长征医院的护士值班计划

1 长征医院的护士值班计划 长征医院是长宁市的一所区级医院 该院每天各时间段内需求的值班护士 数如表 1 所示 表 1 长征医院每天各时间段内需求的值班护士数 时间区段 6 00 10 0010 00 14 0014 00 18 0018 00 22 0022 00 6 00 次日 需求数 1820 191712 该医院护士上班分五个班次 每班 8h 具体上班时间为第一班 2 00 10 00 第二班6 00 14 00 第三班 10 00 18 00 第四班 14 00 22 00 第五班 18 00 2 00 次日 每名护士每周上 5 个班 并被安排在不同的日子 有一名总 护士长负责护士的值班安排 值班方案要做到在人员或经济上比较节省 又做 到尽可能合情合理 下面是一些正在考虑中的值班方案 方案方案 1 1 每名护士连续上班 5 天 休息 2 天 并从上班第一天起按从第一 班到第五班顺序安排 例如一名护士从周一开始上班 则她于周一上第一个班 周二上第二个班 周五上第五个班 另一名护士若从周三起上班 则她于周 三上第一个班 周 四上第二个班 周日上第五个班 等等 方方案案 2 考虑到按上述方案中每名护士在周末 周六 周日 两天内休息 安排不均匀 于是规定每名护士在周六 周日两天内安排一天 且只安排一天休 息 再在周一至 周五期间安排 4 个班 同样上班的五天内分别顺序安排 5 个不同 班次 在对第 1 2 方案建立线性规划模型并求解后 发现方案 2 虽然在安排周末 休息上比较合理 但所需值班人数要比第 1 方案有较多增加 经济上不太合算 于是又提出了 第 3 方案 方方案案 3 在方案 2 基础上 动员一部分护士放弃周末休息 即每周在周一 至周五间由总护士长给安排三天值班 加周六周日共上五个班 同样五个班分 别安排不同班次 作为奖励 规定放弃周末休息的护士 其工资和奖金总额比其他护士增加 a 根据上述 帮助长征医院的总护士长分析研究 a 对方案 1 2 建立使值班护士人数为最少的线性规划模型并求解 b 对方案 3 同样建立使值班护士人数为最少的线性规划模型并求解 然 后回答 a 的值为多大时 第 3 方案较第 2 方案更经济 二 问题分析与求解 1 方案 1 的分析 2 根据方案一中 每名护士连续上班 5 天 休息 2 天 并从上班第一天起按 从上第一班到第五班顺序安排 可以设表示星期 上第一班的班组的人数 i xi 安排如表 2 7 6 5 4 3 2 1 i 表 2 方案 1 护士值班安排表 星期 班次 星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日 2 00 10 00 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 6 00 14 007 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 10 00 18 006 x 7 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 14 00 22 005 x 6 x 7 x 1 x 2 x 3 x 4 x 18 00 2 00 4 x 5 x 6 x 7 x 1 x 2 x 3 x 2 对方案 1 进行建模与求解 建立模型 考虑多个约束条件化简后得到 7 6 5 4 3 2 1 0 12 12 12 12 12 12 12 20 20 20 20 20 20 20 min 7654 32176 655443 322171 7654321 jx xxxx xxxxx xxxxxx xxxxxx ts xxxxxxxZ j 整数 LINGO 程序运行如下 min x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 x7 20 x1 x2 20 x2 x3 20 x3 x4 20 x4 x5 20 x5 x6 20 x6 x7 20 x1 12 x2 12 x3 12 x3 12 x4 12 x5 12 x6 12 x7 12 gin x1 gin x2 gin x3 gin x4 gin x5 gin x6 gin x7 运行结果 Global optimal solution found Objective value 84 00000 Extended solver steps 0 Total solver iterations 0 Variable Value Reduced Cost X1 12 00000 1 000000 X2 12 00000 1 000000 X3 12 00000 1 000000 3 X4 12 00000 1 000000 X5 12 00000 1 000000 X6 12 00000 1 000000 X7 12 00000 1 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 84 00000 1 000000 2 4 000000 0 000000 3 4 000000 0 000000 4 4 000000 0 000000 5 4 000000 0 000000 6 4 000000 0 000000 7 4 000000 0 000000 8 4 000000 0 000000 9 0 000000 0 000000 10 0 000000 0 000000 11 0 000000 0 000000 12 0 000000 0 000000 13 0 000000 0 000000 14 0 000000 0 000000 15 0 000000 0 000000 16 0 000000 0 000000 所以最优解为 即 星期12 7654321 xxxxxxx84min Z 一上第一班的班组的人数为 