2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖南卷解析版）

1 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理 湖南卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学理 湖南卷 解析版 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 若a 0 1 则 D 2 log 1 2 b A a 1 b 0 B a 1 b 0 C 0 a 1 b 0 D 0 a 1 b 0 答案 D 解析 由得由得 所以选 D 项 2 log0a 0 a 1 1 2 b 0b 2 对于非 0 向时 a b a b 的确良 A A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 可得 即得 但 不一定有 所以 0ab ab ab abab 是 的充分不必要条件 0ab ab 3 将函数 y sinx 的图象向左平移0 2的单位后 得到函数 y sin的图 6 x 象 则等于 D A B C D 6 5 6 7 6 11 6 答案 D 解析 解析由函数向左平移的单位得到的图象 由条件知函数sinyx sin yx 可化为函数 易知比较各答案 只有sin yx sin 6 yx 11 sin 6 yx 所以选 D 项 sin 6 x 4 如图 1 当参数时 连续函数 的图像分别对应曲线和 2 0 1 x yx x 1 C 2 C 则 B A B 1 0 1 0 C D 12 0 21 0 答案 B 2 解析 解析由条件中的函数是分式无理型函数 先由函数在是连续的 可知参数 0 即排除 C D 项 又取 知对应函数值 由 12 0 0 1x 12 12 11 11 yy 图可知所以 即选 B 项 12 yy 12 5 从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理 则甲 乙至少有 1 人入选 而丙没有入 选的不同选法的种数位 C A 85 B 56 C 49 D 28 答案 C 解析 解析由条件可分为两类 一类是甲乙两人只去一个的选法有 另一 12 27 CC42 类是甲乙都去的选法有 7 所以共有 42 7 49 即选 C 项 21 27 CC 6 已知 D 是由不等式组 所确定的平面区域 则圆 在区域 D 内 20 30 xy xy 22 4xy 的弧长为 B A B C D 4 2 3 4 3 2 答案 B 解析 解析如图示 图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所 求 易知图中两直线的斜率分别是 所以圆心角即为 1 2 1 3 两直线的所成夹角 所以 所以 11 23 tan1 11 1 23 而圆的半径是 2 所以弧长是 故选 B 现 4 2 7 正方体 ABCD 的棱上到异面直线 AB C的距离相等的点 1 A 1 B 1 C 1 D 1 C 的个数为 C A 2 B 3 C 4 D 5 答案 C 解析 解析如图示 则 BC 中点 点 点 点分别到两异面直线 1 BD 1 D 3 的距离相等 即满足条件的点有四个 故选 C 项 8 设函数在 内有定义 对于给定的正数 K 定义函数 yf x k f xf xK fx K f xK 取函数 若对任意的 恒有 则 f x 1 2xe x k fx f x A K 的最大值为 2 B K 的最小值为 2 C K 的最大值为 1 D K 的最小值为 1 D 答案 D 解析 由知 所以时 当时 10 x fxe 0 x 0 x 0fx 0 x 所以即的值域是 而要使在 0fx max 0 1 f xf f x 1 k fxf x 上恒成立 结合条件分别取不同的值 可得 D 符合 此时 故选 D 项 RK k fxf x 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 5 分 共 35 分 把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上 9 某班共 30 人 其中 15 人喜爱篮球运动 10 人喜爱兵乓球运动 8 人对这两项运动都不 喜爱 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 答案 12 解析 设两者都喜欢的人数为人 则只喜爱篮球的有人 只喜爱乒乓球的有x 15 x 人 由此可得 解得 所以 即所 10 x 15 10 830 xxx 3x 1512x 求人数为 12 人 10 在的展开式中 的系数为 7 用数字作答 323 1 1 1 xxx