陕西省西北工业大学附中2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）

1 陕西省西北工业大学附中陕西省西北工业大学附中 2019 20202019 2020 学年高一数学上学期期中试题学年高一数学上学期期中试题 含解析 含解析 一 选择题 共一 选择题 共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 1 设集合 则下列关系中正确的是 5 ax x 5m a b c d ma ma ma ma 答案 c 解析 分析 根据元素与集合之间的关系 即可求出结果 详解 由题意可知 所以 故选 c 55 ma 点睛 本题主要考查了元素与集合之间的关系 2 设集合 a 1 3 5 若 f x 2x 1 是集合 a 到集合 b 的映射 则集合 b 可以是 a 0 2 3 b 1 2 3 c 3 5 d 3 5 9 答案 d 解析 试题分析 1 的映射为 3 3 的映射为 5 5 的映射为 9 因此集合 b 必含有 3 5 9 因此 d 正确 考点 映射 3 在下列四组函数中 与表示同一函数的是 f x g x a 1f xx 2 1 1 x g x x b 1f xx 11 11 xx g x xx c 1f x 0 1g xx d 2 f xx 2 g xx 2 答案 b 解析 分析 根据同一函数的要求 两个函数的定义域和对应法则应相同 对四个选项中的两个函数分 别进行判断 得到答案 详解 两个函数如果是同一函数 则两个函数的定义域和对应法则应相同 选项中 定义域为 的定义域为 所以二者不是同 a f x r g x 11 一函数 选项中 与定义域相同 对应法则也相同 所 b 11 1 11 xx f xx x x g x 以二者是统一函数 选项中 定义域为 的定义域为 所以二者不是同 c f x r g x 11 一函数 选项中定义域为 的定义域为 所以二者不是同一函数 d f x r g x 0 故选 b 点睛 本题考查两个函数为同一函数的判断 属于简单题 4 设 则 1 2 log 3a 0 2 1 3 b 1 3 2c a b c d bac cba cab abc 答案 d 解析 分析 先分析得到 再比较 b c 的大小关系得解 a0 b0 c0 详解 由题得 11 22 log 3log 10 0 0abc 0 20 11 1 33 b 1 0 3 221c 3 所以 abc 故选 d 点睛 本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质 意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平 属于基础题 5 我国古代数学名著 孙子算经 其中记载了这样一个 物不知数 的问题 今有物不 知数 三三数之剩二 五五数之剩三 七七数之剩二 问物几何 此问题及其解題原理 在世界上颇负盛名 中外数学家们称之为 孙子定理 中国剩余定理 或 大衍求一术 等 对以上 物不知数 的问题 现有如下表示 已知 32 nax xnn 若 则整数 53 bx xnnn 72 ncx xnn xabc 的最小值为 x a b c d 1281273723 答案 d 解析 分析 方法一 将选项 a b c d 逐个代入集合进行检验 即可得到结果 a b c 方法二 根据 三三数之剩二 五五数之剩三 七七数之剩二 以及和集合 32 nax xnn 53 bx xnnn 找到三个数 第一个数能同时被 3 和 5 整除 第二个数能 72 ncx xnn 同时被 3 和 7 整除 第三个数能同时被 5 和 7 整除 将这三个数分别乘以被 7 5 3 除的 余数再相加即可求出结果 详解 方法一 将选项 a b c d 逐个代入集合逐个检验 可知 23 是最小整 a b c 数 故选 d 方法二 首先需要先求出三个数 第一个数能同时被 3 和 5 整除 但除以 7 余 1 即 15 第二个数能同时被 3 和 7 整除 但除以 5 余 1 即 21 第三个数能同时被 5 和 7 整除 但除以 3 余 1 即 70 然后将这三个数分别乘以被 7 5 3 除的余数再相加 即 15 221 370 2233 4 最后 再减去 