2011届湖南地区高三数学第一轮复习 7.6数列的通项求法学案（学生版）

用心 爱心 专心 7 67 6 数列的通项求法数列的通项求法 一 学习目标 一 学习目标 掌握求数列通项公式的常用方法 二 自主学习 二 自主学习 课前检测课前检测 1 1 等差数列 n a是递增数列 前 n 项和为 n S 且 931 aaa成等比数列 2 55 aS 求数列 n a的通项公式 2 2 已知数列 n a的前n项和 n S满足1 1 2 naS n nn 求数列 n a的通项公式 3 3 已知数列 n a中 1 1a 2 1 0aaa 且1 a 其前n项和为 n S 且当 2n 时 1 111 nnn Saa 求证 数列 n S是等比数列 求数列 n a的通 项公式 考点梳理考点梳理 通项公式的求法 通项公式的求法 7 7 种方法 种方法 1 1 定义法与观察法 合情推理 不完全归纳法 定义法与观察法 合情推理 不完全归纳法 直接利用等差数列或等比数列的定义求 通项的方法叫定义法 这种方法适应于已知数列类型的题目 有的数列可以根据前几项观 察出通项公式 2 2 公式法 公式法 在数列 an 中 前 n 项和 Sn与通项 an的关系为 Nn 2 1 1 11 nSS nSa a nn n 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaa 3 3 构造法 构造法就是在解决某些数学问题的过程中 通过对条件与结论的充分剖析 有时会联 想出一种适当的辅助模型 如某种数量关系 某个直观图形 或者某一反例 以此促成命 题转换 产生新的解题方法 这种思维方法的特点就是 构造 若已知条件给的是数列的 递推公式要求出该数列的通项公式 此类题通常较难 但使用构造法往往给人耳目一新的 感觉 1 1 构造等差数列或等比数列 构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然 对于一些递推数列问题 若能构造等差数列 或等比数列 无疑是一种行之有效的构造方法 2 2 构造差式与和式 构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差 然后采用迭加的方法就可求得 这一数列的通项公式 3 3 构造商式与积式 构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式 然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法 4 4 构造对数式或倒数式 构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数 取倒数代数变形方法 可由复杂变为简单 使问题得以解决 4 4 归纳猜想证明法归纳猜想证明法 解法 数学归纳法解法 数学归纳法 5 5 已知数列 n a前n项之积 Tn 一般可求 Tn 1 则 an 1 n n T T 注意 不能忘记讨论 用心 爱心 专心 1 n 如 如 数列 n a中 对所有的 Nn都有 2 321 naaaa n 则 53 aa 6 6 由递推式求数列通项由递推式求数列通项 类型类型 1 1 递推公式为 1 nfaa nn 解法 解法 把原递推公式转化为 1 nfaa nn 利用累加法累加法 逐差相加法逐差相加法 求解 类型类型 2 2 1 递推公式为 nn anfa 1 解法 解法 把原递推公式转化为 1 nf a a n n 利用累乘法累乘法 逐商相乘法逐商相乘法 求解 2 由 nn anfa 1 和 1 a确定的递推数列 n a的通项可如下求得 由已知递推式有 1 1 nn anfa 21 2 nn anfa 12 1 afa 依次向前 代入 得 1 1 2 1 afnfnfan 这就是叠 迭 代法叠 迭 代法的基本模式 类型类型 3 3 递推公式为qpaa nn 1 其中 p q 均为常数 0 1 ppq 解法 解法 把原递推公式转化为 1 tapta nn 其中 p q t 1 再利用换元法换元法转化为 等比数列求解 7 7 周期数列周期数列 解法 解法 由递推式计算出前几项 寻找周期 三 合作探究 三 合作探究 题型题型 1 1 周期数列 例例 1 1 若数列 n a满足 1 2 1 12 2 1 0 2 1 nn nn n aa aa a 若 7 6 1 a 则 20 a 变式训练变式训练 1 1 20052005 湖南文 湖南文 5 5 已知数列 n a满足 13 3 0 11 Nn a a aa n n n 则 20 a A 0 B 3 C 3 D 2 3 题型题型 2 2 递推公式为 1 nfaa nn 求通项 用心 爱心 专心 例例 2 2 已知数列 n a 若满足29 1 a 2 12 1 nnaa nn 求 n a 变式训练变式训练 2 2 已知数列 n a满足 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 求 n a 题型题型 3 3 递推公式为 nn anfa 1 求通项 例例 3 3 已知数列 n a满足 3 2 1 a nn a n n a 1 1 求 n a 变式训练变式训练 3 3 已知3 1 a nn a n n a 23 13 1 1 n 求 n a 解 解 1 23 13 223 123 2 2 3 1 2 3 2 1 3 1 1 3 a n n n n an 34 375 26 3 31 348 531 nn nnn 题型题型 4 4 递推公式为qpaa nn 1 其中 p q 均为常数 0 1 ppq 求通项 例例 4 4 在数列 n a中 1 1a 当2n 时 有 1 32 nn aa 求 n a的通项公式 变式训练变式训练 4 4 在数列 an 中 若 a1 1 an 1 2an 3 n 1 则该数列的通项 an 2n 1 3 题型题型 5 5 构造法 构造法 1 1 构造等差数列或等比数列 构造等差数列或等比数列 例例 5 5 设各项均为正数的数列 n a的前 n 项和为 n S 对于任意正整数 n 都有等式 nnn Saa42 2 成立 求 n a的通项 n a 变式训练变式训练 5 5 数列 n a中前 n 项的和 nn anS 2 求数列的通项公式 n a 题型题型 6 6 构造法 构造法 2 2 构造差式与和式 构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差 然后采用迭加的方法就可求得 这一数列的通项公式 例例 6 6 设 n a是首项为 1 的正项数列 且0 1 2 1 2 nnnn nanaaa n N 求数列 的通项公式 an 题型题型 7 7 构造法 构造法 3 3 构造商式与积式 构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式 然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法 例例 7 7 数列 n a中 2 1 1 a 前 n 项的和 nn anS 2 求 1 n a 题型题型 8 8 构造法 构造法 4 4 构造对数式或倒数式 构造对数式或倒数式 用心 爱心 专心 有些数列若通过取对数 取倒数代数变形方法 可由复杂变为简单 使问题得以解决 例例 8 8 设正项数列 n a满足1 1 a 2 1 2 nn aa n 2 求数列 n a的通项公式 变式训练变式训练 5 5 已知数列 n a中 2 1 a n 2 时 13 37 1 1 n n n a a a 求通项公式 题型题型 9 9 归纳猜想证明归纳猜想证明 例例 9 9 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 且方程 x2 anx an 0 有一根为 Sn 1 n 1 2 3 求 a1 a2 an 的通项