（全国版）2020年中考数学热点专题冲刺7 坐标几何问题

热点专题热点专题 7 7 坐标几何问题坐标几何问题 一些几何题的证明或求解 由原图形分析探究显得十分复杂 若通过适当的变换 即添加适当的辅助线 图 或者建立坐标系 将原图形转换成一个完整的 特殊的 简单的新图形 借助于坐标解决则能使 原问题的本质得到充分的显示 从而使原问题顺利获解 在坐标系内从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线 图 作法归纳为结果 1 构造基本图 形 2 构造等腰 边 三角形 3 构造直角三角形 4 构造全等三角形 5 构造相似三角形 6 构造特殊四边形 7 构造圆的特殊图形 方法 8 基本辅助线 9 截取和延长变换 10 对称变换 11 平移变换和旋转变换 下面通过 2019 年全国各地中考的实例探讨其应用 考向考向 1 1 平面直角坐标系内点的坐标特征平面直角坐标系内点的坐标特征 1 2019 常德 点 1 2 关于原点的对称点坐标是 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 2 1 答案 b 解析 根据平面直角坐标系中的点 x y 关于原点的对称点为 x y 故点 1 2 关于原点的 对称点坐标是 1 2 故选择 b 2 2019 杭州 在平面直角坐标系中 点 a m 2 与点 b 3 n 关于 y 轴对称 则 a m 3 n 2 b m 3 n 2 c m 2 n 3 d m 2 n 3 答案 b 解析 a b 关于 y 轴对称 则横坐标互为相反数 纵坐标相同 故选 b 3 2019 滨州 在平面直角坐标系中 将点 a 1 2 向上平移 3 个单位长度 再向左平移 2 个单位 长度 得到点 b 则点 b 的坐标是 a 1 1 b 3 1 c 4 4 d 4 0 答案 a 解析 点 a 1 2 向上平移 3 个单位长度 再向左平移 2 个单位长度 得到 1 2 2 3 即 b 1 1 故选 a 4 2019 泸州 在平面直角坐标系中 点 m a b 与点 n 3 1 关于 x 轴对称 则 a b 的值是 答案 4 解析 点 m a b 与点 n 3 1 关于 x 轴对称 a 3 b 1 a b 的值是 4 故答案为 4 5 5 2019 陇南 中国象棋是中华民族的文化瑰宝 因趣味性强 深受大众喜爱 如图 若在象棋棋盘 上建立平面直角坐标系 使 帅 位于点 0 2 马 位于点 4 2 则 兵 位于点 答案 1 1 解析 由题意可以得到如下平面直角坐标系 则 兵 位于点 1 1 故答案为 1 1 6 2019 临沂 在平面直角坐标系中 点 p 4 2 关于直线 x 1 的对称点的坐标是 答案 2 2 解析 点 p 4 2 点 p 到直线 x 1 的距离为 4 1 3 点 p 关于直线 x 1 的对称点 p 到直线 x 1 的距离为 3 点 p 的横坐标为 1 3 2 对称点 p 的坐标为 2 2 故答案为 2 2 考向考向 2 2 点的坐标与距离 长度 的计算点的坐标与距离 长度 的计算 1 2019 常州 平面直角坐标系中 点 p 3 4 到原点的距离是 答案 5 解析 本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识 根据两点间的距离公式或勾股定理 可求 得点 p 3 4 到原点的距离是 5 因此本题答案为 5 22 34 2 2019 鄂州 在平面直角坐标系中 点 p x0 y0 到直线 ax by c 0 的距离公式为 d 则点 p 3 3 到直线 yx的距离为 ax0 by0 c a2 b2 2 3 5 3 答案 8 13 13 解析 yx 2x 3y 5 0 2 3 5 3 点 p 3 3 到直线 yx的距离为 故答案为 2 3 5 3 2 3 3 3 5 22 32 8 13 13 8 13 13 3 2019 泰安 在平面直角坐标系中 直线 l y x 1 与 y 轴交于点 a1 如图所示 依次作正方形 oa1b1c1 正方形 c1a2b2c2 正方形 c2a3b3c3 正方形 c3a4b4c4 点 a1 a2 a3 