数学案例 (2)

数数 列列 一一 教教学学目目标标 1 知知识识与与技技能能 1 1 了解数列的有关概念 理解数列和函数的关系 会用列表法和图象法 表示数列 1 2 理解数列通项公式的概念 会根据通项公式写出数列的前几项 会根 据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式 2 过过程程与与方方法法 2 1 经历数列概念的产生过程 学习从大量实例中提炼数列定义 分类 通项公式的定义等方法 2 2 引导学生体会观察 归纳 猜想 验证问题探究的过程 提高 观察分析 探索归纳等能力 3 情情感感 态态度度 价价值值观观 通过本节知识与技能 过程与方法的学习经历 感受数学发现的愉快 体 验解决问题成功的快乐 二 教学重点 难难点点 教学重点 教学重点 1 数列概念的理解 2 根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式 教学难点 教学难点 1 函数观点下理解数列的定义 2 会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式 三 教教学学方方法法与与教教学学手手段段 借助多媒体设备 采用启发引导 小组合作讨论式相结合的教学方法 借 助问题激发学生求知欲 使学生主动参与数学实践活动 以独立思考和相互交 流的形式 在教师的指导下发现 分析和解决问题 四 教学过程 一 问题情境 一 问题情境 1 一去二三里 烟村四五家 亭台六七座 八九十枝花 涉及到的数有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 10 月份的日历中尾数是 1 的日期依次是 1 11 21 31 3 一尺之棰 日取其半 万世不竭 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 4 1 的 1 次幂 2 次幂 3 次幂 4 次幂 依次是 1 1 1 1 5 一张梯子从低到高相邻两级的高度依次为 30 30 30 30 30 单 位 厘米 6 我国参加 8 次奥运会获得金牌数依次为 15 5 16 16 28 32 51 38 这些例子有什么共同特点 引导学生得到数列的定义 按照一定次序排列 的一列数称为数列 数列中的每个数都叫做这个数列的项 引导学生依据项数 的有限与无限给这 6 个数列简单分类 二 探究活动一 二 探究活动一 介绍数列的表示 数列的一般形式可以写成1 a 2 a 3 a n a 简记为 n a 1 a 称为数列 n a 的第1项 或称为首项 2 a 称为第2项 n a 称为第n项 引导学生思考并发现数列的概念与集合概念的区别 1 数列中的项是数 而集合中的元素不一定是数 2 数列中的项是有序的 而集合中的元素是无序的 3 数列中的项可以重复 而集合中的元素不能重复 三 探究活动二 三 探究活动二 设计游戏 要求喊到学号的同学站起来 5 9 13 17 问题 1 下面应该叫多少号 问题 2 满足 5 9 13 17 这种叫法的所有同学站起来 问题 3 依次叫下去 叫到第 9 次是多少号 由游戏可知 在数列中由已知项的序号就可以找到项 从而引导学生探 究数列与函数的关系 在数列 n a 中 对于每一个正整数n 或 n 1 2 k 都有一个数n a 与之对应 因此 数列可以看成以正整数集 N 或它的有限子集 1 2 k 为定义域的函数 n af n 当自变量按 照从小到大的顺序依次取值时 所对应的一列函数值 四 探究活动三 四 探究活动三 一般地 如果数列 n a 的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来 表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 引导学生再次观察问题情境下的 6 个数列 尝试写出它们的一个通项公 式 引导学生总结得到通项公式的方法 观察 归纳 猜想 验证 学生互动 每位同学先写四个数作为一个数列的前四项 请同桌写出这个 数列的一个通项公式 五 探究活动四 五 探究活动四 已知数列 an 的通项公式为 an 2n 1 用列表法写出这个数列的前 5 项 并作出其图象 引导学生得到表示数列的三种方法 并观察图象得到递增数列的定义 再 次观察问题情境中的 6 个数列尝试用其它的标准给这些数列分类 六 小结与反思 六 小结与反思 七 作业 七 作业 课本 32 页练习 数列 授课教师 周炎 教学目标教学目标 理解数列的概念 掌握数列的表示方法 会根据数列前几项写出通项 公式 教学重点和难点教学重点和难点 重点是数列与函数的关系和写数列的通项公式 难点是写数 列通项公式 教学方法和手段教学方法和手段 多多媒体教学 教学过程教学过程 一一 问题情境问题情境 1 中国代表团自 1984 年开始参加奥运会 依次参加了 1988 1992 1996 2000 2004 2008 2012 的奥运会 2 中国代表团依次夺得的金牌数 15 5 16 16 28 32 51 38 3 叠纸奔月面积变化 1 1 1 1 2 4 8 16 4 厚度的变化 2 4 8 16 32 5 1 的一次幂 二次幂 三次幂依次写下 1 1 1 1 1 1 二二 数学建构数学建构 1 数列的定义 按照一定次序排列的一列数 2 数列中的每个数叫做这个数列的项 依次叫做第一项 首项 第二项 第 n 项 3 数列的分类 按项数 项数有限的数列叫做有穷数列 