（江苏版）2020年中考数学热点专题冲刺2 规律探究问题

热点专题热点专题 2 2 规律探究问题规律探究问题 规律探究型问题是中考数学中的常考问题 题目数量一般是一个题 各种题型都有可 能出现 一般多以选择题或者填空题中的压轴题形式出现 主要命题方式有数式规律 图 形变化规律 点的坐标规律等 基本解题思路 从简单的 局部的 特殊的情形出发 通 过分析 比较 提炼 发现其中规律 进而归纳或猜想出一般结论 最后验证结论的正确 性 探索规律题可以说是每年中考的必考题 预计 2020 年中考数学中仍会作为选择题或填 空题的压轴题来考察 所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的 能够理解并且运用符号表示数 数量关系和变化规律 学会通过通过观察 猜想 归纳 总结有关实数 代数式 图形 坐标 等相关的规律问题 中考 要求 通过合情推理探索数学结论 运用演绎推理加以证明的过程 在多种形 式的数学活动中 发展合情推理与演绎推理的能力 考向考向 1 图形设计规律探究图形设计规律探究 1 2019 江苏省徐州市 阅读理解 用的矩形瓷砖 可拼得一些长度不同但宽度均为的图案 已知长度为1020cmcm 20cm 的所有图案如下 10cm20cm30cm 尝试操作 如图 将小方格的边长看作 请在方格纸中画出长度为的所有图案 10cm40cm 归纳发现 观察以上结果 探究图案个数与图案长度之间的关系 将下表补充完整 图案的长度10cm20cm30cm40cm50cm60cm 所有不同图案的个数 123 答案 如图 5 解析 如图 根据作图可知时 所有图案个数 5 个 40cm 时 所有图案个数 8 个 50cm 时 所有图案个数 13 个 60cm 故答案为 5 8 13 考向考向 2 图形性质规律探究图形性质规律探究 1 2019 江苏省扬州市 如图 在 abc中 ab 5 ac 4 若进行以下操作 在边bc上 从左到右依次取点d1 d2 d3 d4 过点d1作ab ac的平行线分别交ac ab于点 e1 f1 过点d1作ab ac的平行线分别交ac ab于点e2 f2 过点d3作ab ac的平行 线分别交ac ab于点e3 f3 则 4 d1e1 d2e2 d2019e2019 5 d1f1 d2f2 d2019f2019 答案 40380 解析 d1f1 ac d1e1 ab 即 ab 5 bc 4 4d1e1 5d1f1 20 同理 4d2e2 5d2f2 20 4d2019e2019 5d2019f2019 20 4 d1e1 d2e2 d2019e2019 5 d1f1 d2f2 d2019f2019 20 2019 40380 故答案为 40380 2 2019 江苏省连云港市 问题情境 如图 1 在正方形abcd中 e为边bc上一点 不与 点b c重合 垂直于ae的一条直线mn分别交ab ae cd于点m p n 判断线段 dn mb ec之间的数量关系 并说明理由 问题探究 在 问题情境 的基础上 1 如图 2 若垂足p恰好为ae的中点 连接bd 交mn于点q 连接eq 并延长交边 ad于点f 求 aef的度数 2 如图 3 当垂足p在正方形abcd的对角线bd上时 连接an 将 apn沿着an翻折 点p落在点p 处 若正方形abcd的边长为 4 ad的中点为s 求p s的最小值 问题拓展 如图 4 在边长为 4 的正方形abcd中 点m n分别为边ab cd上的点 将正 方形abcd沿着mn翻折 使得bc的对应边b c 恰好经过点a c n交ad于点f 分别过点 a f作ag mn fh mn 垂足分别为g h 若ag 请直接写出fh的长 解析 解 线段dn mb ec之间的数量关系为 dn mb ec 理由如下 四边形abcd是正方形 abe bcd 90 ab bc cd ab cd 过点b作bf mn分别交ae cd于点g f 如图 1 所示 四边形mbfn为平行四边形 nf mb bf ae bge 90 cbf aeb 90 bae aeb 90 cbf bae 在 abe和 bcf中 abe bcf asa be cf dn nf cf be ec dn mb ec 问题探究 解 1 连接aq 过点q作hi ab 分别交ad bc于点h i 如图 2 所示 四边形abcd是正方形 四边形abih为矩形 hi ad hi bc hi ab ad bd是正方形abcd的对角线 bda 45 