2010年高三数学高考压轴题系列训练四

用心 爱心 专心 2010 年高考年高考数学数学压轴题系列训练四压轴题系列训练四 1 本小题满分 14 分 已知 f x 2 2 2 x ax x R 在区间 1 1 上是增函数 求实数 a 的值组成的集合 A 设关于 x 的方程 f x x 1 的两个非零实根为 x1 x2 试问 是否存在实数 m 使得 不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 若存在 求 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 2 本小题满分 12 分 如图 P 是抛物线 C y 2 1 x2上一点 直线 l 过点 P 且与抛物 线 C 交于另一点 Q 若直线 l 与过点 P 的切线垂直 求线段 PQ 中点 M 的轨 迹方程 若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S 与 y 轴交于点 T 试求 SQ ST SP ST 的取值范围 用心 爱心 专心 3 本小题满分 12 分 某突发事件 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0 3 一旦发生 将造成 400 万元的损失 现有甲 乙两种相互独立的预防措施可供采用 单独采用甲 乙预防措 施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率 为 0 9 和 0 85 若预防方案允许甲 乙两种预防措施单独采用 联合采用或不采用 请 确定预防方案使总费用最少 总费用 采取预防措施的费用 发生突发事件损失的期望值 4 本小题满分 14 分 第一小问满分 4 分 第二小问满分 10 分 已知 函数 aR 2 f xxxa 当时 求使成立的的集合 2a f xx x 求函数在区间上的最小值 yf x 1 2 用心 爱心 专心 2010 年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四 1 本小题满分 14 分 已知 f x 2 2 2 x ax x R 在区间 1 1 上是增函数 求实数 a 的值组成的集合 A 设关于 x 的方程 f x x 1 的两个非零实根为 x1 x2 试问 是否存在实数 m 使得 不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 若存在 求 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 解 f x 22 2 2 224 x xax 22 2 2 2 2 x axx f x 在 1 1 上是增函数 f x 0 对 x 1 1 恒成立 即 x2 ax 2 0 对 x 1 1 恒成立 设 x x2 ax 2 方法一 1 1 a 2 0 1 a 1 1 1 a 2 0 对 x 1 1 f x 是连续函数 且只有当 a 1 时 f 1 0 以及当 a 1 时 f 1 0 A a 1 a 1 方法二 2 a 0 2 a 0 x1 x2是方程 x2 ax 2 0 的两非零实根 x1 x2 a 从而 x1 x2 21 2 21 4 xxxx 8 2 a x1x2 2 1 a 1 x1 x2 8 2 a 3 要使不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 当且仅当 m2 tm 1 3 对任意 t 1 1 恒成立 即 m2 tm 2 0 对任意 t 1 1 恒成立 设 g t m2 tm 2 mt m2 2 方法一 g 1 m2 m 2 0 g 1 m2 m 2 0 m 2 或 m 2 所以 存在实数 m 使不等式 m2 tm 1 x1 x2 对任意 a A 及 t 1 1 恒成立 其取值范围是 m m 2 或 m 2 方法二 当 m 0 时 显然不成立 当 m 0 时 m 0 m0 y2 0 由 y 2 1 x2 得 y x 过点 P 的切线的斜率 k切 x1 直线 l 的斜率 kl 切 k 1 1 1 x 直线 l 的方程为 y 2 1 x12 1 1 x x x1 方法一 联立 消去 y 得 x2 1 2 x x x12 2 0 M 是 PQ 的中点 x0 2 21 xx 1 1 x y0 2 1 x12 1 1 x x0 x1 用心 爱心 专心 消去 x1 得 y0 x02 2 0 2 1 x 1 x0 0 PQ 中点 M 的轨迹方程为 y x2 2 0 2 1 x 1 x 0 方法二 