项数无限的数列叫做 无穷数列 4 数列的一般形式 a1 a2 an 简记为 an 5 数列的通项公式 如果数列的第 n 项与序号之间可以用一个公式来表示 那 么这个公式就叫作数列的通项公式 三三 合作交流合作交流 1 an 与 an相同吗 2 数列与数集的联系与区别 3 数列的序号与项的关系 数列与函数的关系 数列的表示方法 四四 典例精析典例精析 1 列表法表示数列 情境 1 2 求五个情境问题中数列的通项公式 提炼出对通项公式的全新认识 3 已知数列的通项公式 写出前五项 并画出图象 书 30 页例 2 并总结出图象的特点 及作用 五五 小时牛刀小时牛刀 写出数列的一个通项公式 使它的前几项分别是下列各数 5 0 2 0 2 0 2 六六 思维拓展思维拓展 已知数列的通项公式 an n2 7n 5 则这个数列的所有项中有没有最小项 若 有 是第几项 七七 归纳小结归纳小结 八八 布置作业布置作业 1 1 4 9 16 25 11 11 1 2 1 23 45 6 3 1 2 3 2 5 6 1111 4 1 22 33 44 5 三角函数的诱导公式 一 三角函数的诱导公式 一 教学设计及说明教学设计及说明 授课教师 南通市小海中学 于黎 一 教学目标一 教学目标 1 知识与技能 借助三角函数的定义 推导出正弦 余弦和正切的诱导公式 理解和掌握公式的内涵及结构特征 正确运用诱导公式将任意角的三角 函数化为锐角的三角函数 并解决有关三角函数的求值问题 2 过程与方法 通过师生合作探究 生生合作探究 自主探究 领会数学的归纳转化 数 形结合等思想方法 提高学生学习的积极性和合作意识 3 情感 态度与价值观 通过诱导公式的推导 培养学生主动探索 勇于发现的科学精神 培 养学生的创新意识和创新精神 通过类比 联想思维的训练 培养学生踏实细致 严谨科学的学习习 惯 渗透把未知转化为已知的辨证唯物主义思想 二 教学重点 二 教学重点 难难点点 重点 诱导公式的推导及应用 难点 相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识 三 教学方法与教学手段三 教学方法与教学手段 教学方法 探究法 教学手段 多媒体辅助教学 四 教学四 教学过过程程 一 问题情境 1 情景 1 动画演示三角函数定义 2 情景 2 动画演示 将a的终边旋转到一些特殊位置 二 学生活动 1 问题 把a的终边逆时针或顺时针旋转 k 圈 a的正弦 余弦 正切值改 变吗 2 问题 动画演示 将a的终边 OM 旋转到关于 y 轴对称位置 ON a和 ap p 的三角函数值有什么关系 三 建构数学 1 a的终边旋转到重合位置 由定义直接得出诱导公式 一 的终边旋转到重合位置 由定义直接得出诱导公式 一 2 将将a的终边的终边 OM 旋转到关于旋转到关于 y 轴对称位置轴对称位置 ON 由定义得出诱导公式 三 由定义得出诱导公式 三 1 ON 可以是哪个角的终边 2 a和 a p p 的三角函数值有什么关系 3 设 aa p p 角的终边分别交单位圆于点 P P 则点 P 与 P 的 位置关系如何 4 设点 P x y 则点 P 的坐标是什么 3 以小组合作学习的方式探究诱导公式 二 和 四 以小组合作学习的方式探究诱导公式 二 和 四 1 问题 如果让你继续探究 你将探究什么呢 如何探究 2 分两组探究 甲组探究关于 x 轴对称 乙组探究关于原点对称 3 甲乙两组分别汇报探究结果 得到诱导公式 二 四 四 数学运用 例例 1 求值 1 2 sin 3 p p 5 cos 4 p p tan330o 2 45 cos 4 p p tan1560 o 提炼诱导公式的使用步骤 练习 练习 求值 1 tan930 2 cos750 oo 探究探究 1 公式二反映了函数 y sinx y cosx 和 y tanx 的什么性质 例例 2 判断下列函数的奇偶性 1 1cos 2 sin f xxg xxx 探究探究 2 能否利用诱导公式 二 和 三 证明诱导公式 四 任意负角的 三角函数 一个正角的 三角函数 0 2 间角 的三角函数 锐角的 三角函数 五 回五 回顾顾小小结结 1 知识结构 2 探究方法 3 拓展反思 抛出问题 课后思考 六 六 课课外作外作业业 1 探究 试用诱导公式 二 和 四 推导诱导公式 三 2 书面作业 书本第 23 页第 13 题 三角函数的诱导公式 三角函数的诱导公式 1 1 教学设计说明教学设计说明 南通市小海中学 于黎 一 一 数学本质与教学目标定位数学本质与教学目标定位 本节课是苏教版数学 4 第 1 章 1 2 3 三角函数的诱导公式 第一节课 其 主要内容是三角函数的诱导公式中的公式一至公式四 1 知识与技能 借助三角函数的定义 推导出正弦 余弦和正切的诱导公式 理解和掌握公式的内涵及结构特征 正确运用诱导公式将任意角的三角 函数化为锐角的三角函数 并解决有关三角函数的求值问题 2 过程与方法 通过师生合作探究 生生合作探究 自主探究 领会数学的归纳转化 数 形结合等思想方法 提高学生学习的积极性和合作意识 3 情感 态度与价值观 通过诱导公式的推导 培养学生主动探索 勇于发现的科学精神 培 养学生的创新意识和创新精神 通过类比 联想思维的训练 培养学生踏实细致 严谨科学的学习习 惯 渗透把未知转化为已知的辨证唯物主义思想 二 二 学情分析学情分析 学生已经学习了三角函数的定义和任意角的三角函数值的求法 在此基础 上 继续学习这四组公式 体会发现过程和未知到已知的转化过程 为以后的 三角函数求值 