x 答案 7 解析 由条件易知展开式中项的系数分别是 即 3333 1 1 1 xxx x 123 333 C C C 所求系数是33 17 11 若 x 0 则 2tanx tan x 的最小值为 2 2 2 2 答案 2 2 4 解析 由 知所以 0 2 x 1 tan0 tan cot0 2tan 当且仅当时取等号 即最小值是 1 2tantan 2tan2 2 2tan tan2 2 2 12 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中 有一个内角为 60 则双曲线 C 的离心率为 o 6 2 答案 6 2 解析 连虚轴一个端点 一个焦点及原点的三角形 由条件知 这个三角形的两边直角分 别是是虚半轴长 是焦半距 且一个内角是 即得 所以 b c bc 30 tan30 b c 3cb 所以 离心率2ab 36 22 c e a 13 一个总体分为 A B 两层 其个体数之比为 4 1 用分层抽样方法从总体中抽取一个容 量为 10 的样本 已知 B 层中甲 乙都被抽到的概率为 则总体中的个数数位 50 1 28 答案 40 解析 由条件易知层中抽取的样本数是 2 设层总体数是 则又由层中甲 乙都BBnB 被抽到的概率是 可得 所以总体中的个数是 2 2 2 n C C 1 28 8n 4 8840 14 在半径为 13 的球面上有 A B C 三点 AB 6 BC 8 CA 10 则 1 球心到平面 ABC 的距离为 12 2 过 B 两点的大圆面为平面 ABC 所成二面角为 锐角 的正切值为 3 答案 1 12 2 3 解析 1 由的三边大小易知此三角形是直角三角形 所以过三点小圆的ABC A B C 直径即为 10 也即半径是 5 设球心到小圆的距离是 则由 可得 d 222 513d 12d 2 设过三点的截面圆的圆心是中点是点 球心是点 则连三角形ABC 1 O ABDO 易知就是所求的二面角的一个平面角 所以 1 OOD 1 ODO 22 11 4 2 AB O DO A 5 即正切值是 3 1 1 1 12 3 4 OO ODO O D 15 将正 ABC 分割成 2 n N 个全等的小正三角形 图 2 图 3 分别给出了 n 2 3n 2 n 的情形 在每个三角形的顶点各放置一个数 使位于 ABC 的三遍及平行于某边的任一直线 上的数 当数的个数不少于 3 时 都分别一次成等差数列 若顶点 A B C 处的三个数互不 相同且和为 1 记所有顶点上的数之和为 f n 则有 f 2 2 f 3 f n n 1 10 3 1 6 n 2 15 答案 10 1 1 2 36 nn 解析 当 n 3 时 如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示 即由条件知 121212 1 abcxxab yybc zzca 121212122112 2 2 2xxyyzzabcgxyxzyz 121212 62 2gxxyyzzabc 即 121212 11110 3 1 3233 gfabcxxyyzzg 而 进一步可求得 由上知中有三个数 中 有 6 个数 中共有 10 个 4 5f 1 f 2 f 3 f 数相加 中有 15 个数相加 若中有个数相加 可得中 4 f 1 f n 1 1 n an f n 有个数相加 且由 1 1 n an 363331045 1 1 2 1 3 2 4 5 3 3333333 fffffff 可得所以 1 1 3 n f nf n 11113 1 2 1 3333333 nnnnnn f nf nf nf 113211 1 2 3333336 nnn nn 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 6 16 本小题满分 12 分 在 已知 求角 A B C 的大小 ABC 2 233AB ACABACBC 解 设 BCa ACb ABc 由得 所以23AB ACABAC 2cos3bcAbc 3 cos 2 A 又因此 0 A 6 A 由得 于是 2 33ABACBC 2 3bca 2 3 sinsin3sin 4 CBA 所以 因此 53 sinsin 64 CC 133 sin cossin 224 CCC 既 2 2sincos2 3sin3 sin23cos20CCCCC sin 2 0 3 C 由 A 知 所以 从而 6 5 0 6 C 3 4 2 33 C 或 既或故20 3 C 2 3 C 6 C 2 3 C 或 2 636 ABC 2 663 ABC 17 本小题满分 12 分 为拉动经济增长 某市决定新建一批重点工程 分别为基础设施工程 民生工程和产业建设 工程三类 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 