3 5 7 最小公倍数的若干倍 即 故选 d 233 105 223 点睛 本题考查的是带余数的除法 和集合的交集运算 根据题意求出 15 21 70 这三 个数是解答此题的关键 6 函数的定义域为 2 56 4 lg 3 xx f xx x a b c d 2 3 2 4 2 3 3 4 1 3 3 6 答案 c 解析 分析 函数表达式中含有绝对值及对数 分别求出满足的条件 详解 要使函数有意义 应满足 f x 2 40 56 0 3 x xx x 则 且 4 203 x xx 且 24x 3x 所以的定义域为 f x 2 33 4 故选c 点睛 本题主要考查了函数的定义域及其求法 找出题目中的限制条件 有根号的要满 足根号内大于或等于零 有对数的要满足真数位置大于零 7 已知方程的两根为 则 2 ln ln4ln3 ln2ln2 ln30 xx 1 x 2 x 12 xx a b c d ln12 2ln2 ln3 1 1212 答案 c 解析 分析 对方程分解为 可求 2 ln ln4ln3 ln2ln2 ln30 xx lnln4lnln30 xx 出 即可求出的值 1 x 2 x 12 xx 5 详解 将原方程因式分解为 所以或 lnln4lnln30 xx lnln4x 所以或 所以 故选 c lnln3x 1 1 4 x 2 1 3 x 12 xx 1 12 点睛 本题主要考查了对数的运算 属于基础题 8 函数为偶函数 则下列关于函数的说法正确的是 yf xa yf x a 关于直线对称b 关于直线对称 xa xa c 关于点中心对称d 关于点中心对称 0a 0a 答案 a 解析 分析 根据偶函数定义 可得 然后再根据函数的对称性定义 即可得出 f xafxa 结果 详解 因为为偶函数 所以 所以函数 yf xa f xafxa 关于直线对称 故选 a yf x xa 点睛 本题考查函数的奇偶性和对称性 熟练掌握函数对称性定义是解题的关键 属于 基础题 9 在函数 的图象上有一点 此函数与x轴 直线及 1 1yx x p t t 1x 围成图形如图阴影部分的面积为s 则s与t的函数关系图可表示为 xt a b c d 6 答案 b 解析 分析 可列出s与t的函数关系式 再根据解析式判定函数图像 详解 因为 所以其对应图象为 b 2 2 11 10 22 11 01 22 tt s tt 故选 b 点睛 本题考查函数解析式以及函数图象 考查基本分析判断与求解能力 属基础题 10 设奇函数在递减 且 则的解为 f x 0 2019 0f 0 f xfx x a b 02019 2019 0 2019 c d 2019 2019 2019 0 0 2019 答案 d 解析 分析 根据奇函数的单调性以及 可得出函数在的函数值为正 在 2019 0f f x 0 2019 上的函数值为负 再利用奇函数的性质对不等式进行化简 解出不等式的解集 2019 0 即可得出结果 详解 因为是奇函数 所以 又奇函数在 f x 00 f xfxf x xx f x 递减 所以函数在和上递减 又因为 所以 0 f x 0 0 2019 0f 7 时 时 所以的解为 0 2019x 0f x 2019 0 x 0f x 0 f x x 故选 d 2019 00 2019 点睛 本题考查函数单调性与奇偶性的综合应用 解题的关键是利用函数的奇偶性与单 调性对函数值的符号作出正确判断 对不等式的分类化简也很重要 本题考查了转化的思 想及推理判断的能力 有一定的综合性 是高考考查的重点 11 函数的图象如图所示 则函数的单调减区间是 yf x r x ln g xfx a b c d 1 0 e 1 1 e 1 和 1 0 e 1 答案 b 解析 分析 欲求函数的单调减区间 设 即求使函数为增 ln g xfx ln0 x x f 函数的相应的的取值范围 根据复合函数单调性的定义和函数图像 即可求出结果 x 详解 设 则原函数是函数 ln0 x x ln g xfx 的复合函数 因在上是减函数 根据复 ln0yfx x ln x 0 合函数的单调性 可知函数的单调减区间是函数的单调增区间 ln g xfx yf 根据图象可知 故选 b 1 0ln 2 x 1 1x e 点睛 本题考查复合函数的单调性 对数函数的单调性 以及考生的数形结合能力 