（新课标）2020版高考物理大二轮复习 专题三 动量和能量 第二讲 电磁学中的动量和能量问题教学案

1 第二讲第二讲 电磁学中的动量和能量问题电磁学中的动量和能量问题 知识建构 备考点睛 注 1 注 2 详见答案部 分 1 两种常考题型 1 带电粒子在电场和磁场中的 碰撞问题 2 电磁感应中 导轨 棒 模 型 2 三大观点 动力学 动量 能量观点是解 决力电综合问题的首选方法 答案 1 动量定理 动能定理 2 动量定理 动能定理 动量守恒定律 能量守恒定律 功能关系 热点考向一 电场中的动量和能量问题 2 典例 2019 太原一模 如右图所示 lmn是竖直平面内固定的光滑绝缘轨道 mn水平且足够长 lm下端与mn相切 质量为m的带正电小球b静止在水平面上 质量为 2m的带正电小球a从lm上距水平面高为h处由静止释放 在a球进入水平轨道之前 由 于a b两球相距较远 相互作用力可认为零 a球进入水平轨道后 a b两球间相互作用 视为静电作用 带电小球均可视为质点 已知a b两球始终没有接触 重力加速度为g 求 1 a球刚进入水平轨道的速度大小 2 a b两球相距最近时 a b两球系统的电势能ep 3 a b两球最终的速度va vb的大小 思路引领 1 a球下滑过程满足机械能守恒条件 2 a球进入水平轨道 a b球组成的系统所受合外力为零 动量守恒 当两球最近时 速度相等 3 两球距离足够远时 相互作用力为零 系统电势能为零 解析 1 对a球下滑的过程 据机械能守恒得 2mgh 2mv 1 22 0 解得v0 2gh 2 a球进入水平轨道后 两球组成的系统动量守恒 当两球相距最近时共速 有 2mv0 2m m v 解得v v0 2 3 2 3 2 gh 据能量守恒定律得 2mgh 2m m v2 ep 1 2 解得ep mgh 2 3 3 当两球相距最近之后 在静电斥力作用下相互远离 两球距离足够远时 相互作用 力为零 系统电势能也为零 速度达到稳定 则 2mv0 2mva mvb 2mv 2mv mv 1 22 0 1 22a 1 22b 解得va v0 vb v0 1 3 1 3 2 gh 4 3 4 3 2 gh 3 答案 1 2 mgh 3 2gh 2 3 1 3 2 gh 4 3 2 gh 电场中动量和能量问题的解题技巧 动量守恒定律与其他知识综合应用类问题的求解 与一般的力学问题求解思路并无差 异 只是问题的情景更复杂多样 分析清楚物理过程 正确识别物理模型是解决问题的关 键 2019 武汉毕业生调研 有一质量为m 长度为l的矩形绝缘板放在光滑的水平面 上 另一质量为m 带电荷量的绝对值为q的物块 视为质点 以初速度v0从绝缘板的上 表面的左端沿水平方向滑入 绝缘板所在空间有范围足够大的匀强电场 其场强大小e 方向竖直向下 如右图所示 已知物块与绝缘板间的动摩擦因数恒定 物块运动到绝 3mg 5q 缘板的右端时恰好相对于绝缘板静止 若将匀强电场的方向改变为竖直向上 场强大小不 变 且物块仍以原初速度从绝缘板左端的上表面滑入 结果两者相对静止时 物块未到达 绝缘板的右端 求 1 场强方向竖直向下时 物块在绝缘板上滑动的过程中 系统产生的热量 2 场强方向竖直向下时与竖直向上时 物块受到的支持力之比 3 场强方向竖直向上时 物块相对于绝缘板滑行的距离 解析 1 场强方向向下时 根据动量守恒定律得 mv0 m m v 所以v v0 m m m 根据能量守恒定律得 热量q mv m m v2 1 22 0 1 2 mmv2 0 2 m m 2 场强向下时fn mg qe 场强向上时fn mg qe 4 所以 fn fn 1 4 3 两次产生的热量相等 fn l q fnl q 所以l l 4 答案 1 2 1 4 3 mmv2 0 2 m m l 4 1 对于电场中的动量问题 判断所研究的系统动量是否守恒是解题关键 2 对于电场中的能量问题 要熟练掌握电场力做功与电势能变化的关系 结合功能 关系和能量守恒定律解题 热点考向二 磁场中的动量和能量问题 典例 2019 陕西西安市四模 如右图所示 将带电荷量q 