由 y1 2 1 x12 y2 2 1 x22 x0 2 21 xx 得 y1 y2 2 1 x12 2 1 x22 2 1 x1 x2 x1 x2 x0 x1 x2 则 x0 21 21 xx yy kl 1 1 x x1 0 1 x 将上式代入 并整理 得 y0 x02 2 0 2 1 x 1 x0 0 PQ 中点 M 的轨迹方程为 y x2 2 0 2 1 x 1 x 0 设直线 l y kx b 依题意 k 0 b 0 则 T 0 b 分别过 P Q 作 PP x 轴 QQ y 轴 垂足分别为 P Q 则 SQ ST SP ST 21 y b y b QQ OT PP OT y x2 2 1 由 消去 x 得 y2 2 k2 b y b2 0 y kx b y1 y2 2 k2 b 则 y1y2 b2 方法一 用心 爱心 专心 b 2 b 2 b 2 SQ ST SP ST 21 11 yy 21 1 yy 2 1 b y1 y2可取一切不相等的正数 的取值范围是 2 SQ ST SP ST 方法二 b b SQ ST SP ST 21 21 yy yy 2 2 2 b bk 当 b 0 时 b 2 2 SQ ST SP ST 2 2 2 b bk b bk 2 2 b k 2 2 当 b0 于是 k2 2b 0 即 k2 2b 所以 2 SQ ST SP ST b bb 2 2 当 b 0 时 可取一切正数 b k 2 2 的取值范围是 2 SQ ST SP ST 方法三 由 P Q T 三点共线得 kTQ KTP 即 2 2 x by 1 1 x by 则 x1y2 bx1 x2y1 bx2 即 b x2 x1 x2y1 x1y2 于是 b x1x2 12 2 21 2 12 2 1 2 1 xx xxxx 2 1 用心 爱心 专心 2 SQ ST SP ST 21 y b y b 1 2 1 21x x 1 2 1 21x x 1 2 x x 2 1 x x 可取一切不等于 1 的正数 1 2 x x 的取值范围是 2 SQ ST SP ST 3 本小题满分 12 分 某突发事件 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0 3 一旦发生 将造成 400 万元的损失 现有甲 乙两种相互独立的预防措施可供采用 单独采用甲 乙预防措 施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率 为 0 9 和 0 85 若预防方案允许甲 乙两种预防措施单独采用 联合采用或不采用 请 确定预防方案使总费用最少 总费用 采取预防措施的费用 发生突发事件损失的期望值 解 不采取预防措施时 总费用即损失期望为 400 0 3 120 万元 若单独采取措施甲 则预防措施费用为 45 万元 发生突发事件的概率为 1 0 9 0 1 损失期望值为 400 0 1 40 万元 所以总费用为 45 40 85 万元 若单独采取预防措施乙 则预防措施费用为 30 万元 发生突发事件的概率为 1 0 85 0 15 损失期望值为 400 0 15 60 万元 所以总费用为 30 60 90 万元 若联合采取甲 乙两种预防措施 则预防措施费用为 45 30 75 万元 发生突发事 件的概率为 1 0 9 1 0 85 0 015 损失期望值为 400 0 015 6 万元 所以 总费用为 75 6 81 万元 综合 比较其总费用可知 应选择联合采取甲 乙两种预防措施 可使 总费用最少 4 本小题满分 14 分 第一小问满分 4 分 第二小问满分 10 分 已知 函数 aR 2 f xxxa 当时 求使成立的的集合 2a f xx x 22 用心 爱心 专心 求函数在区间上的最小值 yf x 1 2 解 由题意 2 2f xxx 当时 解得或 2x 2 2 f xxxx 0 x 1x 当时 解得 2x 2 2 f xxxx 12x 综上 所求解集为 0 1 12 设此最小值为 m 当时 在区间上 1a 1 2 32 f xxax 因为 22 323 0 3 fxxaxx xa 1 2 x 则在区间上是增函数 所以 f x 1 2 1 1mfa 当时 在区间上 由知12a 1 2 2 0f xxxa 0f a 0mf a 当时 在区间上 2a 1 2 23 f xaxx 22 233 3 fxaxxxax 若 在区间内 从而为区间上的增函数 3a 1 2 0fx f x 1 2 由此得 1 1mfa 若 则 23a 2 12 3 a 当时 从而为区间上的增函数 2 1 3 xa 0fx f x 2 1 3 a 当时