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高三 理科 数学 试题参考 答案及评分细则 第 1 页(共 8 页) 武 昌区 2016 届高三 年级 五 月 调研考试 理科 数学 试题及 参考 答案 一、 选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合 题目要求的 1 若复数2 实数 m ( B ) A 12 B 1 C 32 D 2 2 若变量 x, y 满足约束条件,1,1,2 的最大值是 ( C ) A25B 0 C35D253 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A 和 B,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为81和 p 若在任意时刻 恰 有一个系统不发生故障的概率为409, 则p ( B ) A101B152C61D514 已知双曲线 122 点1F,2 P 为双曲线上一点 若21 ,则 |21 的值为 ( C ) A 2 B 22 C 32 D 52 5 设 2a, 2lnb , 215c , 则 ( C ) A B C D 6 执行如图所示的程序框图,若输出 k 的 值为 8,则判断框内可填入的条件是 ( B ) A ?43?1211?2425?1201375)2)(3( 的展开式中 , 24系数为 ( A ) A 110 B 120 C 130 k=k+2 输出 k 结束 开始 S=0, k=0 是 否 高三 理科 数学 试题参考 答案及评分细则 第 2 页(共 8 页) D 150 8 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的 体积为 ( C ) A 12 B 18 C 24 D 30 9动点 A(x, y)在圆 122 绕坐标原点沿 逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转一周已知 时间 0t 时,点 A 的坐标是 )23,21(,则当 120 t 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位: 秒)的函数的单调递增区间是 ( D ) A 1,0 B 7,1 C 12,7 D 1,0 和 12,7 10 已知命题 设 函数 )0()( 2 且2)1( , 则 )( )2,0( 上 必有零点 ; 设 R,则 “ ” 是 “ | ” 的充分不必要条件 则在命题1q:21 2q:21 3q:21)( 和4q: )(21 中,真命题是 ( C ) A B C D 1 在 中 , 90C , M 是 中点 若31 A ) A36B35C32D3312 设直线 l 与抛物线 2 相交于 A, B 两点,与圆 )0()5( 222 切于点 M,且 M 为线段 中点若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是 ( D ) A (1, 3) B (1, 4) C (2, 3) D (2, 4) 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分 13 若向量 a, a )1,3( , (a 2b) a, (a b) b,则 |b| 答案 : 2 14 已知 20 47d) 2 答案 :16915 已知 直三棱柱111 各顶点都在同一球面上 若 21 120则 该 球的表面积等于 答案 : 20 16 已知函数21 21e)( x ( k 为常数), 曲线 )(在点 (0, f(0)处的切线与 x 轴平行 ,则 )(单调 递减 区间 为 答案 : )0,( 2 4 5 3 正视图 侧视图 俯视图 高三 理科 数学 试题参考 答案及评分细则 第 3 页(共 8 页) 男 女 8 8 6 16 8 6 5 4 3 2 17 6 5 4 2 18 5 6 3 2 1 19 0 2 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 12 分) 设 数列 n 项和为知 11a, )(21 ( ) 证明:数列 ( )求 数列 n 项和 解 : ( ) 由 1 n 2n 及 1 1 得 1 n 2n 整理,得 1 2(n 1) 1n 1 2 又 1, 是 以 1 为首项, 2 为公比的 等比数列 6 分 ( ) 由 ( ), 得 2n 1, n 2n 1( n N*) 1 20 2 21 3 22 n 2n 1, 2 1 21 2 22 (n 1) 2n 1 n 2n 由 ,得 (1 2 22 2n 1) n 2n 1 22 n 2n (n 1) 2n 1 12 分 18(本小题满分 12 分) 某公司 招收 大学毕业生,经过综合测试 录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分)公司规定:成绩在 180 分以上者到甲部门工作, 在 180分以下者到乙部门工作,另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任助理工作 ( ) 现 用分层抽样的方法从甲 、 乙 两 部门 中选取 8 人 若 从这 8 人中再选 3 人, 求 至少有一人 来自 甲部门 的概率 ; ( )若从甲部门 中随机选 取 3 人,用 X 表示所选人员中能担任助理工作的人数, 求 数学期望 解 :( ) 根据茎叶图 可知 ,甲 、 乙 两 部门 各有 10 人, 用分层抽样的方法, 应从 甲 、 乙 两 部门 中各 选取 10 25 4 人 记“ 至少有一人 来自 甲部门 ”为 事件 A,则 P(A) 1 314 故 至少有一人 来自 甲部门 的概率 为 1314 5 分 ( ) 由 题意 可知 , X 的 可能 取值 为 0, 1, 2, 3 P(X 0) 130, P(X 1)310, P(X 2) 12, P(X 3)16 X 的分布列 为 高三 理科 数学 试题参考 答案及评分细则 第 4 页(共 8 页) X 0 1 2 3 P 130 310 12 16 E(X) 0 130 1 310 2 12 3 16 95 12 分 19(本小题满分 12 