2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（福建卷含答案）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 福建卷 含答年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题 福建卷 含答 案 案 第 I 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 若集合 13Axx 2Bx x 则AB 等于 A 23xx B 1x x C 23xx D 2x x 2 计算 20 1 2sin 22 5 的结果等于 A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 3 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示 则其侧面积等于 A 3 B 2 C 2 3 D 6 4 i 是虚数单位 4 1 1 i i 等于 A i B i C 1 D 1 2 5 若 x yR 且 1 230 x xy yx 则2zxy 的最小值等于 A 2 B 3 C 5 D 9 6 阅读右图所示的程序框图 运行相应的程序 输出的 i 值等于 A 2 B 3 C 4 D 5 7 函数 2 23 0 2ln 0 xxx f x x x 的零点个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 8 若向量 3 axxR 则 4x 是 5a 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 9 若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示 则这组数据的中位数和平均 数分别是 A 91 5 和 91 5 B 91 5 和 92 C 91 和 91 5 D 92 和 92 10 将函数 sin f xx 的图像向左平移 2 个单位 若所得图象与原图象重合 则 的值不可能等于 A 4 B 6 C 8 D 12 11 若点O和点F分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 则 OP FP 的最大值为 A 2 B 3 C 6 D 8 12 设非空集合 Sx mxl 满足 当xS 时 有 2 xS 给出如下三个命题 若 1m 则 1 S 若 1 2 m 则 1 1 4 l 若 1 2 l 则 2 0 2 m 其中正 确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 第第 卷 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 把答案填在答题卡的相应位置 分 把答案填在答题卡的相应位置 3 13 若双曲线 22 2 1 0 4 xy b b 的渐近线方程式为 1 2 yx 则 等于 14 将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组 绘制频率分布直方图 若第一组至第六组数据的 频率之比为 2 3 4 6 4 1 且前三组数据的频数之和等于 27 则n 等于 15 对于平面上的点集 如果连接 中任意两点的线段必定包含于 则称 为平面 上的凸集 给出平面上 4 个点集的图形如下 阴影区域及其边界 其中为凸集的是 写出所有凸集相应图形的序号 16 观察下列等式 cos22cos1 42 cos48cos8cos1 642 cos632cos48cos18cos1 8642 cos8128cos256cos160cos32cos1 108642 cos10cos1280cos1120coscoscos1mnp 可以推测 m n p 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 数列 n a 中 1 a 1 3 前 n 项和 n S满足 1n S n S 1 1 3 n n N I 求数列 n a 的通项公式 n a以及前 n 项和 n S II 若 S1 t S1 S2 3 S2 S3 成等差数列 求实数 t 的值 18 本小题满分 12 分 设平顶向量 m a m 1 n b 2 n 其中 m n 1 2 3 4 I 请列出有序数组 m n 的所有可能结果 II 记 使得 m a m a n b 成立的 m n 为事件 A 求事件 A 发生的概率 4 19 本小题满分 12 分 已知抛物线 C 2 2 0 ypx p 过点 A 1 2 I 求抛物线 C 的方程 并求其准线方程 II 是否存在平行于 OA O 为坐标原点 的直线l 使得直线l与抛物线 C 有公共点 且直线 OA 与l的距离等于 5 5 若存在 求直线l的方程 若不存在 说明理由 20 本小题满分 12 分 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 E H 分别是棱 A1B1 D1C1上的点 点 E 与 B1不重合 且 EH A1D1 过 EH 的平 面与棱 BB1 CC1相交 交点分别为 F G I 证明 AD 平面 EFGH II 设 1 22ABAAa 在长方体 ABCD A1B1C1D1内 随机选取一点 记该点取自于几何体 A1ABFE D1DCGH 内 的概率为 p 当点 E F 分别在棱 A1B1 B1B 上运动且满足EFa 时 求 p 的最小值 21 本小题满分 12 分 某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于 港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的A处 并正以 30 海里 小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过 t 小时 与轮船相遇 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 为保证小艇在 30 分钟内 含 30 分钟 能与轮船相遇 试确定小艇航行速度的最小值 是否存在v 