化简 证明等打好基础 三 三 教学诊断分析教学诊断分析 根据三角函数的定义 两角终边的位置关系特殊 就会导致两角的三角函 数值也具有特殊关系 而两角终边的位置可以重合 关于 x 轴对称 关于 y 轴对 称和关于原点对称 这是极佳的探究素材 因此本堂课采用探究法来组织教学 下面谈一谈主要教学步骤 1 创设问题情景 引导学生观察 联想 导入课题 回顾三角函数的定义 两角终边重合 直接得出公式一 两角终边关于 y 轴对称 得到公式三 设计意图 以a的终边旋转到特殊位置为主线 先推出公式一和三 然后 让学生自主探究公式二和四 2 运用迁移规律 引导学生联想类比探究新的公式 由终边关于 y 轴对称 学生会自然联想到终边关于 x 轴对称 关于原点对 称 与步骤 1 类比 归纳探究出公式二和公式四 设计意图 通过步骤 1 引导学生自己找到探究的方向 并类比步骤 1 的 探究方法 自行探究出公式二和四 使学生领会发现的方法 培养学生独立研究 的能力 3 引导学生使用多种方法进行探究 提升思维层次 引导学生由公式二 三推导出公式四 让学生课后由公式二 四推导公式 三 由公式三 四推导公式二 设计意图 让学生体会探究方法的多样性 认识事物之间的联系 提升思维 层次 四 四 教学主线设计教学主线设计 x y y 五 五 板书设计板书设计 三角函数的诱导公式 一 拓展资源 一 课题 三角函数的诱导公式 1 二 教学目标 1 理解正弦 余弦的诱导公式二 三的推导过程 2 掌握公式二 三 并会正确运用公式进行有关计算 化简 3 了解 领会把为知问题化归为已知问题的数学思想 提高分析问题 解决问题的能 力 三 教学重 难点 1 诱导公式二 三的推导 记忆及符号的判断 2 应用诱导公式二 三的推导 四 教学过程 一 复习 1 利用单位圆表示任意角 的正弦值和余弦值 2 诱导公式一及其用途 sin 360 sin cos 360 cos tan 360 tan kkkkZ 问 由公式一把任意角 转化为 0 360 内的角后 如何进一步求出它的三角函数值 我们对 0 90 范围内的角的三角函数值是熟悉的 那么若能把 90 360 内的角 的三角函数值转化为求锐角 的三角函数值 则问题将得到解决 这就是数学化归 思想 二 新课讲解 1 引入 对于任何一个 0 360 内的角 以下四种情况有且只有一种成立 其中 为 锐角 所以 我们只需研究 180 180 360 与 的同名三角函数的关系即研究了 与 的关系了 2 诱导公式二 提问 1 锐角 的终边与180 的终边位置关系如何 2 写出 的终边与180 的终边与单位圆交点 P P 的坐标 3 任意角 与180 呢 通过图演示 可以得到 任意 与180 的终边都是关于原点中心对称的 则有 P x y Pxy 由正弦函数 余弦函数的定义可知 siny cosx sin 180 y cos 180 x 从而 我们得到诱导公式二 sin 180 sin cos 180 cos 说明 公式二中的 指任意角 若 是弧度制 即有sin sin cos cos 公式特点 函数名不变 符号看象限 可以导出正切 sin 180 sin tan 180 tan cos 180 cos 此公式要使等式两边同时有意义 3 诱导公式三 提问 1 360 的终边与 的终边位置关系如何 从而得出应先研究 2 任何角 与 的终边位置关系如何 对照诱导公式二的推导过程 由学生自己完成诱导公式三的推导 即得 诱导公式三 sin sin cos cos 说明 公式二中的 指任意角 在角度制和弧度制下 公式都成立 公式特点 函数名不变 符号看象限 交代清楚在什么情况下 名不变 以 及符号确定的具体方法 0 90 180 90 180 180 180 270 360 270 360 当 当 当 当 可以导出正切 tan tan 4 例题分析 例 1 求下列三角函数值 1 sin960 2 43 cos 6 分析 先将不是 0 360 范围内角的三角函数 转化为 0 360 范围内的角的三角 函 数 利用诱导公式一 或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到 0 90 范围内 角 的三角函数的值 解 1 sin960 sin 960720 sin240 诱导公式一 sin 18060 sin60 诱导公式二 3 2 2 4343 cos cos 66 诱导公式三 77 cos 6 cos 66 诱导公式一 cos cos 66 诱导公式二 3 2 方法小结 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数 其一般步骤是 化负角的三角函数为正角的三角函数 化为 0 360 内的三角函数 化为锐角的三角函数 可概括为 负化正 大化小 化到锐角为终了 有时也直接化到锐角求值 例 2 化简 2 3 cotcos sin 3 tancos 解 原式 2 3 cot cos sin tancos 2 3 cot cos sin tan cos 2 3 cot cos sin tan cos 22 22 cossin 1 sincos 五 课堂练习 六 小结 1 简述数学的化归思想 2 两个诱导公式的推导和记忆 3 公式二可以将 180 270 范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数 4 公式三可以将负角的三角函数转化为正角的三角函数 七 作业 三角函数的诱导公式 一 拓展资源 