现在 3 名工人独立地从 1 2 1 3 1 6 中任选一个项目参与建设 I 求他们选择的项目所属类别互不相同的概率 II 记为 3 人中选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程的人数 求 的分布列及数学期望 解 记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程 民生工程和产业建设工程分别为事件 i 1 2 3 由题意知相互独立 相互独立 相互独立 1 A 1 B 1 C 1 A 23 A A 1 B 23 B B 1 C 23 C C i j k 1 2 3 且 i j k 互不相同 相互独立 且 P P 1 A 1 B 1 C 1 A 1 B P 1 3 1 C 1 6 1 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 7 P 3 P 6P P P 6 1 A 2 B 3 C 1 A 2 B 3 C 1 2 1 3 1 6 1 6 2 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 由己已知 B 3 1 3 且 3 所以 P 0 P 3 1 3 C 3 1 3 1 27 P 1 P 2 2 3 C 3 1 3 2 3 2 9 P 2 P 1 1 3 C 1 3 2 2 3 4 9 P 3 P 0 0 3 C 3 2 3 8 27 故的分布是 0123 P 1 27 2 9 4 9 8 27 的数学期望 E 0 1 2 3 2 1 27 2 9 4 9 8 27 解法 2 第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件 1 D i 1 2 3 由此已知 D 相互独立 且 1 D 1 D P P P 1 D 1 A 1 C 1 A 1 C 1 2 1 6 2 3 所以 既 2 3 3 B 3 3 21 33 KKK PKC 0 1 2 3 k 故的分布列是 0 123 p 1 27 2 9 4 9 8 27 18 本小题满分 12 分 如图 4 在正三棱柱中 111 ABCABC 2ABAA 8 D 是的中点 点 E 在上 且 11 AB 11 ACDEAE I 证明平面平面ADE 11 ACC A II 求直线和平面所成角的正弦值 ADABC 解 I 如图所示 由正三棱柱的性质知平面 111 ABCABC 1 AA 111 ABC 又 DE平面 A B C 所以 DEAA 111 1 而 DEAE AAAE A 所以 DE平面 AC C A 又 DE平面 ADE 故平面 ADE平面 AC 1 11 C A 11 2 解法解法 1 1 如图所示 设 F 使 AB 的中点 连接 DF DC CF 由正三棱柱 ABC A B C 11 的性质及 D 是 A B 的中点知 A BC D A BDF 1 11 11 又 C DDF D 所以 A B平面 C DF 1 1 1 而 AB A B 所以 1 AB平面 C DF 又 AB平面 ABC 故 1 平面 AB C平面 C DF 1 1 过点 D 做 DH 垂直 C F 于点 H 则 DH平面 AB C 1 1 连接 AH 则HAD 是 AD 和平面 ABC所成的角 1 由已知 AB A A 不妨设 A A 则 AB 2 DF D C 2 11 22 1 3 9 C F AD DH 1 5 2 2 1 ADAA 3 FC DCDF 1 1 5 32 5 30 所以 sinHAD AD DH 5 10 即直线 AD 和平面 AB C 所成角的正弦值为 1 5 10 解法解法 2 2 如图所示 设 O 使 AC 的中点 以 O 为原点建立空 间直角坐标系 不妨设 A A 则 AB 2 相关各点的坐标分别是 1 2 A 0 1 0 B 0 0 C 0 1 D 3 1 2 2 3 2 1 2 易知 1 0 0 2 AB3 1 AC2AD 2 3 2 1 2 设平面 ABC 的法向量为 n x y z 则有 1 022 03 1 zyACn yxABn 解得 x y z 3 3 y2 故可取 n 1 36 所以 n cosAD ADn ADn 310 32 5 10 由此即知 直线 AD 和平面 AB C 所成角的正弦值为 1 5 10 19 本小题满分 13 分 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距米 余下工程只需要建两端桥墩之间的桥m 面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为 256 万元 距离为米的相邻两墩之间的桥面工x 