必修5第二章第1节正弦定理与余弦定理(理).doc

年 级高二学 科数学版 本北师大版（理）内容标题必修5 第二章 第1节 正弦定理与余弦定理 编稿老师胡居化【本讲教育信息】一. 教学内容： 必修5 正弦定理、余弦定理二、教学目标（1）熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。（2）在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。三、知识要点分析1、正弦定理的有关知识（设ABC的所对的边是a，b，c，外接圆半径是R）正弦定理：， 由正弦定理得（i） （ii）。正弦定理应用：（1）已知一边和两角求其余的边和角。（2）已知两边和其中一边对角求其余边角。其解的情况不唯一。 A为锐角A为直角或钝角关系式a=bsinAbsinAab解的个数一解两解一解一解2、三角形的面积公式 （1）（ha是a边上的高）（2）。 （3） 3、余弦定理的有关知识。（设） 余弦定理： 余弦定理应用：（1）已知三边求角，（2）已知两边及其夹角求其余的边和角。【典型例题】考点一：利用正弦定理、余弦定理求三角形的边和角 例1、在B=45，求A，C和c。【思路分析】本题是已知三角形的两边及一边的对角解三角形问题，可用正弦定理求解，但要先判定ABC是否有解？有几解？也可用余弦定理求解。解法（一）：B=45且ba，ABC有两解解法（二）：由余弦定理得： 故A=60A=120【说明】本例的特点是已知两边和其中的一边对角解三角形的问题，三角形不固定需要讨论解的个数，充分体现了分类讨论的数学思想。考点二：利用正弦定理、余弦定理求角或边等变量的取值范围问题 例2、在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c（1）若cosA=，求bc的最大值。（2）若三边a，b，c成等比数列，求证B. 【思路分析】（1）由cosA=，及余弦定理得到b，c的关系。利用不等式可证。 （2）由a，b，c成等比数列及余弦定理可得cosB即得证。 解：（1）， ，故当b=c时，bc的最大值是。（2）由a，b，c成等比数列得：，而 ，（a=c时等号成立） 又。例3、已知三角形ABC的外接圆的直径是1，A,B,C依次成等差数列，且角A，B，C所对的边分别是a，b，c，求的取值范围。【思路分析】由三内角成等差数列得B=60，故可设A=60，然后把表示成关于的三角函数，转化为求三角函数的值域问题。 解：由角A，B，C成等差数列得：2B=A+C，即B=60，故设 由正弦定理得：a=2RsinA=sinA，c=2RsinC=sinC 考点三：三角形面积公式的应用例4、在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形的面积是S，求证：，（海伦公式） 【思路分析】利用余弦定理求出cosA，再求sinA，利用三角形的面积公式 S=，然后化简即可。 解： ，把代入此式得：故S=bcsinA=例5、已知三角形的三内角A，B，C依次成等差数列，又知最大角和最小角的正切值是方程的两个根，三角形的面积是，求这个三角形的三个角和三条边。 【思路分析】根据三内角成等差数列可知：B=60，由此可知A，C是最小角，最大角。 由tanA，tanC是方程的两根可求A，C. 然后根据三角形的面积和正弦定理或余弦定理可求得三边。 解：由已知：B=60，tanA，tanC是方程的两根， 且ABC，故tanA=1，tanC=. 由-（1）由正弦定理-（2）（1）（2）两式联立解得： 再由正弦定理或余弦定理可求得： 考点四：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状。例6、在三角形ABC中，若成立，判断三角形ABC的形状。 【思路分析】方法（一）由已知可以利用正弦定理或余弦定理把角转换成边。再根据边的关系判断。 方法（二）利用正弦定理或余弦定理把边转换成角，再根据角的关系判断。 解：方法（一）：由已知得：-（*） 由正弦定理或余弦定理（*）可化为： 故 即：，因此三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。 