一 课题 三角函数的诱导公式 2 二 教学目标 1 引导学生利用公式一 二 三推导公式四 五 2 在理解 记忆五组诱导公式的基础上 正确运用公式求任意角的三角函数值及对三 角函数式的化简 证明 3 加深理解化归思想 三 教学重 难点 五组诱导公式的记忆 理解 运用 四 教学过程 一 复习 1 复习诱导公式一 二 三 2 对 函数名不变 符号看象限 的理解 二 新课讲解 1 公式推导 我们继续推导公式 即180 0 与36和 的同名三角函数的关系 1 请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系 2 启发学生讨论 能否根据诱导公式一 二 三推导出它们的关系 推导过程 sin 180 sin 180 sin sin cos 180 cos 180 cos cos sin 360 sin 360 sin sin cos 360 cos 360 cos cos 结论 诱导公式四 sin 180 sin cos 180 cos 诱导公式五 sin 360 sin cos 360 cos 说明 公式二中的 指任意角 在角度制和弧度制下 公式都成立 公式特点 函数名不变 符号看象限 可以导出正切 tan 180 tan tan 360 tan 2 五组诱导公式 五组公式可概括如下 360 180 360kkZ 的三角函数值 等 于 的同名函数值 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号 说明 1 要化的角的形式为 180k k为常整数 2 记忆方法 函数名不变 符号看象限 3 利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数 其化简方向仍为 负化正 大化小 化到锐角为终了 3 例题分析 例 1 求下列三角函数值 1 11 sin 6 2 17 sin 3 解 1 111 sinsin 2 sin sin 66662 2 173 sin sin 6 sin 3332 例 2 化简 1 sin 180 sin tan 360 tan 180 cos cos 180 2 sin120 cos330sin 690 cos 660 tan675cot765 解 1 原式 sinsintantan 1 tancoscostan 2 原式 sin 18060 cos 36030 sin 720690 cos 720660 tan 675720 cot 765720 sin60 cos30sin30 cos60tan 45 cot45 3311 tan451 2222 31 1 11 44 五 课堂练习 六 小结 1 五组诱导公式的形式及记忆口诀 函数名不变 符号看象限 2 求任意角的三角函数值的一般步骤 3 熟练运用公式化简 求值 七 作业 三角函数的诱导公式 一 拓展资源 一 课题 三角函数的诱导公式 3 二 教学目标 1 牢固掌握五组诱导公式 熟练运用公式进行三角函数的求值 化简及恒等证明 2 能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题 3 渗透分类讨论的数学思想 提高分析和解决问题的能力 三 教学重 难点 1 熟练 准确地运用公式进行三角函数求值 化简及证明 2 带字母的三角函数的化简 分类讨论类型 四 教学过程 一 复习 一 复习 1 复习五组诱导公式 包括正切 2 分析记忆公式的口诀 函数名不变 符号看象限 3 求任意角的三角函数的一般步骤 4 练习 1 化简 课本 32 页的练习第 4 题 2 求值 sin315 sin 1260 cos570 sin 840 答案 3 4 sin sin 2 sin 3 sin 102 6666 答案 102 1 2 3 证明 sin 2 cos 1 cos sin 3 sin sin 说明 结合 口诀 加强运用公式的熟练性 准确性 二 新课讲解 二 新课讲解 例 1 已知 tan 3 求 2cos 3sin 4cos sin 2 的值 解 tan 3 原式 2cos3sin23tan 7 4cossin4tan 说明 第二步到第三步应用了 弦化切 的技巧 即分子 分母同除以一个不为零的 cos 得到一个只含tan 的教简单的三角函数式 变式训练 已知 1 tan 2 求sin 7 cos 5 的值 解答 1 tan tan 2 原式 222 sincostan2 sincos sincos1tan5 说明 同样应用上题的技巧 把sin cos 看成是一个分母为1的三角函数式 注意结 合 口诀 及 22 sincos 的运用 例 2 已知 3 sin 5 且 是第四象限角 求tan cos 3 sin 5 的值 解 tan cos 3 sin 5 tan cos sin tan cossin tansintancos sin tan1 由已知得 43 cos tan 54 原式 21 20 说明 关键在于抓住 是第四象限角 判断cos sin 的正负号 利用同角三角函数 关系式得出结论 变式训练 将例 2 中的 是第四象限角 条件去掉 结果又怎样 解答 原式 sin tan1 sin 为负值 是第三 四象限角 当 是第三象限角时 43 cos tan 54 原式 3 20 当 是第四象限角时 即为上例 说明 抓住已知条件判断 角所在象限 利用分类讨论的思想 同上题类似做法 得出结 论 例 3 化简 sin sin sin cos nn nZ nn 解 当 