熟 8 练掌握复合函数的单调性的判断方法是解题的关键 12 任意时 恒成立 函数单调 则 tr 1 2ff t t yf t 1 2019 f a b c d 20202019 1 2020 1 2019 答案 a 解析 分析 设 根据单调函数 以及可知 当时 1 mf t t yf t 1 2ff t t 2f m 的值是唯一的 又 所以 求出的值 进而求出 m 1 f tm t 1 2f mm m m 的解析式 即可求出结果 yf t 详解 设 则 因为单调函数 所以的解 1 mf t t 2f m yf t 2f m 是唯一的 又 所以 所以 所以 m 1 f tm t 1 2f mm m 1m 1 1f t t 所以 故选 a 1 2020 2019 f 点睛 本题考查了函数单调性含义及应用 本题理解函数单调性的含义是解题的关键 本题属于中档题 二 填空题 二 填空题 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 函数的图象过定点 则点坐标为 5 36 x f x aa 答案 5 7 解析 分析 令指数部分为 进而求出相应的值 可得定点坐标 0 x y 详解 当 即时 故点坐标为 故答案为 50 x 5x 51 67f a 5 7 9 5 7 点睛 本题考查了指数函数图象过定点问题 属于基础题 14 函数的单调递减区间是 2 ln4f xxx 答案 4 解析 分析 令 求得函数的定义域以及的单调性 由在上 2 40txx 2 4txx lnyx 0 单调递增 再根据复合函数的单调性即可求出结果 详解 令 故函数的定义域为 函数在 2 40txx 40 2 4txx 上单调递减 又在上单调递增 根据复合函数的单调性可知函数 4 lnyx 0 的单调递减区间是 故答案为 2 ln4f xxx 4 4 点睛 本题主要考查复合函数的单调性 对数函数的性质 体现了转化的数学思想 属 于基础题 15 已知函数在上为奇函数 且当时 当 yf x r0 x 2ln 1 f xxx 时 0 x f x 答案 2 ln 1 xx 解析 分析 当时 利用是奇函数 求出解析式即可 0 x 0 x f x fxf x 详解 当时 因为是奇函数 所以 0 x 0 x f x fxf x 所以 故答案为 2ln2ln 1 1 f xfxxxxx 2ln 1 xx 点睛 本题主要考查了函数解析式的求法和奇函数的性质 属于基础题 10 16 若函数 若 则实数 的取值范围是 2 1 2 log 0 log 0 x x f x x x 21 1 2 ftft t 答案 1 1 2 0 解析 分析 首先作出函数的图象 然后再根据图象和函数的单调性对不等式 2 1 2 log 0 log 0 x x f x x x 进行分类讨论 即可求出结果 21 1 2 ftft 详解 作出函数的图象 如下图 2 1 2 log 0 log 0 x x f x x x 由图像可知 若 则 即 此时无解 21 1 2 ftft 021 1 2tt t 若 则 即 此时无解 21 1 2 ftft 21 1 20tt t 若 则 即 21 1 2 ftft 211 1 21 t t 0t 若 则 即 21 1 2 ftft 021 1 1 1 20 t t 1 1 2 t 11 综上所述 1 1 2 0 t 故答案为 1 1 2 0 点睛 本题主要考查了函数的单调性在解不等式中的应用 同时考查了数形结合思想和 分类讨论思想 属于中档题 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 1 化简 2 lg25lg2 lg50lg 2 2 已知 用 表示 lg2a 103 b ab2 log45 答案 1 2 2 12 2 ab a 解析 分析 1 根据对数的运算性质即可求出结果 2 首先根据指数与对数的关系可得 然后再对化简 可得 lg3b 2 log45 2 log45 将 分别用代入 即可求出结果 1 lg22lg3 2lg2 lg2lg3 a b 详解 1 原式 2 2lg5lg2 1 lg5 lg2 2 2lg5lg2lg2lg5 lg2 lg5 1 lg2 lg5lg2 lg5 1 lg2 2 2 lg2a lg3b 2 