a4 在直线上 点 c1 c2 c3 c4 在 x 轴正半轴上 则前 n 个正方形对角线长的和是 答案 2n 22 解析 点 a1是 y x 1 与 y 轴的交点 a1 0 1 oa1b1c1是正方形 c1 1 0 a1c1 a2 1 2 c1a2 2 a2c2 2 a3c2 4 a3c3 4 按照此规律 ancn 2n 1 前 n 个 2222 正方形对角线长的和为 2 4 2n 1 1 2 4 2n 1 1 1 2 4 2n 1 1 222222 2n 1 2n 222 4 4 2019 河北 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系 并标示了 a b c 三地的坐标 数据如图 单位 km 笔直铁路经过 a b 两地 1 a b 间的距离为 km 2 计划修一条从 c 到铁路 ab 的最短公路 l 并在 l 上建一个维修站 d 使 d 到 a c 的距离相等 则 c d 间的距离为 km 答案 1 20 2 34 433 解析 1 2 如图所示 20812 8 12 ab 设 ad cd x 则 od 17 x oa 12 aod 90 解得 x 222 12 17 xx 34 433 考向考向 3 3 坐标与几何图形的位置变换坐标与几何图形的位置变换 1 1 2019 荆州 在平面直角坐标系中 点 a 的坐标为 1 以原点为中心 将点 a 顺时针旋转 3 30 得到点 a 则点 a 的坐标为 a 1 b 1 c 2 1 d 0 2 33 答案 a 解析 如图 作 ae x 轴于 e a f x 轴于 f aeo ofa 90 aoe aoa a of 30 aoe a oa oa aoe oa f aas of ae a f oe 1 a 1 故选 a 33 2 20192019 北京 北京 在平面直角坐标系中 点在双曲线上 点关于 xoy a ab 00ab 1 k y x a 轴的对称点在双曲线上 则的值为 xb 2 k y x 12 kk 答案答案 0 解析解析 a b 两点关于 x 轴对称 b 点的坐标为 ab 又 a b两点分别在又曲线和上 故填 0 ab ab 1 k y x 2 k y x 12 abkabk 12 0kk 3 3 2019 攀枝花 正方形 a1b1c1a2 a2b2c2a3 a3b3c3a4 按如图所示的方式放置 点 a1 a2 a3 和点 b1 b2 b3 分别在直线 y kx b k 0 和 x 轴上 已知 a1 0 1 点 b1 1 0 则 c5的坐 标是 答案 47 16 解析 如图 c1 2 1 c2 5 2 c 3 11 4 c 4 23 8 c1的横坐标 2 21 纵坐标 1 20 c2的横坐标 5 22 20 纵坐标 2 21 c3的横坐标 11 23 21 20 纵坐标 4 22 c4的横坐标 23 24 22 21 20 纵坐标 8 23 依此类推 c5的横坐标 25 23 22 21 20 47 纵坐标 16 24 c5 47 16 考向考向 4 4 坐标与几何图形坐标与几何图形 1 1 2019 镇江 如图 菱形的顶点 在轴上在的左侧 顶点 在轴上方 abcdbcx b cadx 对角线的长是 点为的中点 点在菱形的边上运动 当点到所 bd 2 10 3 2 0 e bcpabcd 0 6 f ep 在直线的距离取得最大值时 点恰好落在的中点处 则菱形的边长等于 pababcd a b c d 3 10 310 16 3 答案答案 a 解析解析 如图 1 中 当点是的中点时 作于 连接 pabfgpe gef 2 0 e 0 6 f 2oe 6of 22 242 10ef 当点与重合时 的值最大 90fge fg ef gefg 如图 2 中 当点与点重合时 连接交于 交于 设 geacbdhpebdj2bca papb beeca peac bjjh 四边形是菱形 abcdacbd 10 3 bhdh 10 6 bj pebd 90bjeeofpef ebjfeo 故选 bjeeof bebj efeo 10 6 22 10 a 5 3 a 10 2 3 bca a 2 2 2019 