2 nk kZ 时 原式 sin 2 sin 2 2 sin 2 cos 2 cos kk kk 当 21 nkkZ 时 原式 sin 21 sin 21 2 sin 21 cos 21 cos kk kk 说明 关键抓住题中的整数n是表示 的整数倍与公式一中的整数k有区别 所以必须把 n分成奇数和偶数两种类型 分别加以讨论 五 小结 1 熟练运用公式化简 求值 证明 2 运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题 六 作业 补充 1 化简 sin cos cos 1 nn n 2 化简sin sin 2 sin 3 sin k 且k Z 对数与对数函数 教学设计 启东中学 杨英杰 复习目标 了解对数函数的概念 理解对数函数的性质 会画对数函数的图像 过程与方法 1 在理解对数函数性质上 要与指数函数性质 定点问题 单调性 值域 进行类比 2 在解决函数性质问题时 必须定义域优先 在定义域条件下结合对数函 数性质解决具体函数的定义域 值域 单调性问题 关注以对数函数为背景的抽 象函数 一 小试身手 1 2log2 2 函数 1 1 log xxf a 0 a 且 1 a 恒过点 3 函数 3 log2 xy 的定义域为 值域为 单调区间为 4 已知函数 2 1 2 1 1 2 log 2 1 xa x xf 是奇函数 则 a 5 不等式 2 log 4 log2 22 xx 解集是 二 典例谋法 例 1 设函数 xfy 且 4lg lg2lgxx y 1 求 xf 的解析式 2 求 xf 的值域 3 解不等式 1 xf 变式训练 若不等式 axf 恒成立 求实数a的取值范围 例 2 定义在 0 上的函数 xf 对任意 0 nm 都有 nfmfnmf 且 1 4 f 当 1 x 时 恒有 0 xf 1 求 1 f 2 讨论 xf 在 0 上的单调性 3 解不等式 2 6 xfxf 4 若任意 16 4 x 都有 axf 求实数a的取值范围 变式训练 定义在 0 上的函数 xf 对任意 0 nm 都有 nfmf n m f 且 1 4 f 当 1 0 x 时 恒有 0 xf 1 讨论 xf 在 0 上的单调性 2 解不等式 0 23 xfxf 3 若任意 16 4 x 都有 axf 求实数a的取值范围 三 学效测评 1 不等式 1log2 x 解集是 2 函数 1lg 1lg xxy 1 讨论奇偶性 2 求 xf 值域 总结 作业 对对 数数 函函 数数 教材分析教材分析 对数函数是一类重要的函数模型 它与指数函数互为反函数 教材是在学生学过指数 函数 对数及其运算的基础上引入对数函数的概念的 须要说明的是 这里与传统的教材 有所不同 即没有先学习反函数 这对学生学习对数函数的概念 图像及性质有较大影响 使指数函数的知识点不能直接应用于对数函数的知识点 但从对数的定义中知道 指数式 与对数式可互化 因此 在某些方面 如在画对数函数 y log2x 的图像列表时 可以把画 指数函数 y 2x图像时列的表中的 x 与 y 的值对调 这节内容的重点是对数函数的概念 图像及性质 难点是对数函数与指数函数的关系 教学目标教学目标 1 通过具体实例 直观了解对数函数模型刻画的数量关系 初步理解对数函数的概念 并能画出具体对数函数的图像 掌握对数函数的图像和性质 2 知道指数函数 y ax与对数函数 y logax 互为反函数 a 0 且 a 1 3 能应用对数函数的性质解有关问题 任务分析任务分析 首先复习指数函数 对数的定义及对数的性质 这也是学习本节内容的基础 解析式 x logay 是函数 叫作对数函数 为了符合习惯 常写成 y logax 这些内容学生较难理 解 教学时要引起重视 教学中 要注意从实例出发 使学生从感性认识提高到理性认识 要注意运用对比的方法 要结合对数函数的图像抽象概括对数函数的性质 注意 不要求 讨论形式化的函数定义 也不要求求已知函数的反函数 只须知道对数函数与指数函数互 为反函数 教学设计教学设计 一 问题情境一 问题情境 同指数函数中的细胞分裂问题 即 某种细胞分裂时 由 1 个分裂成 2 个 2 个分裂 成 4 个 4 个分裂成 8 个 1 个这样的细胞分裂 x 次后 得到的细胞的个数为 y 我们已经知道 个数 y 是分裂次数 x 的函数 解析式是 y 2x 形式上是指数函数 这里的定义域是 N 思考 在这个问题中 细胞分裂的次数 x 是不是细胞分裂个数 y 的函数 若是 这个 函数的解析式是什么 x 也是 y 的函数 由对数的定义得到这个新函数是 x log2y 其中 细胞的个数 y 是 自变量 细胞分裂的次数 x 是函数 二 建立模型二 建立模型 1 学生讨论 1 函数 x log2y 与指数函数 y 2x有何关系 2 函数 log2y 中的自变量 字母与我们以前所学的函数有何区别 结论 问题 1 两函数中的 x 表示的都是细胞分裂的次数 y 表示的都是细胞分裂 的个数 对应法则都是以 2 为底数 一个是取对数 一个是取指数 正好相逆 注意 这里不能说它们互为反函数 因为还没有学习反函数的概念 问题 2 这里的自变量所用字母是 y 以前学习的函数的自变量常用字母 x 即这 里的用法不合习惯 2 教师明晰 定义 函数 x long2y a 0 且 a 1 叫作对数函数 它的定义域是 0 值域是 由对数函数的定义可知 在指数函数 y ax和对数函数 x logay 中 x y 两个变量之 间的关系是一样的 不同的只是在指数函数 y ax里 x 