12 人 星期二上第一班的班组的人数为 12 人 星 期三上第一班的班组的人数为 12 人 星期四上第一班的班组的人数为 12 人 星期五上第一班的班组的人数为 12 人 星期六上第一班的班组的人数为 12 人 星期日上第一班的班组的人数为 12 人 总人数 84 人 表 3 方案 1 护士值班安排表 星期 班次 星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日 2 00 10 00 12121212121212 6 00 14 00 12121212121212 10 00 18 00 12121212121212 14 00 22 00 12121212121212 22 00 6 00 12121212121212 方案 1 每班值班的护士人数表 星期 班次 星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日 2 00 6 00 12121212121212 4 6 00 10 00 24242424242424 10 00 14 00 24242424242424 14 00 18 00 24242424242424 18 00 22 00 24242424242424 22 00 2 00 12121212121212 能满足对护士人员的需求 2 对方案 2 分析 1 因为每名护士在周六 周日两天里必须工作一天 安排休息一天 2 周一到周五连续安排 4 个班 所以可以先安排周末的护士值班情况 周六 周日两天共 10 个班次 用表示周六周日各班两天值班的护士人 10 2 1 jxj 数 其中表示周六第一班到第五班值班的护士人数 其中 521 xxx 表示周日第一班到第五班值班的护士人数 其值班安排表见表 3 1076 xxx 表 3 方案 2 护士值班安排表 星期 班次 星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日 2 00 10 0010 x 95 xx 84 xx 73 xx 2 x 1 x 6 x 6 00 14 006 x 101 xx 95 xx 84 xx 3 x 2 x 7 x 10 00 18 007 x 62 xx 101 xx 95 xx 4 x 3 x 8 x 14 00 22 008 x 73 xx 62 xx 101 xx 5 x 4 x 9 x 18 00 2 009 x 84 xx 73 xx 62 xx 1 x 5 x 10 x 建立如下问题的数学模型 10 2 1 0 12 12 12 12 12 12 12 12 12 17 17 19 19 19 19 20 20 20 20 18 18 20 20 18 min 109651 956273 8410951 5410621 987632 8743 763221 87439854 10951106 10987654321 jx xxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxx xxxxxx xxxxxxxx xxxxxx ts xxxxxxxxxxZ j 整数 用 lingo 求解得程序 min x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x6 x10 18 x1 x2 18 5 x6 x7 20 x3 x4 20 x2 x3 20 x7 x8 20 x1 x2 x6 x10 20 x1 x5 x9 x10 20 x4 x5 x8 x9 20 x4 x5 19 x8 x9 19 x2 x3 x6 x7 19 x1 x5 17 x9 x10 17 x9 12 x1 12 x5 12 x10 12 x4 x8 12 x3 x7 12 x2 x6 12 x5 x9 12 x2 12 x6 12 gin x1 gin x2 gin x3 gin x4 gin x5 gin x6 gin x7 gin x8 gin x9 gin x10 Global optimal solution found Objective value 112 0000 Extended solver steps 0 Total solver iterations 9 Variable Value Reduced Cost X1 12 00000 1 000000 X2 12 00000 1 000000 X3 8 000000 1 000000 X4 12 00000 1 000000 X5 12 00000 1 000000 X6 12 00000 1 000000 X7 8 000000 1 000000 X8 12 00000 1 000000 X9 12 00000 1 000000 X10 12 00000 1 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 6 1 112 0000 1 000000 2 6 000000 0 000000 3 6 000000 0 000000 4 0 000000 0 000000 5 0 000000 0 000000 6 0 000000 0 000000 7 0 000000 0 000000 8 28 00000 0 000000 9 28 00000 0 000000 10 28 00000 0 000000 11 5 000000 0 000000 12 5 000000 0 000000 13 21 00000 0 000000 14 7 000000 0 000000 15 7 000000 0 000000 16 0 000000 0 000000 17 0 000000 0 000000 18 0 000000 0 000000 19 0 000000 0 000000 20 12 