天水 如图 在平面直角坐标系中 已知 d 经过原点 o 与 x 轴 y 轴分别交于 a b 两点 点 b 坐标为 0 2 oc 与 d 交于点 c oca 30 则圆中阴影部分的面积为 3 答案答案 2 2 3 解析解析 连接 ab aob 90 ab 是直径 根据同弧对的圆周角相等得 oba c 30 ob 2 oa obtan abo obtan30 22 ab ao sin30 4 即圆的半径为 2 3 3 3 3 s阴影 s半圆 s abo2 22 2 故答案为 2 2 22 2 1 2 3 33 3 3 2019 2019 龙东地区 龙东地区 如图 在平面直角坐标系中 矩形 abcd 的边 ab 在 x 轴上 ab bc 的长分别是一 元二次方程 x2 7x 12 0 的两个根 bc ab oa 2ob 边 cd 交 y 轴于点 e 动点 p 以每秒 1 个单位长度的 速度 从点 e 出发沿折线段 ed da 向点 a 运动 运动时间为 t 0 t 6 秒 设 bop 与矩形 aoed 重叠 部分的面积为 s 1 求点 d 的坐标 2 求 s 关于 t 的函数关系式 并写出自变量的取值范围 3 在点 p 的运动过程中 是否存在点 p 使 bep 为等腰三角形 若存在 直接写出点 p 的坐标 若不 存在 请说明理由 x y e a dc o b x y 图 图 图 e a dc o b x y 图 图 图 e a dc o b 解 1 x2 7x 12 0 x1 3 x2 4 bc ab bc 4 ab 3 oa 2ob oa 2 ob 1 矩形 abcd 点 d 的坐标为 2 4 2 设 ep 交 y 轴于点 f 当 0 t 2 时 如图 1 pe x x y e f cd a o b p cd ab obf epf of s of pe ofob efep 1 4 of oft 4 1t 1 2 14 21 t t aa 2 1 t t 当 2 t 6 时 如图 2 ap 6 t x y f ecd a o b p oe ad obf abp of s of oa ofob apab 1 63 of t 6 3 t 1 2 16 2 23 t 1 2 3 t 综上所述 2 02 1 1 2 26 3 t t t s tt 3 存在 p1 2 p2 2 p3 2 4 理由如下 11 82 2 13 如图 3 作 be 的中垂线 交 ad 于点 p1 连接 p1b p1e 设点 p1的坐标为 2 m x y p1 ecd a o b 在 rt abp1中 由勾股定理得 ab2 ap12 p1b2 即 32 m2 p1b2 在 rt edp1中 由勾股定理得 ed2 dp12 p1e2 即 22 4 m 2 p1e2 p1b p1e 32 m2 22 4 m 2 解得 m p1 2 11 8 11 8 如图 4 当 be bp2时 在 rt bce 中 由勾股定理得 be bp2 22 41 1717 x y p2 e c d a o b 在 rt abp2中 由勾股定理得 ap2 p2 2 22 17 3 2 22 2 如图 5 当 eb ep3时 在 rt dep3中 由勾股定理得 dp3 ap3 4 p3 22 17 2 1313 2 4 综上 点 p 的坐标为 p1 2 或 p2 2 或 p3 2 4 13 11 82 2 13 x y p3 ecd aob 考向考向 5 5 坐标与坐标与 函数中的几何图形函数中的几何图形 1 1 2019 2019 山东泰安山东泰安 已知一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 m y x 的图象交于点 a 与 x 轴交于点 b 5 0 若 ob ab 且 s oab 15 2 1 求反比例函数与一次函数的表达式 2 若点 p 为 x 轴上一点 abp 是等腰三角形 求点 p 的坐标 解 1 过点 a 作 am x 轴于点 m 则 s oab 1 2 ob am 15 2 b 5 0 ob 5 即 1 5 2 am 15 2 am 3 ob ab ab 5 在 rt abm 中 bm 22 