闽粤赣三省十二校2020届高三数学上学期联合调研考试试题 理

1 闽粤赣三省十二校闽粤赣三省十二校 20202020 届高三数学上学期联合调研考试试题届高三数学上学期联合调研考试试题 理理 考试时间 150 分钟 总分 150 分 第第 i i 卷 选择题卷 选择题 共共 6060 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 2 20axr xx 1 0 1 bab a 1 0 1 b 1 0 c 0 1d 0 2 已知 则复数在复平面上所对应的点在 izi43 为虚数单位iz a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 3 则 4 log 0 4m 0 4 4n 0 5 0 4p a mnp b mpn c pmn d npm 4 如图 为等腰直角三角形 为斜边 的高 为线段的中点 则 a b c d 5 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计 得到整个互联网 行业从业者年龄分布饼状图 90 后从事互联网行业者岗位分布条形图 则下列结论中不一 定正确的是 注 90 后指 1990 年及以后出生 80 后指 1980 1989 年之间出生 80 前指 1979 年及以前 出生 a 互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 b 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20 c 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 d 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 6 已知是双曲线上的三个点 经过原点 经过 a b c 22 22 1 0 0 xy ab ab aboac 右焦点 若且 则该双曲线的离心率是 fbfac 2 afcf a 3 5 b 3 17 c 2 17 d 4 9 7 函数 则不等式的解集为 2 2 logf xxx 0 3 1 fxf 4 1 a 1 4 b 2 2 1 1 4 c 4 1 1 1 d 8 已知函数的两条相邻对称轴的距离为 把 2sin0 2 f xx 2 的图象向右平移个单位得函数的图象 且为偶函数 则的单调 fx 6 g x g x fx 增区间为 a b 4 2 2 33 kkkz 4 33 kkkz c d 2 2 63 kkkz 63 kkkz 9 已知直三棱柱 111 abcabc 的各顶点都在球o的球面上 且 若球o的体积为 则这个直三棱柱的体积等于 32 2 bcacab 3 5160 a b c d 2438854 10 在中 内角所对的边分别为为的面积 abc a b c a b c s abc sin ac 且成等差数列 则的大小为 22 2s bc a b cc a b c d 3 3 2 6 6 5 11 已知函数 是自然对数的底数 若关于的方程 2 0 e 0 x x x f x x exg x ex 恰有两个不等实根 且 则的最小值为 0g f xm 1 x 2 x 12 xx 21 xx a b c d 1 1ln2 2 1 ln2 2 1 ln2 1 1 ln2 2 12 设m n是抛物线 2 yx 上的两个不同的点 o是坐标原点 若直线om与 on的斜率之积为 1 2 则 a 4 2omon b 以mn为直径的圆的面积大于4 c 直线mn过抛物线 2 yx 的焦点 d o到直线mn的距离不大于 2 3 第第 iiii 卷 非选择题卷 非选择题 共共 9090 分 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把正确的答案填在横线上 13 已知 若幂函数为奇函数 且在上递 1 1 211 2 3 2 2 a f xx 0 减 则 a 14 函数的图象在点处的切线的倾斜角为 cos x f xex 0 0 f 15 有 4 名高三学生准备高考后到上海市 江苏省 浙江省 安徽省 4 个地方旅游 假设 每名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游 则恰有一个地方未被选中的概率为 16 如图 三棱锥 a bcd 中 ac ad bc bd 10 ab 8 cd 12 点 p 在侧面 acd 上 且 到直线 ab 的距离为 则 pb 的最大值是 21 3 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解 答应写在答题卡上的指定区域内 17 已知公差不为 0 的等差数列满足 是的等比中项 n a9 3 a 2 a 71 a a 1 求数列的通项公式 n a 2 数列满足 求数列的前项的 n b 7 1 n n an b n bn n s 18 如图 在四棱锥中 底面是正方形 pabcd abcd1 paab 2pbpd 1 证明 平面 bd pac 4 2 若是的中点 是棱上一点 且平面 求二面角 epcfpd beacf 的余弦值 facd 19 已知椭圆的一个焦点坐标为 22 22 1 0 5 xy cb bb 2 0 求椭圆的方程 c 已知点 过点的直线 与轴不重合 与椭圆交于两点 直 3 0 e 1 0 lxc m n 线与直线相交于点 试证明 直线与轴平行 me5x ffnx 20 一年之计在于春 一日之计在于晨 春天是播种的季节 是希望的开端 某种植户对 一块地的个坑进行播种 每个坑播 3 粒种子 每粒种子发芽的概率均为 且 n nn 1 2 每粒种子是否发芽相互独立 对每一个坑而言 如果至少有两粒种子发芽 则不需要进行 补播种 否则要补播种 1 当取何值时 有 3 个坑要补播种的概率最大 最大概率为多少 n 2 当时 用表示要补播种的坑的个数 求的分布列与数学期望 4n xx 21 本小题 12 分 已知函数 是的导函数 1 sinln1 22 m f xxxx fx f x 1 证明 当时 在上有唯一零点 2m fx 0 2 若存在 且时 证明 12 0 x x 12 xx 12 f xf x 2 12 x xm 请考生在请考生在 2222 2323 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请写清题题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请写清题 号 号 2222 本小题满分 本小题满分 1010 分 