00000 0 000000 21 4 000000 0 000000 22 12 00000 0 000000 23 12 00000 0 000000 24 0 000000 0 000000 25 0 000000 0 000000 表 4 方案 2 护士值班人员安排表 星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日 2 00 10 00 12242416121212 6 00 14 00 122424248128 10 00 18 00 820242412812 14 00 22 00 12162024121212 18 00 2 00 12241620121212 方案 2 中每班可以同时上班的服务员人数 星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日 2 00 6 0012242416121212 6 00 10 0024484840202420 10 00 14 0020444848202020 14 00 18 0020364448242024 18 00 22 0024241620121212 7 22 00 2 0012241620121212 对方案 3 的分析 分析方案 3 的基本思想如下 1 一部分护士周末 2 天都上班 另一部分 护士周末只上 1 天班 2 连续上班 5 天 休息 2 天 3 五个班分别安排在不同的 班次 因此 先安排周末的值班 代表周末两天都上班的无个班 54321 xxxxx 次 周末只上一天班 安排见表 5 109876 xxxxx 1514131211 xxxxx 表 5 方案 3 护士值班安排表 星期 班次 星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日 2 00 10 00 154 xx 10143 xxx 9132 xxx 812 xx 7 x 61 xx 115 xx 6 00 14 00 115 xx 6154 xxx 10143 xxx 913 xx 8 x 72 xx 121 xx 10 00 18 00 121 xx 7115 xxx 6154 xxx 1014 xx 9 x 83 xx 132 xx 14 00 22 00 132 xx 8121 xxx 7115 xxx 615 xx 10 x 94 xx 143 xx 18 00 2 00 143 xx 9132 xxx 8121 xxx 711 xx 6 x 105 xx 154 xx 根据已知条件 可以建立整数规划数学模型 略 用 lingo 求解得程序为 min x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x4 x5 x11 x15 18 x7 x8 18 x1 x2 x6 x7 18 x1 x5 x11 x12 20 x4 x5 x6 x7 x11 x15 20 x3 x4 x6 x10 x14 x15 20 x9 x10 x13 x14 20 x8 x9 20 x2 x3 x7 x8 20 x1 x2 x12 x13 20 x1 x5 x7 x8 x11 x12 19 x4 x5 x6 x7 x11 x15 19 x10 x11 x14 x15 19 x9 x10 19 x3 x4 x8 x9 19 x2 x3 x13 x14 19 x6 x7 x11 x15 17 x10 x6 17 x3 x4 x14 x15 17 x3 x14 12 x2 x3 x9 12 8 x1 x12 x8 12 x7 x11 12 x6 12 x5 x10 12 x4 x15 12 x8 x12 12 x7 12 x5 x11 12 s1 x1 x2 x3 x4 x5 运行结果 Global optimal solution found Objective value 105 0000 Total solver iterations 17 Variable Value Reduced Cost X1 2 000000 0 000000 X2 11 00000 0 000000 X3 12 00000 0 000000 X4 0 000000 0 000000 X5 7 000000 0 000000 X6 12 00000 0 000000 X7 12 00000 0 000000 X8 6 000000 0 000000 X9 14 00000 0 000000 X10 5 000000 0 000000 X11 5 000000 0 000000 X12 6 000000 0 000000 X13 1 000000 0 000000 X14 0 000000 0 000000 X15 12 00000 0 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 105 0000 1 000000 2 6 000000 0 000000 3 0 000000 0 000000 4 19 00000 0 000000 5 0 000000 0 000000 6 28 00000 0 000000 7 21 00000 0 000000 8 0 000000 0 000000 9 0 000000 1 000000 10 21 00000 0 000000 11 0 000000 1 000000 12 19 00000 0 000000 13 29 00000 0 000000 14 3 000000 0 000000 15 0 000000 0 000000 16 13 00000 0 000000 17 5 000000 0 000000 9 18 24 00000 0 000000 19 0 000000 1 000000 20 7 000000 0 0000