分) 如图, 在 四棱锥 中 , 底面 1 2 E 为棱 的一点,平面 平面 ( )证明: ; ( )求二面角 的大小 解 : ( )以 D 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系 则 A(1, 0, 0), B(1, 1,0), C(0, 2, 0), S(0, 0, 2), (0, 2, 2), ( 1, 1, 0), (0,2, 0) 设平面 法向量为 m (a, b, c), 由 m m m 0,m 0, 2b 2c 0, a b 0 取 m (1, 1, 1) 又设 0) ,则 E( 1 , 1 , 21 ), ( 1 , 1 , 21 ) 设平面 法向量 n (x, y, z), 由 n n n 0,n 0, 2 0,2y 0取 n (2, 0, ) 由平面 平面 得 m n, m n 0, 2 0, 即 2 故 2 6 分 ( )由( ) , 知 E(23, 23, 23), (23, 23, 23), ( 23, 43, 23), 0, S D A B C E x y z F 高三 理科 数学 试题参考 答案及评分细则 第 5 页(共 8 页) 取 中点 F,则 F(13, 13, 13), (23, 13, 13), 0, 向量 角等于二面角 平面角 而 12, 故 二面角 大小为 120 12 分 20(本小题满分 12 分) 已知 )1,0(A , )1,0( B 是 椭圆 12 22 两 个 顶点,过其 右 焦点 F 的直线 l 与椭圆交于C, D 两点, 与 y 轴交于 P 点 ( 异于 A, B 两点 ) , 直线 直线 于 Q 点 ( )当223| 直线 l 的方程; ( )求证: 为定值 解 :( ) 由题设条件可知, 直线 l 的斜率一定存在, F(1, 0), 设直线 l 的方程 为 y k(x 1)( k 0 且 k 1) 由 y k(x 1),1, 消去 y 并整理,得 (1 2k2)422 0 设 C( D(则 4221 2 | 1 ( 41 ( 42 4 221 2 2 2(1 2 由已知,得 2 2(1 23 22 ,解得 k 22 故 直线 l 的方程 为 y 22 (x 1)或 y 22 (x 1), 即 x 2y 1 0 或 x 2y 1 0 5 分 ( ) 由 C( D( A(0, 1), B(0, 1),得 直线 方程为 y 11, 直线 方程为 y 11, 联立两条直线方程并 消去 x, 得 y 1y 1 x2(1)x1(1), 由 ( ) ,知 k(1), k(1), 4221 2 高三 理科 数学 试题参考 答案及评分细则 第 6 页(共 8 页) 1) 1) 2k( 2k 221 2k42 42 1) 1) k( k( 42 k( 42 1k, Q( 1k) 又 P(0, k), (0, k) ( 1k) 1 故 12 分 21(本小题满分 12 分) ( ) 证明:当 1 ,0x 时 , ( ) 若不等式 4c o s)2(2232 1 ,0x 恒成立,求实数 a 的取值范围 解 : ( )记 F(x) 22 x,则 F(x) 22 当 x (0, 4)时, F(x) 0, F(x)在 0, 4上是增函数; 当 x (4, 1)时, F(x) 0, F(x)在 4, 1上是减函数 F(0) 0, F(1) 0, 当 x 0, 1时 , F(x) 0,即 22 x 记 H(x) x,则 当 x (0, 1)时 , H(x) 1 0, H(x)在 0, 1上是减函数, H(x) H(0) 0,即 x 综上, 22 x x, x 0, 1 4 分 ( ) 当 x 0, 1时 , 2(x 2)4 (a 2)x 4(x 2) (a 2)x 4(x 2)(24 x)2 (a 2)x 当 a 2 时 , 不等式 2(x 2)4 对 x 0, 1恒成立 下面证明: 高三 理科 数学 试题参考 答案及评分细则 第 7 页(共 8 页) 当 a 2 时 , 不等式 2(x 2)4 对 x 0, 1不 恒成立 2(x 2)4 (a 2)x 4(x 2) (a 2)x 4(x 2)( (a 2)x (a 2)x 32 32xx 23(a 2) 存在 (0, 1)( 例如 a 23 和 12中的较小者 ) 满足 2(2)4 0, 即 当 a 2 时 , 不等式 2(x 2)4 0 对 x 0, 1不 恒成立 综上, 实数 a 的取值范围是 ( , 2 12 分 22( 本小题满分 10 分) 选修 4何证明选讲 如图, O 和 O相交于 A, B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C, D 两点,连结 延长交 O 于点 E, 已知 3 ( ) 求 的值 ; ( )求线段 长 解 : ( ) O于 A, 同理 3, 9 5 分 ( ) O 于 A, 又 由 ( ) 可知 , 3 10 分 23(本小题满分 10 分) 选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ,直线 l 的参数方程为3 ( t 为参数)以原点为极点, 已知曲线 C 的极坐标方程为 ( )把曲线 C 的极坐标方程 化为 直角坐标方程 ,并说明它表示什么曲线 ; ( )若 P 是 直线 l 上 的一 点, Q 是曲线 C 上 的一 点,当 |得 最小 值 时,求 P 的直角坐标 解 : ( ) 由 2 3 2 2 3 从而有 2 3x, (x 3)2 3 曲线 C 是圆心为 ( 3, 0),半径为 3的圆 5 分 A B C D E O O 高三 理科 数学 试题参考 答案及评分细则 第 8 页(共 8 页) ( )由题设条件知, | | |当且仅当 P, Q, C 三点共线时,等号成立, 即 | | 3, |PQ|PC|3 设 P( 32 t, 5 12t),又 C( 3, 0), 则 | ( 32 t 3)2 ( 5 12t)2 2t 28 (t 1)2 27 当 t 1 时, | 得 最小值, 从而 | 取 得 最小值, 此时 , 点 P 的直角坐标为 ( 32 , 92) 10 分 24(本小题满分 10 分) 选修 4不等式 选讲 已知 0a , 0b

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