lg45 log45 lg2 1 lg5lg9 2 lg2 1 lg22lg3 2lg2 12 2 ab a 点睛 本题主要考查了对数的运算的基本性质 属于基础题 12 18 设全集 u r r 集合a x 1 x 3 b x 2x 4 x 2 1 求 u a b 2 若集合c x 2x a 0 满足b c c 求实数a的取值范围 答案 1 u a b x x 2 或x 3 2 a 4 解析 试题分析 1 求出集合 b 中不等式的解集确定出集合 b 求出集合 a 与集合 b 的公共解 集即为两集合的交集 根据全集为 r 求出交集的补集即可 2 求出集合 c 中的不等式的解集 确定出集合 c 由 b 与 c 的并集为集合 c 得到集合 b 为集合 c 的子集 即集合 b 包含于集合 c 从而列出关于 a 的不等式 求出不等式的解集 即可得到 a 的范围 解 1 由集合 b 中的不等式 2x 4 x 2 解得 x 2 b x x 2 又 a x 1 x 3 a b x 2 x 3 又全集 u r u a b x x 2 或 x 3 2 由集合 c 中的不等式 2x a 0 解得 x c x x b c c b c 2 解得 a 4 故 a 的取值范围为 4 考点 补集及其运算 集合的包含关系判断及应用 交集及其运算 19 已知 2xf x 1 1 2 1 xx g x x x 1 求与 2 f g 2 g f 2 求与的表达式 f g x g f x 答案 1 2 2 2f g 2 3g f 1 2 21 21 x x x f g x x 13 210 220 x x x g f x x 解析 分析 1 根据函数的定义域 将自变量代入函数解析式即可求出结果 2 利用代入法 即可求与的解析式 代入的时候要注意函数的定义 f g x g f x 域 详解 1 2 1g 2 4f 2 2f g 2 3g f 2 1 2 21 2 21 x g x x x f g x x 1 1 2 1 f xf x g f x f xf x 210 220 x x x x 点睛 本题考查函数值的求法和解析式求法 属于基础题 20 已知函数 1 ln 1 ax f x ax 0 a 1 求函数的定义域 yf x 2 判断时函数单调性并用定义证明 0a yf x 答案 1 答案不唯一 见解析 2 在单调递增 见解析 11 aa 解析 分析 1 由题意可知 可得 对进行分类讨论即可求出结果 1 0 1 ax ax 1 1 0axax a 2 设 求出 然后再化简分析 12 11 xx aa 12 12 21 11 ln 11 axax f xf x axax 即可求出结果 详解 1 1 0 1 ax ax 1 1 0axax 14 当时 0a 11 xx aa 当时 0a 11 xx aa 2 证明 设 12 11 xx aa 则 12 12 12 11 lnln 11 axax f xf x axax 12 21 11 ln 11 axax axax 12 11 xx aa 0a 12 011axax 21 011axax 即 12 21 11 01 11 axax axax 12 21 11 ln0 11 axax axax 即 在单调递增 12 0f xf x 12 f xf x yf x 11 aa 点睛 本题考查了对数函数的定义域和用定义法证明函数的单调性 属于中档题 21 已知函数 f xx x 1 画出图象并直接写出单调区间 yf x 2 证明 3 3 ff xafxa 3 不等式 对任意恒成立 求实数的取值范围 4 9 0f xf xa 3 1 x a 答案 1 图见解析 在上单调递增 2 见解析 3 5a 解析 分析 1 可将函数解析式化为分段函数 进而画出函数的图象 2 分别求出 化简 左右相等 即可证明结果 3 3 ff xafxa 3 由 2 可知 由图像可知 4 9 f xf xa 2 3 0fxfxa 是奇函数 原恒等式转化为 再根据图像可函数是单调递 yf x 2 3 fxfax 增函数 可得 恒成立 由此即可求出结果 23 xax 3 1 x 15 详解 1 如图 在上单调递增 2 3 9 ff xaxaxa 3 3 3 fxaxaxa 9 xaxa 3 3 ff xafxa 3 4 9 f xf xa 2 3 0f