是自变量 y 是因变量 而在对数 函数 x logay 中 y 是自变量 x 是因变量 习惯上 我们常用 x 表示自变量 y 表示因变 量 因此 对数函数通常写成 y logay a 0 且 a 1 x 0 3 练 习 在同一坐标系中画出下列函数的图像 1 y long2x 2 y 解 列表 表表 12 1 思考 上表中的 x y 的对应值与指数函数中所列表的对应值有何关系 描点 画图 4 观察上面的函数图像 结合列表 仿照指数函数的性质 归纳总结出对数函数的性 质 1 定义域是 0 值域是 2 函数图像在 y 轴的右侧且过定点 1 0 3 当 a 1 时 函数在定义域上是增函数 且当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y 0 当 0 a 1 时 函数在定义域上是减函数 且当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y 0 三 解释应用三 解释应用 例 例 题 题 1 求下列函数的定义域 1 y log2x2 2 y loga 4 x 3 y 解 1 x x 0 2 4 3 0 1 2 比较下列各组数的大小 1 log23 与 log23 5 2 loga5 1 与 loga5 9 a 0 且 a 1 3 log67 与 log76 解 1 考查对数函数 y log2x 2 1 它在 0 上是增函数 又 3 3 5 log23 log23 5 2 当 a 1 时 loga5 1 loga5 9 当 0 a 1 时 loga5 1 loga5 9 3 log67 1 log76 总结 本例是利用对数的单调性比较两个对数的大小 当底数与 1 的大小不确定时 要分类讨论 当不能直接进行比较时 可在两个数中间插入一个已知数间接比较两个数的 大小 3 溶液的酸碱度是通过 pH 值来刻画的 pH 值的计算公式为 pH lg H 其中 H 表示溶液中氢离子的浓度 单位是 mol L 1 根据对数函数性质及上述 pH 值的计算公式 说明溶液的酸碱度与溶液中氢离子 的浓度之间的变化关系 2 已知纯净水中氢离子的浓度为 H 10 7mol L 计算纯净水的 pH 值 解 1 根据对数的性质 有 pH lg H lg H 1 lg 所以溶液中氢离子的浓度越大 溶液的酸度就越小 2 当 H 10 7时 pH lg10 7 7 所以 纯净水的 pH 值是 7 4 设函数 f x lg ax bx a 1 b 0 问 当 a b 满足什么关系时 f x 在 1 上恒取正值 解 当 x 1 时 lg ax bx 0 恒成立ax bx 1 恒成立 令 g x ax bx a 1 b 0 g x 在 0 上是增函数 当 x 1 时 g x g 1 a b 当 a b 1 时 f x 在 1 上恒取正值 练 练 习 习 1 求函数 y 的定义域 2 比较 log0 50 2 与 log0 50 3 的大小 3 函数 y lg x2 2x 的增区间是 4 已知 a 0 且 a 1 则在同一直角坐标系中 函数 y a x和 y loga x 的图像 有可能是 5 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上 2000m 游回产地产卵 研究鲑鱼的科学家发现 一 岁鲑鱼的游速可以表示为函数 单位是 m s 其中 Q 表示鲑鱼的耗氧 量 1 当一条鲑鱼的耗氧量是 2700 个单位时 它的游速是多少 2 计算一条鲑鱼的最低耗氧量 四 拓展延伸四 拓展延伸 1 作出对数函数 y logax a 1 与 y logax 0 a 1 的草图 2 说出指数函数与对数函数的关系 以指数函数 y 2x与对数函数 y log2x 为代表加以说明 1 对数函数 y log2x 是把指数函数 y 2x中自变量与因变量对调位置而得出的 教师明晰 当一个函数是一一映射时 可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量 我们称这两个函数互为函数 函 数 y f x 的反函数记作 y f 1 x 对数函数 y log2x 与指数函数 y 2x互为反函数 2 对数函数 y log2x 与指数函数 y 2x的图像关于直线 y x 对称 3 指数函数与对数函数对照表 表表 12 2 点点 评评 这篇案例首先通过细胞分裂问题说明了对数函数的意义 这样安排既有利于学生理解 对数函数的概念 又有利于学生了解了它与指数函数的关系 其次通过画具体的对数函数 的图像 归纳总结出对数函数的性质 体现了由特殊到一般的认识规律 知识传授较为自 然 性质的列举模仿了指数函数的性质 通过对比 便于学生理解 记忆 例题 练习的 选配注意了题目的代表性 并且由易到难 注重学生解题能力的提高 拓展延伸侧重于指 数函数与对数函数的图像 性质方面的关系 加深了学生对这两个函数的理解 并使学生 从中了解了反函数的概念 数系的扩充数系的扩充 教学设计教学设计 江苏省如东高级中学 陆丽 教学目标 教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 1 了解数系扩充的过程 2 理解复数的基本概念与复数相等的充要条件 2 2 过程与方法 过程与方法 1 通过数系扩充历史的剖析 让学生体会数系扩充的必要性及一般方 法 2 类比前几次数系的扩充 让学生了解数系扩充后 新数与原数 新 数与新数可以进行四则运算 且进行四则运算时 原有的加法 乘法运算 