0 3 c 质量 m 0 3 kg 的滑块放在小车的水平绝缘板的右端 小车的质量m 0 5 kg 滑块与绝缘板 间的动摩擦因数 0 4 小车的绝缘板足够长 它们所在的空间存在磁感应强度b 20 t 的水平方向的匀强磁场 垂直于纸面向里 开始时小车静止在光滑水平面上 一摆长 l 1 25 m 质量m 0 15 kg 的摆球从水平位置由静止释放 摆球到最低点时与小车相撞 碰撞后摆球恰好静止 g取 10 m s2 求 1 与小车碰撞前摆球到达最低点时对摆线的拉力 2 摆球与小车的碰撞过程中系统损失的机械能 e 3 碰撞后小车的最终速度 思路引领 1 当f洛 m g时滑块与车之间的弹力变为零 2 摆球与小车碰撞瞬间摆球与小车组成的系统水平方向动量守恒 5 解析 1 摆球下落过程 由动能定理有mgl mv2 1 2 解得v 5 m s 摆球在最低点时 由牛顿第二定律得t mg m 解得t 4 5 n 由牛顿第三定律可 v2 l 知摆球对摆线的拉力t 4 5 n 方向竖直向下 2 摆球与小车碰撞瞬间 摆球与小车组成的系统水平方向动量守恒 以水平向右为正 方向 有mv mv1 0 解得v1 1 5 m s 由能量守恒定律 有 e mv2 mv 1 31 j 1 2 1 22 1 3 假设滑块与车最终相对静止 则有mv1 m m v2 解得v2 0 9375 m s 由此得f洛 qv2b m g 故假设不成立 因此滑块最终悬浮 滑块悬浮瞬间 满足f 洛 qv2 b m g 解得v2 0 5 m s 将滑块与小车看成一个系统 系统动量守恒 有 mv1 mv m v2 解得v 1 2 m s 方向水平向右 答案 1 4 5 n 方向竖直向下 2 1 31 j 3 1 2 m s 方向水平向右 磁场中的动量和能量问题 涉及题型往往是带电小球或滑块在磁场中的碰撞问题 熟练力学中的碰撞模型 如弹 性碰撞的二级结论 及速度变化带来的洛伦兹力变化将是快速解题的关键 2019 广西南宁市 3 月适应测试 如右图所示 光滑绝缘的半圆形圆弧轨道acd 固 定在竖直面内 轨道处在垂直于轨道平面向里的匀强磁场中 半圆弧的直径ad水平 因弧 的半径为r 匀强磁场的磁感应强度为b 在a端由静止释放一个带正电荷 质量为m的金 属小球甲 结果小球甲连续两次通过轨道最低点c时 对轨道的压力差为 f 小球运动 过程始终不脱离轨道 重力加速度为g 求 6 1 小球甲经过轨道最低点c时的速度大小 2 小球甲所带的电荷量 3 若在圆弧轨道的最低点c放一个与小球甲完全相同的不带电的金属小球乙 让小球 甲仍由轨道的a端由静止释放 则甲球与乙球发生弹性碰撞后的一瞬间 乙球对轨道的压 力 不计两球间静电力的作用 解析 1 由于小球甲在运动过程中 只有重力做功 因此机械能守恒 由a点运动 到c点 有 mgr mv 1 22c 解得vc 2gr 2 小球甲第一次通过c点时 qvcb f1 mg m v2c r 第二次通过c点时 f2 qvcb mg m v2c r 由题意知 f f2 f1 解得q f2gr 4grb 3 因为甲球与乙球在最低点发生的是弹性碰撞 则 mvc mv甲 mv乙 mv mv mv 1 22c 1 22 甲 1 22 乙 解得v甲 0 v乙 vc 设碰撞后的一瞬间 轨道对乙的支持力大小为f乙 方向竖直向上 则 f乙 qv乙b mg m 1 2 v2 乙 r 解得f乙 3mg f 4 根据牛顿第三定律可知 此时乙球对轨道的压力大小为 3mg 方向竖直向下 f 4 答案 1 2 3 3mg 方向竖直向下 2gr f2gr 4grb f 4 7 1 小球第一次通过c点时与第二次通过c点时 洛伦兹力方向不同 2 小球甲与小球乙碰撞后 两者电量平分 各为 q 2 热点考向三 电磁感应中的动量和能量问题 典例 2019 河南洛阳期末 如图所示 两根质量均为m 2 kg 的金属棒垂直地 放在光滑的水平导轨上 左 右两部分导轨间距之比为 1 2 导轨间左 右两部分有大小 相等 方向相反的匀强磁场 两棒电阻与棒长成正比 不计导轨电阻 现用 250 n 的水平 