方法（二）由正弦定理把已知条件化为： 2A=2B或2A= 故三角形ABC是等腰三角形或直角三角形。例7、在ABC中，判断三角形的形状。【思路分析】利用正、余弦定理把角转换成边或利用正弦倍角、和差化积公式，得到角的关系，根据角的关系再来判断。 解：由正、余弦定理得： ，即三角形ABC是直角三角形。另解：由已知得：A=90，即三角形ABC是直角三角形。【本讲涉及的数学思想、方法】：本讲主要讲述正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用。在解题过程中充分体现了等价转换的数学思想（如边角的转换）和分类讨论的数学思想（三角形的解的个数讨论），函数与方程的数学思想（正弦定理余弦定理视为方程处理问题）等在解题中的应用。预习导学案(三角形中的几何计算及实际应用举例)一、预习前知：1. 在直角三角形中，两锐角的关系是什么？三边之间有何关系？边和角之间有何关系？2. 在等边三角形中：三角的关系是什么？三边有何关系？3. 在任意的三角形中：（1）三边有何关系？（2）若边大，则边所对的角大，反之成立吗？（3）反映三角形的边角等量关系的两个重要的定理是 和 。二、预习导学探究反思探究反思的任务：三角形中的几何计算及实际应用。1. 已知三角形的两边和其夹角用余弦定理，求第三边，写出余弦定理的三个表达式【反思】（1）已知三角形的三边能求出三个角吗？（2）给出三角形的三边能判断出三角形是钝角三角形，是锐角三角形，是直角三角形吗？2. 已知三角形的两边和其中一边的对角或已知三角形的两个角和任意一边用正弦定理【反思】在使用正弦定理解三角形时，在哪一种情况下解是不唯一的？3. 在利用正弦定理或余弦定理等相关知识解决实际问题时一：要掌握几种角（1）俯角，（2）仰角，（3）方位角二：根据已知条件画出图形（已有图形无需画）三：在图形中要找出相应的边和角，便于正确的使用正弦定理或余弦定理，建立三角函数模型解决问题。4. 三角形的面积公式有哪些？（写出5个） 5. 三角形有六个元素：三条边，三个角，在已知条件中，要求出三角形的三条边和三个角，这一过程称为解三角形【反思】请总结一下你可以用哪些定理和公式来求出三角形的三条边和三个角。【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、选择题1、在ABC中，a=8，B=60，C=75，则b=（ ） A. B. C. D. 2、在ABC中，A=120,则a=（ ） *3、在ABC中，若（ ）A、直角三角形B、等边三角形C、直角或等腰三角形D、等腰三角形*4、设三角形ABC三边a，b，c的关系是，则最大角是（ ）A、60B、120C、90D、45*5、在三角形AOB中，（O是坐标原点），（2cos，2sin）， 则SAOB=（ ）*6、在三角形ABC中，BC=3，则三角形ABC的周长是（ ） *7、在三角形ABC中，B=30，则三角形ABC的面积是 （ ）*8、在三角形ABC中，若，则（ ）A、B、C、D、*9、在三角形ABC中，若AB=1，BC=2，则C的范围是（ ）A、B、C、D、*10、 在三角形ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（A-C）=1，则有（ ）A、a，b，c成等比数列，B、a，b，c成等差数列C、a，c，b成等比数列， D、a，c，b成等差数列二、填空题*11、在三角形ABC中，=_。*12、在三角形ABC中，A=60，b=1，SABC=_. 13、在三角形ABC中，则角C=-14、已知方程且a,b是三角形ABC的两边，三角形ABC两边所对的角，则ABC的形状是（ ）15、在三角形ABC中，边a比边b长2，边b比边c长2，且最大角的正弦值为，则三角形ABC的面积是_（ ）三、计算题：*16、在三角形ABC中，若，判断三角形的形状。17、已知三角形ABC的周长是，（1）求边AB的长，（2）若三角形ABC的面积是，求角C的度数。*18，已知圆的半径是R，在其内接三角形ABC中，有，求三角形ABC的面积S的最大值。【试题答案】一、选择题：1、C 2、A 3、D 4、D 5、B. 6、D 7、D 8、C 9、A 10、A.二、填空题：11、0 12、 13