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 曲线 c 的极坐标方程为 以极点为原点 极轴为x轴的正半轴6cos 5 建立平面直角坐标系 直线l的参数方程为 t为参数 2cos 1sin xt yt 若 求曲线的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程 2 c 设点 曲线与直线l交于两点 求的最小值 1 2 pcba 22 papb 2323 本小题满分本小题满分 1010 分分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 1 3 f xxa a r 1 当时 解不等式 2a 1 1 3 xfx 2 设不等式的解集为 若 求实数的取值范围 1 3 xfxx m 1 1 3 2 m a 6 数学 理科 答案 一 选择题 一 选择题 题号题号 123456789101112 答案 cbbbdbcdbcad 二 填空题 13 14 15 16 1 4 9 16 57 三 解答题 17 1 设等差数列的公差为 则 解得 或 舍去 2 18 1 证明 1paabad 2pbpd 222 paabpb 222 paadpd 平面 paab paad abada ab ad abcd 平面 而平面 pa abcdbd abcd 又 为正方形 pabd abcd 平面 acbd paaca pa ac pac 7 平面 bd pac 2 解 如图 连接 取的中点 ededm 设 连接 则 acbdo om beoma 从而平面 平面与的交点即为 be a acmacmpdf 以 为轴建立如图所示的空间直角坐标系 ob oc oe x y zoxyz 2 0 0 2 oc 1 0 0 2 oe 2 0 0 2 od 21 0 244 oeod om 平面即平面 设其法向量为 acfacm nx y z 则即 令 得 0 0 n oc n om 0 20 y xz 1x 1 0 2n 易知平面的一个法向量为 acd 0 0 1m 26 cos 33 m n m n m n 因为二面角为锐二面角 故所求余弦值为 facd 6 3 19 由题意可知所以 所以椭圆的方程为 22 2 5 c ab 22 5 1ab c 2 2 1 5 x y 当直线 的斜率不存在时 此时轴 设 直线与轴相交 lmnx 1 0d 5x x 于点 易得点是点和点的中点 又因为 g 3 0e 1 0d 5 0gmddn 所以 所以直线 轴 fgdn fnx 8 当直线 的斜率存在时 设直线 的方程为 ll 10yk xk 1122 m x yn xy 因为点 所以直线的方程为 3 0e me 1 1 3 3 y yx x 令 所以 5x 11 11 2 53 33 f yy y xx 由消去得 显然恒成立 22 1 55 yk x xy y 2222 1 510510kxk xk 0 所以 2 2 1212 22 51 10 5151 k k xxx x kk 因为 211211 1 22 111 3213212 333 f yxyk xxk xy yyy xxx 2 2 22 1212 11 51 10 35 5151 35 33 k k k kk k x xxx xx 222 2 1 51 651 0 513 kkkk kx 所以 所以直线 轴 综上所述 所以直线 轴 2f yy fnx fnx 20 1 当或时 有 3 个坑要补播种的概率最大 最大概率为 2 见 5n 6n 5 16 解 1 将有 3 个坑需要补种表示成n的函数 考查函数随n的变化情况 即可得到n为何值 时有 3 个坑要补播种的概率最大 2 n 4 时 x的所有可能的取值为 0 1 2 3 4 分别计算出每个变量对应的概率 列出分布列 求期望即可 1 对一个坑而言 要补播种的概率 33 01 33 111 222 pcc 有 3 个坑要补播种的概率为 3 1 2 n n c 9 欲使最大 只需 3 1 2 n n c 1 33 1 1 33 1 11 22 11 22 nn nn nn nn cc cc 解得 因为 所以 56n nn 5 6 n 当时 当时 5n 5 3 5 15 216 c 6n 6 3 6 15 216 c 所以当或时 有 3 个坑要补播种的概率最大 最大概率为 5n 6n 5 16 2 由已知 的可能取值为 0 1 2 3 4 x 1 4 2 xb 所以的分布列为 x x01234 p 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 的数学期望 x 1 42 2 ex 21 1 证明 当时 2m 1 sinln1 2 f xxxx 11 1cos 2 fxx x 当时 为增函数 且 0 x fx 1333 10 344 f 在上有唯一零点 31 0 2 f fx 0 当时 x 11 1cos 2 fxx x 1111 10 22x 在上没有零点 fx 综上知 在上有唯一零点 fx 0 2 证明 不妨设 由得 12 0 xx 12 f xf x 111 1 sinln1 22 m xxx 10 222 1 sinln1 22 m xxx 212121 1 lnlnsinsin 22 m xxxxxx 设 则 故在为增函数 sing xxx 1 cos0g xx g x 0 从而 2211 sinsinxxxx 2121 sinsinxxxx 21 lnln 2 m xx 212121 11 sinsin 22 xxxxxx 21 21 lnln xx m xx 下面证明 21 12 21 lnln xx x x xx 令 则 即证明 只要证明 2 1 x t x 1t 1 ln t t t 1 ln0 t t t 设 则 在单调递减 1 ln t h tt t 2 1 0 2 t h t t t h t 1 当时 从而 得证 即 1t 1 0h th 21 12 21 lnln xx x x xx 即 12 mx x 2 12 x xm 22 1 曲线 c 将 代入得x2 y2 6x 0 2 6 cos cos sinxy 即曲线 c 的直角坐标方程为 x 3 2 y2 9 直线l t为参数 所以x 2 故直线l的极坐标方程 2 1 x yt 为 5 分cos2 2 联立直线l与曲线 c 的方程得 22 cossin sin1 9tt 即 2 2 cossin 70tt 设点 a b 对应的参数分别为t1 t2 则 121 2 2 cossin 7ttt t 因为 22 2222 12121 2 24 cossin 144sin21814papbttttt t 当时取等号 所以的最小值为 14 10 分sin21 22