近世代数测试题

近世代数测试题 A 一 填空题 每题 3 分 共 30 分 1 设是集合到的满射 则 2 设群中元素的阶为 如果 那么与存在整除关系为 3 写出三次对称群的子群的一切左陪集 4 设是一个阶交换群 是的一个 阶元 则商群的阶等 于 5 设 是循环群 则与整数加群同构的充要条件是 6 若环的元素 对加法 有最大阶 则称为环的 7 若环满足左消去律 那么必定 有或 没有 左零因子 8 若是一个有单位元的交换环 是的一个理想 那么是一个域当且仅当 是环的 9 若域 则称是一个素域 10 设是域的一个扩域 如果存在上非零多项式使 则称为上的一个 二 选择题 每题 4 分 共 20 分 1 指出下列哪些运算是代数运算 A 在整数集上 B 在有理数集上 C 在正实数集上 D 在集合上 2 设是一个群同态映射 不一定是满射 那么下列错误的命题是 A 的单位元的象是的单位元 B 的元素的逆元的象是的象的逆元 C 的子群的象是的子群 D 的正规子群的象是的正规子群 3 下列正确的命题是 A 主理想整环必是欧氏环 B 欧氏环一定是唯一分解整环 C 唯一分解整环必是主理想整环 D 唯一分解整环必是欧氏环 4 若是域的有限扩域 是的有限扩域 那么 A B C D 5 下列不是循环环的单位的是 A B 5 C 7 D 2 三 证明题 每题 10 分 共 50 分 1 设为实数且 并规定 证明 对此运算作成一个群 2 证明 9 在有单位元的整环 中不能惟一分解 3 设是偶数环 证明 1 2 是否成立 为什么 是由哪个偶数生成的主理想 4 设是群到群的一个同态满射 又 证明 5 设 6 阶群 G 不是循环群 证明 G 近世代数测试题 A 参考答案 一 填空题 每题 3 分 共 30 分 1 2 3 或 或 或 4 5 或 6 特征 或特征数 7 没有 8 一个极大理想 9 不含真子域 10 代数元 二 选择题 每题 4 分 共 20 分 1 D 2 D 3 B 4 D 5 D 三 证明题 每题 5 分 共 50 分 1 证明 显然 是非空集合上的代数运算 则有 即 对此运算满足结合律 又 即是的左单位元 又 有 且 即是在中的左逆元 因 此 对此运算作成一个群 2 证明 首先易知 中的单位是 其次 若 则必是环的不可约元 事实上 若是的任一因子 则有 使 故或 但不可能 故只有或 当时 是可逆元 当时 与相伴 因此 只有平凡因子 即 是不可约元 故 是的不可约元 但 而且又不与 中的任一个相伴 即 9 不能惟一分解 3 证明 1 则 于是 再任取 由知 故 2 不成立 因为 例如 但 事实上 即是 由 8 生成的主理想 4 证明 方法 一 因为 是满同态 故 令 下证是商群到的一个同构映射 1 是映射 设 则 因是同态满射 故 从而 即是商群到的一个映射 2 是满射 因是同态满射 故有使 从而在之下 有逆象 即是满射 3 是单射 设 则 因是满射 故有使 其中是的单位元 于是 故 从而 即是单射 又显然在之下有 故是商群到的一个同构映射 因此 方法 二 利用群同态基本定理 因为 是满同态 故 设是群到商群的映射 因为 又是满射 因是满射 故是群到商群的满同态映射 又 据群同态基本定理 5 证 因为 G 不是循 环群 故 G 没有 6 阶元 从而由 Lagrange 定理知 G 必有 2 阶元或 3 阶元 除 外 G 中元素不能都是 2 阶元 若不然 G 为交换群 于是在 G 中任取互异的 2 阶 元 则易知 这与 Lagrange 定理矛盾 又除 外 G 中元素不能都是 3 阶元 若不然