使得小艇以v海里 小时的航行速度行驶 总能有两种不同的航行方向与 轮船相遇 若存在 试确定v的取值范围 若不存在 请说明理由 22 本小题满分 14 分 已知函数 32 1 3 f xxxaxb 的图象在点 0 0 Pf处的切线方程为32yx 求实数 a b 的值 设 1 m g xf x x 是 2 上的增函数 i 求实数 m 的最大值 ii 当 m 取最大值时 是否存在点 Q 使得过点 Q 的直线若能与曲线 y g x 围成两个封 闭图形 则这两个封闭图形的面积总相等 若存在 求出点 Q 的坐标 若不存在 说明理由 5 参考答案参考答案 一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 5 分 满分分 满分 6060 分 分 1 A 2 B 3 D 4 C 5 B 6 C 7 B 8 A 9 A 10 B 11 C 12 D 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题每小题 4 4 分 满分分 满分 1616 分 分 13 1 14 60 15 16 962 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题主要考查数列 等差数列 等比数列等基础知识 考查运算求解能力 考 查函数与方程思想 化归与转化思想 满分 12 分 18 本小题主要考查概率 平面向量等基础知识 考查运算求解能力 应用意识 考 查化归与转化思想 必然与或然思想 满分 12 分 解 有序数组 m n的所有可能结果为 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共 16 个 由 mmn aab 得 2 21mmno 即 2 1 nm 由于 m n 1 2 3 4 故事件 A 包含的基本条件为 2 1 和 3 4 共 2 个 又基 本事件的总数为 16 故所求的概率 21 168 P A 19 本小题主要考查直线 抛物线等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 考查函数方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 分类与整合思想 满分 12 分 6 所以符合题意的直线l存在 其方程为210 xy 20 本小题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系 以及几何体的体积 几何概念 等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 必然与或然思想 满分 12 分 解法一 证明 在长方体 1111 ABCDABC D 中 AD 11 AD 又 EH 11 AD AD EH ADEFGH 平面 EHEFGH 平面 AD 平面EFGH 设BCb 则长方体 1111 ABCDABC D 的体积 2 1 2VAB AD AAa b 几何体 11 EB FHC G 的体积 1111111 1 22 b VEB B FBCEB B F 222 11 EBB Fa 222 11 11 22 EBB Fa EB B F 当且仅当 11 2 2 EBB Fa 时等号成立 从而 2 1 4 a b V 7 故 2 1 2 7 4 11 28 a b V p Va b 当且仅当 11 2 2 EBB Fa 时等号成立 所以 p的最小值等于 7 8 解法二 同解法一 成立 从而 2 1 4 a b V 2 1 2 7 4 11 28 a b V p Va b 当且仅当sin21 即 45 时等号成立 所以 p的最小值等于 7 8 21 本小题主要考查解三角形 二次函数等基础知识 考查推理论证能力 抽象概括能力 运算求解能力 应用意识 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 满分 12 分 解法一 设相遇时小艇的航行距离为S海里 则 2 9004002 3020 cos 9030 Stt 2 900600400tt 2 1 900 300 3 t 故 1 3 t 时 min 10 3S 10 3 30 3 1 3 v 即 小艇以30 3海里 小时的速度航行 相遇时小艇的航行距离最小 8 设小艇与轮船在B处相遇 由题意可知 222 20 30 2 20 30 cos 9030 vttt 化简得 22 2 40060013 900400 675 4 v ttt 由于 1 0 2 t 即 1 2 t 所以当 1 2 t 时 v取得最小值10 13 即小艇航行速度的最小值为10 13海里 小时 解法二 若相遇时小艇的航行距离最小 又轮船沿正东方向匀速行驶 则小艇航行方向为正 北方向 设小艇与轮船在 C 处相遇 在Rt OACA中 20cos3010 3OC 20sin3010AC 又30ACt OCvt 此时 轮船航行时间 101 303 t 10 3 30 3 1 3 v 即 小艇以30 3海里 小时的速度行驶 相遇时小艇的航行距离最小 同解法一 9 同解法一 22 本小题主要考查函数 导数等基础知识 考查推力论证能力 抽象概况能力 运算求 解能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转换思想 分类与整合思想 满分 14 分 解法一 因此 min 3ym min 0 30ym 即3m 又0m 故03m 综上 m的最大值为 3 由 得 32 13 32 31 g xxxx x 其图像关于点 1 1 3 Q成中心对称 证明如下 10 32 13 32 31 g xxxx x 32 13 2 2 2 3 2 2 321 gxxxx x 32 183 3 331 xxx x 因此 2 2 3 g xgx 上式表明 若点 A x y为函数 g x在图像上的任意一点 则点 2 2 3 Bxy 也一定在 函数 g x的图像上 而线段AB中点恒为点 1 1 3 Q 由此即知函数 g x的图像关于点 Q成中心对称 这也就表明 存在点 1 1 3 Q 使得过点Q的直线若能与函数 g x的图像围成两个封 闭图形 则这两个封闭图形的面积总相等 解法二 即不等式20 m t t 在 1 上恒成立 所以 2 2mtt 在 1 上恒成立 令 2 2yt