 存在一条定直线与所有的圆均相交 存在一条定直线与所有的圆均不相交 所有的圆均不经过原点 其中真命题的序号是 解析 圆心为 k 1 3k 圆心在y 3 x 1 上移动 半径也随k增大而增大 故 y 3 x 1 一定与所有的圆均相交 故 正确 不正确 对于选项 设存在定直线Ax By C 0 与圆相切 d r 则与k无关 又k2 2 A k 1 B 3k c A2 B2 显然该式中k不可能消去 故 不正确 对于选项 只需代入坐标原点验证即可 答案 4 在平面直角坐标系xOy中 设直线y x 2m和圆x2 y2 n2相切 其中 3 m n N N 0 1 若函数f x mx 1 n的零点x0 k k 1 k Z Z 则 m n k 解析 直线y x 2m和圆x2 y2 n2相切 3 n 即 2m 2n 2m 2 m n N N 0 1 m 3 n 4 m n f x 3x 1 4 令 3x 1 4 0 得x log34 1 0 1 故k 0 答案 0 二 解答题 5 2012 盐城质检 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知F1 4 0 F2 4 0 A 0 8 直线y t 0 t 8 与线段AF1 AF2分别交于点P Q 1 当t 3 时 求以F1 F2为焦点 且过PQ中点的椭圆的标准方程 2 过点Q作直线QR AF1交F1F2于点R 记 PRF1的外接圆为圆C 求证 圆心C在定直线 7x 4y 8 0 上 圆C是否恒过异于点F1的一个定点 若过 求出该点的坐标 若不过 请说明理 由 解 1 设椭圆的方程为 1 a b 0 当t 3 时 PQ的中点为 0 3 所以 x2 a2 y2 b2 b 3 而a2 b2 16 所以a2 25 故椭圆的标准方程为 1 x2 25 y2 9 2 证明 法一 易得直线AF1 y 2x 8 AF2 y 2x 8 所以可得P t Q t 再由QR AF1 得R 4 t 0 t 8 2 8 t 2 则线段F1R的中垂线方程为x 线段PF1的中垂线方程为y x t 2 1 2 5t 16 8 由Error 解得 PRF1的外接圆的圆心坐标为 2 t 2 7t 8 经验证 该圆心在定直线 7x 4y 8 0 上 法二 易得直线AF1 y 2x 8 AF2 y 2x 8 所以可得P t t 8 2 Q t 8 t 2 再由QR AF1 得R 4 t 0 设 PRF1的外接圆C的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 则y Error 解得Error 所以圆心坐标为 2 经验证 该圆心在定直线 7x 4y 8 0 上 t 2 7t 8 由 可得圆C的方程为x2 y2 tx 4 t y 4t 16 0 7 4 该方程可整理为 x2 y2 4y 16 t x y 4 0 7 4 则由Error 解得Error 或Error 所以圆C恒过异于点F1的一个定点 该点坐标为 4 13 32 13 6 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2 2x上 其中O为坐标原点 设圆C 是 OAB的外接圆 点C为圆心 1 求圆C的方程 2 设圆M的方程为 x 4 7cos 2 y 7sin 2 1 过圆M上任意一点P分别作 圆C的两条切线PE PF 切点为E F 求 的最大值和最小值 CE CF 解 1 设A B两点坐标分别为 y1 y2 由题设知 y2 1 2 y2 2 2 y2 1 2 2 y2 2 y2 1 2 2 y2 2 2 y2 1 2 y2 2 2 2 y1 y2 2 解得y y 12 2 12