律仍然成立 在此基础上 理解复数的基本概念 复数相等的条件并能进行 简单的运用 3 3 情感态度与价值观 情感态度与价值观 1 虚数单位i的引入 产生了复数集 让学生体验在这个过程中蕴含 的创新精神和实践能力 感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联 系 2 初步学会运用矛盾转化 分与合 实与虚等辩证唯物主义观点看待 和处理问题 3 让学生在问题生成和解决的过程中体验类比 化归等思想方法 提 高数学素养 培养创新意识 教学重点 教学重点 数的概念的发展和数系扩充的过程 复数的有关概念 教学难点 教学难点 虚数单位 i 的引进 教学方法 教学方法 启发引导 类比探究 讲练结合 教教 具 具 多媒体投影仪 教学过程 教学过程 一 创设情境一 创设情境 几张小小的图片展现了人类科技发展的巨大进步 人类科技的进步离不开 数学学科的强力支撑 而科技的进步也要求数学的同步发展 今天这一节课 就 让我们从最基本的数系扩充这一视角 来领略数学发展的卓越成就和艰辛历程 二 师生互动二 师生互动 1 我们学过了哪些数集 2 这些数集之间有怎样的包含关系 3 数集为何要进行扩充 又是怎样进行扩充的呢 1 通过观看短片 使学生认识到为了满足客观实际的需要添加新数将数集 进行扩充 2 通过学生相互讨论 发现在原有数集中 某些运算不是总能实施 某些 方程无解 为了解决数学内部的这些矛盾 需要添加新数将数集进行扩充 4 同学们能总结出数系扩充需要遵循哪些原则吗 1 解决了某些原数集中不能解决的问题 2 添加新数 使原数集是新数集的子集 3 在新的数集中 原有的运算及其性质仍然适用 5 实数集还需要扩充吗 负数不能开平方 方程x2 1 0 无解 1484 年 法国数学家舒开在 算术三篇 中解方程x2 3x 4 0 得到的根是 4 4 9 2 3 x 他声明此根是不可能的 1545 年 意大利数学家卡尔丹讨论了这样的问题 将 10 分成两部分 使两者的乘积等于 40 他认为把答案写成 155 和 155 就 可以满足要求 但 15 表示什么意义呢 在很长时间内 数学家都认为这样的式子没有 意义 是虚构的 想象的 可是 在实数集中 我们的确面临着负数不能开平方 一些二次方程无解 的问题 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释 不想得到 无解 的 答案 于是 数的概念需要进一步发展 数系需要进一步扩充 三 数学建构三 数学建构 一 数的发展简史和数系的扩充 为了使方程x2 1 有解 需要引入一个平方等于 1 的新数 瑞士数学家欧 拉 1777 年首次提出 用i表示平方等于 1 的新数 那时他已经双目失明 但依 然凭借超人的意志力为了数学系统的统一和完善不断努力着 他的提议得到了其它数学家的认可 1801 年 德国数学家高斯系统地使用 了这个符号 使i通行于世 于是我们引入新数i 叫做 虚数单位 并规定 1 i2 1 2 实数可以与 i 进行四则运算 进行四则运算时 原有的加法 乘法运 算律仍然成立 二 复数的有关概念 1 复数的定义 形如 a bi a b R 的数称为复数 通常用字母 z 表示 其中 a 叫做复数的实 部 b 叫做复数的虚部 全体复数组成的集合叫复数集 通常用 C 表示 即 C a bi a b R 例 1 指出下列复数的实部与虚部 1 4 2 2 3i 3 2i 5 4 6i 5 0 6 i 2 1 7 32 注意 复数的实部与虚部都是实数 2 复数的分类 实数 b 0 复数z a bi a b R 虚数 b 0 特别地 当a 0 时为纯虚数 三 复数的相等 如果两个复数的实部与虚部分别相等 则称两个复数相等 即 a bi c di a b c d R a c且b d 四 数学运用四 数学运用 例 2 实数 m 分别取什么值时 复数 z m m 1 m 1 i 是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 分析 因为 m R 所以 11 m m m 都是实数 由复数 z a bi a b R 是实 数 虚数 纯虚数与零的条件可以确定实数 m 的值 0 01 01 3 1012 1011 为纯虚数时 即 当 为虚数 时 即 当 为实数 时 即 当解 zm m m m zm m zmm 例 3 已知复数1 z x y x 2y i 复数2 z 2x 5 3x y i 若21 zz 求 实数x y的值 解 根据复数相等的条件 得方程组 得 说明 复数问题转化为实数问题 五 课堂小结五 课堂小结 yxyx xyx 32 52 2 3 y x 收获知识 感悟人生 同学们在以后的学习和生活中 无论遇到怎样的困惑 怎 样的疑难 我们都要像前面提到的数学家那样 善于探索 勇于创新 我相信 鲜花 和掌声一定属于你们 六 课后作业六 课后作业 1 课本P60 习题 1 4 2 思考 复数可以比大小吗 3 利用网络等资源了解复数的实际应用 板书设计 板书设计 一 数的发展简史和数系的扩充一 数的发展简史和数系的扩充 二 复数的有关概念二 复数的有关概念 1 复数的定义 2 复数的分类 三 复数的相等三 复数的相等 数系的扩充 说课稿 江苏省宿迁中学 陆明明 1 教材内容分析教材内容分析 1 1 本质 地位及作用本质 地位及作用 复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充 但是 复数它完全没有按照教科书 