程费用为万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 2 x x 10 记余下工程的费用为万元 y 试写出关于的函数关系式 yx 当 640 米时 需新建多少个桥墩才能使最小 my 解 设需要新建个桥墩 n 1 1 m nxm x 即n 所以 2 mm xx x xx y f x 256n n 1 2 x 256 1 256 2256 x m xm x 由 知 2 33 22 2 2561 512 22 mm fxmxx x x 令 得 所以 64 0fx 3 2 512x x 当 0 64 时0 在区间 64 640 内为增函数 64640 x fx f x 所以在 64 处取得最小值 此时 f xx 640 119 64 m n x 故需新建 9 个桥墩才能使最小 y 20 本小题满分 13 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P 到点 F 3 0 的距离的 4 倍与它到直线 x 2 的距离的 3 倍 之和记为 d 当 P 点运动时 d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 求点 P 的轨迹 C 设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M N 两点 求线段 MN 长 度的最大值 解 设点 P 的坐标为 x y 则 3 x 2 22 4 3 dxy 由题设 当 x 2 时 由 得 22 1 3 6 2 xyx 化简得 22 1 3627 xy 当时 由 得2x 22 3 3 xyx 11 化简得 2 12yx 故点 P 的轨迹 C 是椭圆在直线 x 2 的右 22 1 1 3627 xy C 侧部分与抛物线在直线 x 2 的左侧部分 2 2 12Cyx 包括它与直线 x 2 的交点 所组成的曲线 参见图 1 如图 2 所示 易知直线 x 2 与 的交点都是 1 C 2 C A 2 2 6 B 2 直线 AF BF 的斜率分别为 2 6 AF k2 6 BF k2 6 当点 P 在上时 由 知 1 C 1 6 2 PFx 当点 P 在上时 由 知 2 C 3PFx 若直线 l 的斜率 k 存在 则直线 l 的方程为 3 yk x i 当 k 或 k 即 k 2 时 直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M AF k BF k6 1 x 1 y N 都在 C 上 此时由 知 2 x 2 y 1 MF 6 NF 6 1 2 1 x 1 2 2 x 从而 MN MF NF 6 6 12 1 2 1 x 1 2 2 x 1 2 1 x 2 x 由 得 则 是这个方程的两根 所 22 3 1 3627 yk x xy 2222 34 24361080kxk xk 1 x 1 y 以 MN 12 12 1 x 2 x 2 2 24 34 k k 1 2 1 x 2 x 2 2 12 34 k k 因为当 2 2 6 6 24 kk 或k2时 12 2 2 2 1212100 1212 1 3411 4 k MN k k 当且仅当时 等号成立 2 6k 2 当时 直线 L 与轨迹 C 的两个交点 2 62 6 AEAN kkkk 分别在上 不妨设点在上 点上 则 知 1122 M x yN xy 12 C CM 1 C 2 C 12 1 6 3 2 MFxNFx 设直线 AF 与椭圆的另一交点为 E 1 C 00012 2 xyxx x 则 102 11 66 332 22 MFxxEFNFxAF 所以 而点 A E 都在上 且MNMFNFEFAFAE 1 C 有 1 知 2 6 AE k 100100 1111 AEMN 所以 若直线 的斜率不存在 则 3 此时 1 x 2 x 12 1100 12 9 211 MNxx 综上所述 线段 MN 长度的最大值为 100 11 21 本小题满分 13 分 对于数列若存在常数 M 0 对任意的 恒有 n un N 1121 nnnn uuuuuuM 则称数列为 B 数列 n u 1 首项为 1 公比为的等比数列是否为 B 数列 请说明理由 1 q q 请以其中一组的一个论断条件 另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假 并证明你的结论 2 设是数列的前项和 给出下列两组论断 n S n xn A 组 数列是 B 数列 数列不是 B 数列 n x n x B 组 数列是 B 数列 数列不是 B 数列 n S n S 13 请以其中一组中的一个论断为条件 另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假 并证明