dhq是等腰直角三角形 hd hq ah qi mn是ae的垂直平分线 aq qe 在 rt ahq和 rt qie中 rt ahq rt qie hl aqh qei aqh eqi 90 aqe 90 aqe是等腰直角三角形 eaq aeq 45 即 aef 45 2 连接ac交bd于点o 如图 3 所示 则 apn的直角顶点p在ob上运动 设点p与点b重合时 则点p 与点d重合 设点p与点o重合时 则点p 的落点为 o ao od aod 90 oda ado 45 当点p在线段bo上运动时 过点p作pg cd于点g 过点p 作p h cd交cd延长线于 点h 连接pc 点p在bd上 ap pc 在 apb和 cpb中 apb cpb sss bap bcp bcd mpa 90 pcn amp ab cd amp pnc pcn pnc pc pn ap pn pna 45 pnp 90 p nh png 90 p nh np h 90 png npg 90 npg p nh png np h 由翻折性质得 pn p n 在 pgn和 nhp 中 pgn nhp asa pg nh gn p h bd是正方形abcd的对角线 pdg 45 易得pg gd gn dh dh p h p dh 45 故 p da 45 点p 在线段do 上运动 过点s作sk do 垂足为k 点s为ad的中点 ds 2 则p s的最小值为 问题拓展 解 延长ag交bc于e 交dc的延长线于q 延长fh交cd于p 如图 4 则eg ag ph fh ae 5 在 rt abe中 be 3 ce bc be 1 b ecq 90 aeb qec abe qce 3 qe ae aq ae qe ag mn agm 90 b mag eab agm abe 即 解得 am 由折叠的性质得 ab eb 3 b b 90 c bcd 90 b m ac 1 bad 90 b am c fa afc mab 解得 af df 4 ag mn fh mn ag fh aq fp dfp daq 即 解得 fp fh fp 考向考向 3 与坐标有关规律探究与坐标有关规律探究 1 1 2019 江苏省连云港市 如图 将一等边三角形的三条边各 8 等分 按顺时针方向 图 中箭头方向 标注各等分点的序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 将不同边上的序号和为 8 的两点依次连接起来 这样就建立了 三角形 坐标系 在建立的 三角形 坐标系内 每一点的坐标用过这一点且平行 或重合 于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来 表示 水平方向开始 按顺时针方向 如点a的坐标可表示为 1 2 5 点b的坐标可 表示为 4 1 3 按此方法 则点c的坐标可表示为 分析 根据点a的坐标可表示为 1 2 5 点b的坐标可表示为 4 1 3 得到经过 点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数 依次为左 右 下 即为该点的坐标 于是得到结论 解答 根据题意得 点c的坐标可表示为 2 4 2 故答案为 2 4 2 点评 本题考查了规律型 点的坐标 等边三角形的性质 找出题中的规律是解题的关 键 2 2019 山东省菏泽市 在平面直角坐标系中 一个智能机器人接到的指令是 从原点o 出发 按 向上 向右 向下 向右 的方向依次不断移动 每次移动 1 个单位长度 其 移动路线如图所示 第一次移动到点a1 第二次移动到点a2 第n次移动到点an 则点 a2019的坐标是 a 1010 0 b 1010 1 c 1009 0 d 1009 1 答案 c 解析 分析根据图象可得移动 4 次图象完成一个循环 从而可得出点a2019的坐标 a1 0 1 a2 1 1 a3 1 0 a4 2 0 a5 2 1 a6 3 1 2019 4 504 3 所以a2019的坐标为 504 2 1 0 则a2019的坐标是 1009 0 故选 c 2 2019 湖南省娄底市 如图 在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中 曲线是由半径为 2 米 圆心角为的弧ab多次复制并首尾连接而成 现有一点从为坐标原点 120 p a a 出发 以每秒米的速度沿曲线向右运动 则在第 2019 秒时点的纵坐标为 