拉力f向右拉cd棒 在cd棒运动 0 5 m 的过程中 cd棒上产生的焦耳热为 30 j 此时 ab棒和cd棒的速度分别为va和vc 且va vc 1 2 立即撤去拉力f 设导轨足够长且 两棒始终在不同磁场中运动 求 1 在cd棒运动 0 5 m 的过程中 ab棒上产生的焦耳热 2 撤去拉力f瞬间 两棒的速度va和vc的大小 3 撤去拉力f后 两棒最终做匀速运动时的速度v a和v c的大小 思路引领 8 2 两棒最终做匀速运动 电路中电流为零 两棒最终速度比为 2 1 解析 1 设两棒的长度分别为l和 2l 电阻分别为r和 2r 由于电路在任何时刻 电流均相等 根据焦耳定律q i2rt 可得qab qcd 15 j 1 2 2 对整个系统根据能量守恒定律有fs mv mv qab qcd 1 22a 1 22c 又va vc 1 2 解得va 4 m s vc 8 m s 3 撤去拉力f后 ab棒继续向左做加速运动 而cd棒开始向右做减速运动 两棒最 终做匀速运动时 电路中电流为零 两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等 此时两 棒的速度满足blv a b 2lv c 即v a 2v c 设ab棒和cd棒受到的安培力大小分别为fa和fc 对两棒分别应用动量定理有 fat mv a mva fct mv c mvc 因为fc 2fa 解得 v a va v c vc 1 2 联立以上各式解得v a 6 4 m s v c 3 2 m s 答案 1 15 j 2 4 m s 8 m s 3 6 4 m s 3 2 m s 动量观点在电磁感应现象中的应用 1 对于两导体棒在平直的光滑导轨上运动的情况 如果两棒所受的外力之和为零 则 考虑应用动量守恒定律处理问题 9 2 由b l t m v q t可知 当题目中涉及电荷量或平均电流时 可应 ii 用动量定理来解决问题 两足够长且不计电阻的光滑金属轨道如图甲所示放置 间距为d 1 m 在左端弧形轨 道部分高h 1 25 m 处放置一金属杆a 弧形轨道与平直轨道的连接处光滑无摩擦 在平 直轨道右端放置另一金属杆b 杆a b的电阻分别为ra 2 rb 5 在平直轨道区 域有竖直向上的匀强磁场 磁感应强度b 2 t 现杆b以初速度大小v0 5 m s 开始向左 滑动 同时由静止释放杆a 杆a由静止滑到水平轨道的过程中 通过杆b的平均电流为 0 3 a 从a下滑到水平轨道时开始计时 a b运动的速度 时间图像如图乙所示 以a运 动方向为正方向 其中ma 2 kg mb 1 kg g 10 m s2 求 1 杆a在弧形轨道上运动的时间 2 杆a在水平轨道上运动过程中通过其截面的电荷量 3 在整个运动过程中杆b产生的焦耳热 解析 1 设杆a由静止滑至弧形轨道与平直轨道连接处时杆b的速度大小为vb0 对杆b运用动量定理 有bd t mb v0 vb0 i 其中vb0 2 m s 代入数据解得 t 5 s 2 对杆a由静止下滑到平直导轨上的过程中 由机械能守恒定律有magh mav 1 22a 解得va 5 m s 2gh 设最后a b两杆共同的速度为v 由动量守恒定律得mava mbvb0 ma mb v 代入数据解得v m s 8 3 杆a动量的变化量等于它所受安培力的冲量 设杆a的速度从va到v 的运动时间为 t 则由动量定理可得bdi t ma va v 而q i t 10 代入数据得q c 7 3 3 由能量守恒定律可知杆a b中产生的焦耳热为 q magh mbv mb ma v 2 j 1 22 0 1 2 161 6 b棒中产生的焦耳热为q q j 5 2 5 115 6 答案 1 5 s 2 c 3 j 7 3 115 6 本题中两金属杆在平直的光滑导轨上运动 只受到安培力作用 这类问题可以从以下 三个观点来分析 1 力学观点 通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动 而另一个金属杆 做加速度逐渐减小的减速运动 