2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷解析版）

1 20102010 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 北京卷 解析年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 北京卷 解析 版 版 本试卷分第 卷和第 卷两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 5 页 共 150 分 考 试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本 试卷和答题卡 第第 卷卷 选择题 共 140 分 名师简评 2010 年北京市的高考数学试题从整体看 体现 总体稳定 深化能力 的特 点 在保持 2009年特点的同时 又力争创新与变化 试题不仅注意对基础知识的考查 更 注重了对能力的考查 从考生角度来说 试卷总体难度 没有想象的那么难 试题有较好 的梯度 注重认知能力和数学运用能力的考查 稳中求新 1 忠实地遵循了 普通高中新课程标准教学要求 和 2010 年 考试说明 2 题型稳定 突出对基本知识但考查 全卷没有一道偏题 怪题 全卷结构 题型包括 难度基本稳定 填空题比较基础 平和 不需要太繁的计算 考生感觉顺手 许多试 题源于课本 略高于课本 3 把关题与往年相似 多题把关 有和好的区分度 如填空题第 14 题 第 19 题的第二 问 和第 20 题 更能有效区分不同能力层次的考生群体 4 深化能力立意 知识与能力并重 全卷在考查知识的同时 注重考查学生的数学基本 能力 许多试题实际上并不难 知识点熟悉 但需要考生自主综合知识 才能解决问 题 5 关注联系 有效考查数学思想方法 1 集合 2 03 9 PxZxMxZ x 则PMI A 1 2 B 0 1 2 C 1 2 3 D 0 1 2 3 2 在等比数列 n a中 1 1a 公比1q 若 12345m aa a a a a 则 m A 9 B 10 C 11 D 12 3 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的正 主 视图与侧 左 视图分别如右 图所示 则该几何体的俯视图为 2 4 8 名学生和 2 位第师站成一排合影 2 位老师不相邻的排法种数为 A 82 89 A A B 82 89 A C C 82 87 A A D 82 87 A C 5 极坐标方程 p 1 p 0 表示的图形是 A 两个圆 B 两条直线 C 一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 3 6 a b 为非零向量 ab 是 函数 f x xa b A xb a 为一次函数 的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 设不等式组 表示的平面区域为 D 若指数函数 y x a的图像上 存在区域 D 上的点 则 a 的取值范围是 A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 4 8 如图 正方体 ABCD 1111 ABC D的棱长为 2 动点 E F 在棱 11 AB上 动 点 P Q 分别在棱 AD CD 上 若 EF 1 1 AE x DQ y D 大于零 则四面体 PE 的 体积 与 都有关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 第第 IIII 卷 共卷 共 110110 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 5 9 在复平面内 复数 2 1 i i 对应的点的坐标为 10 在 ABC 中 若 b 1 c 3 2 3 C 则 a 11 从某小学随机抽取 100 名同学 将他们的身高 单位 厘米 数据绘制成频率分布 直方图 如图 由图中数据可知 a 若要从身高在 120 130 130 140 140 150 三组内的学生中 用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动 则 从身高在 140 150 内的学生中选取的人数应为 12 如图 Oe的弦 ED CB 的延长线交于点 A 若 BD AE AB 4 BC 2 AD 3 则 DE CE 6 13 已知双曲线 22 22 1 ab 的离心率为 2 焦点与椭圆 22 1 259 的焦点相同 那么 双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 14 如图放置的边长为 1 的正方形PABC沿 轴滚动 设顶点 P 的轨迹方程是 f 则函数 f 的最小正周期为 f 在其两个相邻零点间 的图象与 轴所围区域的面积为 说明 说明 正方形PABC沿 轴滚动 包括沿 轴正方向和沿 轴负方向滚动 沿 轴正方 向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转 当顶点B落在 轴上时 再以顶点 B 为中心 顺时针旋转 如此继续 类似地 正方形PABC可以沿 轴负方向滚动 14 答案 1 4 7 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 已知函数 f 2 2cos2sin4cos 求 3 f 的值 求 f 的最大值和最小值 后三个题型经常涉及正余弦定理 这一点需要引起重视 16 本小题共 14 分 8 如图 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直 CE AC EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面BDE 求证 CF 平面BDE 求二面角A BE D的大小 16 答案 9 17 本小题共 13 分 某同学参加 3 门课程的考试 假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 4 5 第二 第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p q p q 且不同课程是否取得优秀成绩相 10 互独立 记 为该生取得优秀成绩的课程数 其分布列为 0123 p 6 125 ad 24 125 求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率 求p q的值 求数学期望E 17 答案 11 18 本小题共 13 分 已知函数f x In 1 x x 2 2 x x k 0 当k 2 时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 求f x 的单调区间 18 答案 命题意图 本题主要考查了函数的求导 导数的几何意义及导数在单调性方面的应用 这 12 19 本小题共 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 B 与点 A 1 1 关于原点 O 对称 P 是动点 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 1 3 求动点 P 的轨迹方程 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x 3 交于点 M N 问 是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的 面积相等 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明理由 19 答案 13 20 本小题共 13 分 14 已知集合 121 0 1 1 2 2 nn SX Xx xxxin n 对于 12 n Aa aa 12 nn Bb bbS 定义 A 与 B 的差为 1122 nn ABababab A 与 B 之间的距离为 11 1 i d A