所描述的逻辑连续性 实际的需要使实数具有某种实在感 可是 复数的情形却不一样 是纯理论的创造 新课程中复数内容突出复数的代数表示 同时也强调了复数的几何意义 它的内容是 分层设计的 先将复数看成是有序实数对 再把复数看成是直角坐标系下平面上的点或向 量 最后介绍复数代数形式的加 减运算的几何意义 同时 复数作为一种新的数学语言 也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法 体现了数形结合思想 本节课的学习 一方面让学生回忆数系扩充的过程 体会虚数引入的必要性和合理 性 另一方面 让学生理解复数的有关概念 掌握复数相等的充要条件 为今后的学习奠 定基础 因此 本节课具有承前启后的作用 是本章的重点内容 1 2 教学重点难点教学重点难点 根据教学内容分析及学生已有的认知基础 本节课的教学重点 难点确定为 重点 感受数系扩充的过程 理解复数的有关概念 掌握复数相等的充要条件 难点 数系扩充的过程与原则 2 教学目标分析教学目标分析 遵循新课标 本节课的教学目标确定如下 2 1 知识与技能知识与技能 理解复数的概念及复数的代数表示 掌握复数相等的充要条件 2 2 过程与方法过程与方法 让学生回忆并感知数系扩充的过程 感悟数系扩充的基本方法 领悟复数的有关理 论 2 3 情感 态度与价值观情感 态度与价值观 通过问题情境感受虚数引入的必要性 体会人类理性思维的作用 形成学习数学知识 的积极态度 3 教学问题诊断分析教学问题诊断分析 根据历史相似性原理 结合学生已有的认知基础 预测学生在学习本节内容可能产生 的认知障碍与学习困难 为什么要引入 i 如何引入 i 是什么 根据教与学的关系 学生的学可以促进教师的教与学 教师通过学习数系的扩充历史 了解数系扩充的原则与方法 从而为虚数单位 i 的引入奠定理论基础 虚数的引入虽然最 先由于数学本身的需要 但也只有当高斯用 iab 表示一个向量的时候 复数在解决实际 问题中才得到广泛的应用 渐渐地才被大家接受 因此 i 是人类理性思维的产物 是一种 创造 4 教法特点教法特点 结合以上教学问题诊断分析 本节课的教法主要采用问题驱动教学模式 通过设置问 题串 让学生形成认知冲突 通过设置问题串 引领学生追溯历史 提炼数系扩充的原则 通过 设置问题串 帮助学生合乎情理的建立新的认知结构 让数学理论自然诞生在学生的思想 中 教师仅起到 助产士 的作用 5 教学设计流程教学设计流程 从建构主义的角度来看 数学学习是指学生自己建构数学知识的活动 在数学活动过 程中 学生与教材及教师产生交互作用 形成了数学知识 技能和能力 发展了情感态度 和思维品质 基于这一理论 我把这一节课的教学程序分成四个环节来进行 下面我向各 位专家作详细说明 5 1 创设情境创设情境 以历史上卡当的源问题入手 问题问题 1 将将 10 分成两部分 使两者的乘积为分成两部分 使两者的乘积为 40 引领学生重温历史 感悟数学发现并不神秘 数学家也是从常规问题入手 由此 提 出问题串 问题问题 2 有没有两个数之和为有没有两个数之和为 10 呢 之积为呢 之积为 40 呢 呢 问题问题 3 那为什么刚才的问题无解呢 那为什么刚才的问题无解呢 问题问题 4 实数集中有没有这两个数 实数集中有没有这两个数 设计意图 设计意图 一方面 让学生与数学大师一起思考问题 解决问题 另一方面 让学生 处于 愤悱 状态 形成认知冲突 感受到数已经不够用了 体现学习新知识的必要性 从而引出课题 数的历史源远流长 现在 就让我们沿着历史的足迹看看数集是如何发展壮大的 5 2 建构理论建构理论 问题问题 5 数集经历了哪几次扩充 设计意图 设计意图 学生已经学习过一些数集 在此基础之上 帮助学生重新建构数集的扩充 过程 这是本节课的生长点 此时 提出开放性问题 问题问题 6 每一次扩充分别解决了哪些问题 让学生充分交流 合作 讨论 师生共同完成数系扩充表 并感受到这些数的产生不 是从天而降 是数学内部发展的需要 也是社会发展的需要 由此 追问 问题问题 7 这几次扩充有什么共同的特点 设计意图 设计意图 一方面培养学生的归纳 概括与表达能力 另一方面通过对前几次数集扩 充的梳理 为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础 让学生感受到数系扩充 的合理性 并能提炼出数系扩充的一般原则 由此 突破本节课的难点 然而 历史在前进 社会在发展 生活中的矛盾不断涌现 五百多年前一个怪东西摆 在卡当面前 即 15 开平方问题 播放视频 设计意图 设计意图 教师引领学生再现卡当问题 将问题转化为找一个数的平方为 1 从而让 引入新数 水到渠成 此时 教师适时介绍与虚数单位 i 有关历史 如 为什么用 i 是谁引入了 i 从而 激发学生学习的兴趣 强化对 i 的认识 并让学生感受到科学上每一步的迈出是多么的艰 辛 引入 i 后 给出问题串 问题问题 8 你能写出卡当要找的数吗 问题问题 9 你还能写出其他含有 i 的数吗 问题问题 10 你能写出一个形式 把刚才所写出来的数都包含在内吗 设计意图 设计意图 学生利用新知解决卡当问题 通过设计问题 7 8 的铺垫 引导学生由特殊 到一般 抽象概括出复数的代数形式 帮助学生主动建构复数的代数形式 由此 追问 i ab a b R 一定是虚数吗 设计意图 设计意图 引导学生自然而然地想到要对复数进行分类 从而深化对复数概念的理解 攻克本节课的重点 5 3 数学运用数学运用 为了检测学生对复数有关概念的理解