最终两金属杆以共同的速度匀速运动 2 能量观点 其中一个金属杆动能的减少量等于另一个金属杆动能的增加量与回路中 产生的焦耳热之和 3 动量观点 如果光滑导轨间距恒定 则两个金属杆的安培力大小相等 通常情况下 系统的动量守恒 高考真题研究 动量守恒思想解决电磁感应中的 双棒 问题 2019 新课标 卷 19 题审题指导 多选 如图 方向竖直向下的匀强磁场中有 两根位于同一水平面内的足够长的平行金属 导轨 两相同的光滑导体棒ab cd静止在 导轨上 t 0 时 棒ab以初速度v0向右滑 动 运动过程中 ab cd始终与导轨垂直并 接触良好 两者速度分别用v1 v2表示 回 第一步 抓关键点 1 光滑导体棒 说明运动过程无摩擦 力 2 平行金属导轨 说明两棒所受安培力 等大反向 3 足够长 说明两棒最终会共速 第二步 找突破口 1 两棒运动过程中 速度差逐渐减小 系 统产生感应电动势越来越小 最后变为 0 11 路中的电流用i表示 下列图像中可能正确 的是 2 系统外力之和为零 动量守恒 解析 棒ab以初速度v0向右滑动 切割磁感线产生感应电动势 使整个回路中产生感应 电流 判断可知棒ab受到方向与v0方向相反的安培力的作用而做变减速运动 棒cd受到 方向与v0方向相同的安培力的作用而做变加速运动 它们之间的速度差 v v1 v2逐渐减 小 整个系统产生的感应电动势逐渐减小 回路中感应电流逐渐减小 最后变为零 即最终 棒ab和棒cd的速度相同 v1 v2 两相同的光滑导体棒ab cd组成的系统在足够长的平 行金属导轨上运动时不受外力作用 由动量守恒定律有mv0 mv1 mv2 解得v1 v2 v0 2 选项 a c 均正确 b d 均错误 答案 ac 试题特点备考策略 本题类似碰撞中的完全非弹性碰撞模型 根 据受力得出两导体棒的速度变化情况 根据 两棒的速度关系结合法拉第电磁感应定律和 电路问题 判断产生的感应电动势的变化情 况 从而得出回路中感应电流的变化情况 动量 改为必考内容后 电磁感应中的动 量问题 就必须引起我们的关注 出题方向一般为 1 涉及单棒或两边导轨不等宽的双棒问题 一般考虑用动量定理解题 2 由b l t m v q t 可 ii r总 知 当题目涉及电荷量或平均电流时 可应 用动量定理解题 3 涉及等宽平行导轨的双棒问题 如果两 棒外力之和为零 则考虑用动量守恒解题 必要时结合能量守恒定律和其他力学规律处 理 12 专题强化训练 九 1 2019 张家口期末 如图所示 abd为竖直平面内的光滑绝缘轨道 ab段为足够长 的水平轨道 bd段为半径r 0 2 m 的半圆轨道 二者相切于b点 整个轨道处于竖直向 下的匀强电场中 场强大小e 5 0 103 v m 一不带电的绝缘小球甲 以速度v0沿水平轨 道向右运动 与静止在b点带正电的小球乙发生弹性正碰 已知乙球质量m 1 0 10 2 kg 乙所带电荷量q 2 0 10 5 c 乙球质量为甲球质量的 3 倍 取g 10 m s2 甲 乙 两球均可视为质点 整个运动过程中无电荷转移 1 甲 乙两球碰撞后 乙球通过轨道的最高点d时 对轨道的压力大小n 为自身重 力的 2 5 倍 求乙在水平轨道上的首次落点到b点的距离 2 在满足 1 的条件下 求甲球的初速度v0 解析 1 设乙到达最高点d时的速度为vd 乙离开d点首次到达水平轨道的时间 为t 加速度为a 乙在水平轨道上的首次落点到b点的距离为x 乙离开d点后做类平抛 运动 则 2r at2 x vdt 1 2 根据牛顿第二定律有a mg qe m 乙过d点时有mg qe n m 式中n为乙在d点时轨道对乙的作用力 v2d r 根据牛顿第三定律有n n 2 5mg 解得x 0 6 m 2 设碰后瞬间甲 乙两球的速度分别为v1 v2 根据动量守恒定律和机械能守恒定律 有 mv0 mv1 mv2 1 3 1 3 mv mv mv 1 2 1 32 0 1 2 1 32 1 1 22 2 联立解得v2 v0 1 2 乙球从b到d的过程中 根据动能定理有 mg 2r qe 2r mv mv 1 22d 1 22 2 13 