abam 4 om ob bm 9 a 9 3 点 a 在反比例函数 m y x 图象上 3 9 m m 27 反比例函数的表达式为 27 y x 设一次函数表达式为 y kx b 点 a 9 3 b 5 0 在直线上 3 9k b 0 5k b 解之 得 k 3 4 b 15 4 一次函数的表达式为 y 3 4x 15 4 2 设点 p x 0 a 9 3 b 5 0 ab2 9 5 2 32 25 ap2 9 x 2 32 x2 18x 90 bp2 5 x 2 x2 10 x 25 根据等腰三角形的两边相等 分类讨论 令 ab2 ap2 得 25 x2 18x 90 解之 得 x1 5 x2 13 当 x 5 时 点 p 与点 b 重合 故舍去 p1 13 0 令 ab2 bp2 得 25 x2 10 x 25 解之 得 x3 0 x4 10 当 x 0 时 点 p 与原点重合 故 p2 0 0 p3 10 0 令 ap2 bp2 得 x2 18x 90 x2 10 x 25 解之 得 x 65 8 p4 65 8 0 综上所述 使 abp 是等腰三角形的点 p 的坐标为 p1 13 0 p2 0 0 p3 10 0 p4 65 8 0 2 2 2019 2019 金华 金华 如图 在平面直角坐标系中 正六边形 abcdef 的对称中心 p 在反比例函数 y k x k 0 x 0 的图像上 边 cd 在 x 轴上 点 b 在 y 轴上 已知 cd 2 1 点 a 是否在该反比例函数的图像上 请说明理由 2 若该反比例函数图像与 de 交于点 q 求点 q 的横坐标 3 平移正六边形 abcdef 使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上 试描述平移过程 解题过程解题过程 1 连结 pc 过点 p 作 ph x 轴于点 h 在正六边形 abcdef 中 点 b 在 y 轴上 obd 和 pch 都含有 30 角的直角三角形 bc pc cd 2 oc ch 1 ph 3 点 p 的坐标为 2 3 k 23 反比例函数的表达式为 y 2 3 x x 0 连结 ac 过点 b 作 bg ac 于点 g abc 120 ab bc 2 bg 1 ag cg 3 点 a 的坐标为 1 2 3 当 x 1 时 y 23 所以点 a 该反比例函数的图像上 2 过点 q 作 qm x 轴于点 m 六边形 abcdef 是正六边形 edm 60 设 dm b 则 qm 3b 点 q 的坐标为 b 3 3b 3b b 3 23 解得 b1 317 2 b2 317 2 舍去 b 3 317 2 点 q 的横坐标为 317 2 3 连结 ap ap bc ef ap bc ef 平移过程 将正六边形 abcdef 先向右平移 1 个单位 再向上平移 3个单位 或将正六边形 abcdef 向 左平移 2 个单位 3 2019 广州 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 菱形 abcd 的对角线 ac 与 bd 交于点 p 1 2 ab x 轴于点 e 正比例函数 y mx 的图象与反比例函数 y的图象相交于 a p 两点 n 3 x 1 求 m n 的值与点 a 的坐标 2 求证 cpd aeo 3 求 sin cdb 的值 解题过程 解 将点 p 1 2 代入 y mx 得 2 m 解得 m 2 正比例函数解析式为 y 2x 将点 p 1 2 代入 y 得 2 n 3 解得 n 1 n 3 x 反比例函数解析式为 y 联立正 反比例函数解析式成方程组 得 2 x y 2x y 2 x 解得 点 a 的坐标为 1 2 x1 1 y1 2 x2 1 y2 2 2 证明 四边形 abcd 是菱形 ac bd ab cd dcp bap 即 dcp oae ab x 轴 aeo cpd 90 cpd aeo 3 解 点 a 的坐标为 1 2 ae 2 oe 1 ao ae2 oe2 5 cpd aeo cdp aoe sin cdb sin aoe ae ao 2 5 25 5 4 4 2019 20