扬州大学12级(下)高数期终试题A及答案

第 1 页 共 9 页 扬州大学扬州大学 2012 级高等数学级高等数学 I 2 统考试卷 统考试卷 A 班级 学号 姓名 得分 注意事项 1 本试卷共 6 页 3 大题 20 小题 满分 100 分 考试时间 120 分钟 2 请将试卷后所附的两张空白纸全部撕下全部撕下作草稿纸 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 3 分 共分 共 15 分 分 1 考虑二元函数的下面 4 条性质 yxf 在点处连续 偏导数 存在 yxf 00 xy 00 x fxy 00 y fxy 在点处可微 在点处连续 yxf 00 xy x fx y y fx y 00 xy 若 表示由性质推出性质 则有 QP PQ 2 设函数为由方程所确定的函数 其中为可导函数 为 zz x y xazybz a b 常数 则 zz ab xy 11 0ab 3 若二重积分可化为二次积分 则积分域可表示为 d d D f x yxy 12 01 d d y yf x yx D 01 11x yxxy 01 10 x yxxy 12 01x yxyx 12 11x yxxy 4 下列级数收敛的是 1 1 n n n 2 1 21 n n nn 1 2 1 n n n 2 12 n n n 5 设常数 则级数 0 a 1ln 1 1 n n n a 绝对收敛 条件收敛 C 发散 敛散性与的取值有关a 题号选择题填空题11 1213 1415 1617 1819 20 扣分 扣 分 第 2 页 共 9 页 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 分 共分 共 15 分 分 6 设 则全微分 2 0 sind xy ztt d z 7 设 其中具有二阶连续偏导数 则 2 23 zfxy x f 2z x y 8 曲面在点处的切平面方程为 222 236xyz 1 1 1 9 函数在点处沿该点梯度方向的方向导 222 2332f x y zxyzxy 0 1 1A 数为 10 设为圆周 则 L 0 222 RRyx 22 d L xys A 三 计算题 每小题三 计算题 每小题 7 分 共分 共 70 分 分 11 求函数的极值 33 3f x yxyxy 12 计算二重积分 其中是由直线 所围成的闭区域 d d D xy x y D 1 2 yx yx 1y 扣 分 扣 分 扣 分 第 3 页 共 9 页 13 求旋转抛物面位于面上方部分的面积 22 1zxy xOy 14 计算曲线积分 其中为圆周取逆时针 2 e d e d xy L Ixyxxyy A L 22 2xyx 方向 扣 分 扣 分 第 4 页 共 9 页 15 计算三重积分 其中是由圆锥面与平面所围成的空间闭区dz v 22 zxy 1z 域 16 计算曲面积分 其中为抛物面在平面下方的部分 14 dzS 22 yxz 1 z 扣 分 扣 分 第 5 页 共 9 页 17 计算曲面积分 其中为上半球面 1 dd 2 d d 3 d dIxyzyzxzxy 的上侧 22 1zxy 18 求幂级数的收敛域与和函数 2 1 0 21 2 n n n n x 扣 分 扣 分 第 6 页 共 9 页 19 将函数展开成的幂级数 2 1 f x xx 2 x 20 计算 其中是由点经抛物线到 22 2 d 22 d 2 L xyxxyy I xy L 1 0 2 1yx 点的有向曲线弧 1 0 扣 分 扣 分 第 7 页 共 9 页 20122012 级期终试题 级期终试题 A A 参考答案及评分标准 参考答案及评分标准 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 1 D 2 A 3 C 4 D 5 B 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 3 3 分 共分 共 1515 分 分 6 7 8 9 10 22 sin dsin dyxyxxxyy 1121 66fxf 2360 xyz 7 3 2 R 三 计算题 每小题三 计算题 每小题 7 7 分 共分 共 7070 分 分 11 2 33 x fx yxy 2 33 y fx yyx 2 分 6 xx fx yx 3 xy fx y 6 yy fx yy 由得 解得驻点 1 分 0 0 x y fx y fx y 2 2 330 330 xy yx 0 0 1 1 对于驻点 由于 故不是极值 0 0 0 3 0ABC 2 90ACB 0 0 f 对于驻点 由于 且 故是 1 1 6 3 6ABC 2 270ACB 0A 1 1 1f 极小值 4 分 12 5 分 12 0 d ddd y y D xy x yyxyx 2 分 11 34 00 333 d 288 yyy 13 3 分 2 2 22 1d d122d d xyxy DD zz Axyxyxy xy 2 分 2 14d xy D 2 1 2 00 d14d 2 分 5 51 6 14 4 分 12 d d D Iyxy 3 分d d D xy 第 8 页 共 9 页 15 4 分 1 0 ddd d z D z vzzxy 2 分 1 3 0 dzz 1 分 4 解法二解法二 4 分 2 11 00 ddddz vzz 3 分 4 16 4 分14 dzS 22 14 d d xy D xyxy 2 分 2 1 2 00 d 14 d 1 分3 17 增补平面块 取下侧 由高斯公式得 22 1 0 1 zxy 2 分 11 1 dd 2 d d 3 d dIxyzyzxzxy A A 3 分3d3d d xy D vxy 2 分2 3 5 18 1 221 2 1 22 23 21 limlim 2 21 2 nn n nn nn n uxnx xx uxnx 令 1x 2x 22x 当时 原级数成为 是发散的 2x 0 21 2 n n 故原级数的收敛域为 3 分2 2 2 令 则 2 1 0 21 22 2 n n n n s xxx 2 分 21212 2 111 0000 21 22222 n nn n nnn nnnn nxxxx s xx 第 9 页 共 9 页 2 分 2 2 x x 2 22 2 2 x x 22 x 19 1 分 0 1 1 1 nn n x x 11 x 2 分 2 111111111 22 12 2 3 2 23 11 23 f x xx xxxxxx 2 分 00 1212 1 1 2233 nn nn nn xx 1 分 11 0 11 1 2 23 nn nn n x 1 分 04 x 20 令 则 22 2 2 xy P xy 22 22 2 xy Q xy 22 222 2 224 2 QyxxyP xxyy 于是 在不包含原点的单连通区域内曲线积分与路