由 1 可得vd 3 m s 联立解得v0 10 m s 答案 1 0 6 m 2 10 m s 2 2019 河北五名校联盟二模 如下图所示 mn pq两平行光滑水平导轨分别与半 径r 0 5 m 的相同竖直半圆导轨在n q端平滑连接 m p端连接定值电阻r 质量m 2 kg 的cd绝缘杆垂直且静止在水平导轨上 在其右侧至n q端的区域内充满竖直向上的匀 强磁场 现有质量m 1 kg 的ab金属杆以初速度v0 12 m s 水平向右运动 与cd绝缘杆 发生正碰后 进入磁场并最终未滑出 cd绝缘杆则恰好能通过半圆导轨最高点 不计除r 以外的其他电阻和摩擦 ab金属杆始终与导轨垂直且接触良好 g取 10 m s2 不考虑cd 杆通过半圆导轨最高点以后的运动 求 1 cd绝缘杆恰好通过半圆导轨最高点时的速度大小v 2 电阻r产生的焦耳热q 解析 1 cd绝缘杆恰好通过半圆导轨最高点时 由牛顿第二定律有mg m v2 r 解得v m s 5 2 发生正碰后cd绝缘杆滑至最高点的过程中 由动能定理有 mg 2r mv2 mv 1 2 1 22 2 解得碰撞后cd绝缘杆的速度v2 5 m s 两杆碰撞过程中动量守恒 有 mv0 mv1 mv2 解得碰撞后ab金属杆的速度v1 2 m s ab金属杆进入磁场后由能量守恒定律有q mv 1 22 1 解得q 2 j 答案 1 m s 2 2 j 5 3 2019 河南洛阳统考 如图所示 足够长的水平轨道左侧b1b2 c2c1部分轨道间距 为 2l 右侧窄轨道间距为l 曲线轨道与水平轨道相切于b1b2 所有轨道均光滑且电阻不 14 计 在水平轨道内有斜向下与竖直方向成 37 的匀强磁场 磁感应强度大小b0 0 1 t 质量m 0 2 kg 的金属棒b垂直于导轨静止放置在右侧窄轨道上 质量m 0 1 kg 的金 属棒a自曲线轨道上a1a2处由静止释放 经时间t 两棒达到稳定状态 两棒在运动过程 中始终相互平行且与导轨保持良好接触 棒a总在宽轨上运动 棒b总在窄轨上运动 已 知两棒接入电路的有效电阻均为r 0 2 h 0 2 m l 0 2 m 取g 10 m s2 sin37 0 6 cos37 0 8 求 1 棒a滑到b1b2处时的速度大小 2 棒b匀速运动的速度大小 3 在两棒整个的运动过程中通过棒a某截面的电荷量 4 在两棒整个的运动过程中两棒在水平导轨间扫过的面积之差 解析 1 棒a在曲线轨道上下滑 轨道光滑 由机械能守恒定律有mgh mv 1 22 0 解得棒a滑到b1b2处时的速度v0 2 m s 2 对棒a b 分别由动量定理有 b0cos 2lt mva mv0 b0cos lt mvb ii 得mv0 mva 2mvb 两棒最后匀速运动时 电路中无电流 则b0lvb 2b0lva 得vb 2va 解得vb v0 m s 2 9 4 9 3 在棒b加速过程中 由动量定理有b0cos lt mvb 0 i 在两棒整个的运动过程中通过棒a某截面的电荷量q t i 解得q c 50 9 4 据法拉第电磁感应定律有e t 其中磁通量变化量 b0cos s 电路中的电流 i e 2r 通过棒a某截面的电荷量q t i 解得在两棒整个的运动过程中两棒在水平导轨间扫过的面积之差 s m2 250 9 15 答案 1 2 m s 2 m s 3 c 4 m2 4 9 50 9 250 9 4 2019 福建泉州模拟 如图所示 在竖直平面 纸面 内有一直角坐标系xoy x轴 下方有垂直纸面向里的匀强磁场 第三象限有沿x轴负方向的匀强电场 第四象限存在另 一匀强电场 图中未画出 一光滑绝缘的固定不带电细杆pq交x轴于m点 细杆与x轴的 夹角 30 杆的末端在y轴q点处 p m两点间的距离为l 一套在杆上的质量为 2m 电荷量为q的带正电小环b恰好静止在m点 另一质量为m 不带电绝缘小环a套在 杆上并从p点由静止释放 与b碰撞后瞬间反弹 反弹后到达最高点时被锁定 锁定点与 m点的距离为 b沿杆下滑过程中始终与杆之间无作用力 b进入第四象限后做匀速圆周 l 16 运动 而后通过x轴上