2 3 p a b c 0d 12 1 答案 b 解析 点运动一个弧ab用时为秒 12022 2 1803 如图 作于 与弧ab交于点 cdab de 在中 rt acd 90adc 1 60 2 acdacb 30cad 11 21 22 cdac 211dececd 第 1 秒时点运动到点 纵坐标为 1 pe 第 2 秒时点运动到点 纵坐标为 0 pb 第 3 秒时点运动到点 纵坐标为 pf1 第 4 秒时点运动到点 纵坐标为 0 pg 第 5 秒时点运动到点 纵坐标为 1 ph 点的纵坐标以 1 0 0 四个数为一个周期依次循环 p1 201945043 第 2019 秒时点的纵坐标为是 故选 p1 b 3 2019 湖南省张家界市 如图 在平面直角坐标系中 将边长为 1 的正方形oabc绕点o 顺时针旋转 45 后得到正方形oa1b1c1 依此方式 绕点o连续旋转 2019 次得到正方形 oa2019b2019c2019 那么点a2019的坐标是 a b 1 0 c d 0 1 答案 a 解析 四边形oabc是正方形 且oa 1 a 0 1 将正方形oabc绕点o逆时针旋转 45 后得到正方形oa1b1c1 a1 a2 1 0 a3 发现是 8 次一循环 所以 2019 8 252 余 3 点a2019的坐标为 故选 a 4 2019 山东省潍坊市 如图所示 在平面直角坐标系xoy中 一组同心圆的圆心为坐标 原点o 它们的半径分别为 1 2 3 按照 加 1 依次递增 一组平行线 l0 l1 l2 l3 都与x轴垂直 相邻两直线的间距为l 其中l0与y轴重合若半径为 2 的圆与l1在第一象限内交于点p1 半径为 3 的圆与l2在第一象限内交于点p2 半径 为n 1 的圆与 ln在第一象限内交于点pn 则点pn的坐标为 n为正整数 答案 a 解析 连接op1 op2 op3 l1 l2 l3与x轴分别交于a1 a2 a3 如图所示 在 rt oa1p1中 oa1 1 op1 2 a1p1 同理 a2p2 a3p3 p1的坐标为 1 p2的坐标为 2 p3的坐标为 3 按照此规律可得点pn的坐标是 n 即 n 故答案为 n 考向考向 4 与函数有关的规律与函数有关的规律 1 2019 山东省淄博市 如图 是分别以 11 oab 122 a a b 233 a a b 1 a 2 a 为直角顶点 一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形 其斜边的中点 3 a x 11 c x 均在反比例函数的图象上 则 1 y 22 cx 2 y 33 c x 3 y 4 0 yx x 的值为 1210 yyy a b 6c d 2 104 22 7 答案 a 解析 过 分别作轴的垂线 垂足分别为 1 c 2 c 3 c x 1 d 2 d 3 d 其斜边的中点在反比例函数 即 1 c 4 y x 2 2 c 1 2y 111 2odd a 设 则 此时 代入得 12 ada 22 c da 2 4 ca a 4 y x 4 4aa 解得 即 2 22a 2 2 22y 同理 3 2 32 2y 4 2 42 3y 1210 22 222 32 22 102 92 10yyy 故选 a 2 2019 山东省德州市 如图 点 在反比例函数的图象上 点 1 a 3 a 5 a 0 k yx x 在反比例函数的图象上 2 a 4 a 6 a 0 k yx x 且 则为正整数 的纵坐标为 12123234 60oa aa a aa a a 1 2oa n a n 用含的式子表示 n 答案 a 解析 过a1作a1d1 x轴于d1 oa1 2 oa1a2 60 oa1e是等边三角形 a1 1 k y 和y 过a2作a2d2 x轴于d2 a2ef a1a2a3 60 a2ef是等边三角形 设a2 x 则a2d2 rt ea2d2中 ea2d2 30 ed2 od2 2 x 解得 x1 1 舍 x2 1 ef 2 1 2 2 a2d2 即a2的纵坐标为 过a3作a3d3 x轴于d3 同理得 a3fg是等边三角形 设a3 x 则a3d3 rt fa3d3中 fa3d3 30 fd3 od3 2 2 2 x 解得 x1 舍 x2 gf 2 2 2 a3d3 即a3的纵坐标为 an n为正整数 的纵坐标为 1 n 1 故答案为 1 n 1 3 2019 山东省东营市 如图 在平面直角坐标系中 函数y x和y x的图象 分别为直线l