2011届高三数学全程复习05 第五编平面向量、解三角形（共39页）教学案 新人教版

第五编第五编 平面向量 解三角形平面向量 解三角形 5 1 5 1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 基础自测基础自测 1 下列等式正确的是 填序号 a a 0 0 a a a a b b b b a a 0 0 ABBAACDCABBD 答案答案 2 如图所示 在平行四边行 ABCD 中 下列结论中正确的是 0 0ABDCADABACABADBDADCB 答案答案 3 2008 2008 广东理 广东理 8 8 在平行四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 O E 是线段 OD 的中点 AE 的延长线与 CD 交于 点 F 若 a a b b 则 ACBDAF 答案答案 a a b b 3 2 3 1 4 若 ABCD 是正方形 E 是 DC 边的中点 且 a a b b 则 ABADBE 答案答案 b b a a 2 1 5 设四边形 ABCD 中 有 且 则这个四边形是 DC 2 1 ABADBC 答案答案 等腰梯形 更多成套系列资源请您访问 谢谢您对我们的帮助支持 例例 1 1 给出下列命题 向量的长度与向量的长度相等 ABBA 向量 a a 与向量 b b 平行 则 a a 与 b b 的方向相同或相反 两个有共同起点并且相等的向量 其终点必相同 两个有共同终点的向量 一定是共线向量 向量与向量是共线向量 则点 A B C D 必在同一条直线上 ABCD 有向线段就是向量 向量就是有向线段 其中假命题的个数为 A B C D 答案答案 4 4 例例 2 2 如图所示 若四边形 ABCD 是一个等腰梯形 AB DC M N 分别是 DC AB 的中点 已知 a a AB b b c c 试用 a a b b c c 表示 ADDCBCMN DNCN 解解 a a b b c c BCBAADDC MNMDDAAN MD 2 1 DCDAADAN 2 1 AB a a b b c c MN 2 1 2 1 2 a a 2b b c c DNCNDMMNCMMNMN 例例 3 3 设两个非零向量 a a 与 b b 不共线 1 若 a a b b 2a a 8b b 3 a a b b ABBCCD 求证 A B D 三点共线 2 试确定实数 k 使 ka a b b 和 a a kb b 共线 1 证明证明 a a b b 2a a 8b b 3 a a b b ABBCCD 2a a 8b b 3 a a b b BDBCCD 2a a 8b b 3a a 3b b 5 a a b b 5 AB 共线 ABBD 又 它们有公共点 B A B D 三点共线 2 解解 ka a b b 与 a a kb b 共线 存在实数 使 ka a b b a a kb b 即 ka a b b a a kb b k a a k 1 b b a a b b 是不共线的两个非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 例例 4 4 14 分 如图所示 在 ABO 中 OC 4 1 OA AD 与 BC 相交于点 M 设 a a b b 试OD 2 1 OBOAOB 用 a a 和 b b 表示向量 OM 解解 设 ma a nb b OM 则 ma a nb b a a m 1 a a nb b AMOMOA a a b b ADODOA 2 1 OBOA 2 1 又 A M D 三点共线 与共线 AMAD 存在实数 t 使得 t AMAD 即 m 1 a a nb b t a a b b 4 分 2 1 m 1 a a nb b ta a tb b 2 1 消去 t 得 m 1 2n 2 1 t n tm 即 m 2n 1 6 分 又 ma a nb b a a m a a nb b CMOMOC 4 1 4 1 b b a a a a b b CBOBOC 4 1 4 1 又 C M B 三点共线 与共线 10 分CMCB 存在实数 t1 使得 t1 CMCB m a a nb b t1 4 1 4 1 1 1 4 1 4 1 tn tm 消去 t1得 4m n 1 12 分 由 得 m n 7 1 7 3 a a b b 14 分OM 7 1 7 3 1 下列命题中真命题的个数为 若 a a b b 则 a a b b 或 a a b b 若 则 A B C D 是一个平行四边形的四个顶点 ABDC 若 a a b b b b c c 则 a a c c 若 a a b b b b c c 则 a a c c 答案答案 1 2 在 OAB 中 延长 BA 到 C 使 AC BA 在 OB 上取点 D 使 DB OB DC 与 OA 交于 E 设 a a b b 用 a a 3 1 OAOB b b 表示向量 OCDC 解解 因为 A 是 BC 的中点 所以 即 2 2a a b b OA 2 1 OBOCOCOAOB 2a a b b b b 2a a b b DCOCODOC 3 2 OB 3 2 3 5 3 若 a a b b 是两个不共线的非零向量 a a 与 b b 起点相同 则当 t 为何值时 a a tb b a a b b 三向量的终点在同 3 1 一条直线上 a a b b 解解 设 a a tb b a a b b OAOBOC 3 1 a a b b tb b a a ACOCOA 3 2 3 1 ABOBOA 要使 A B C 三点共线 只需 AC AB 即 a a b b tb b a a 3 2 3 1 有 t 3 1 3 2 2 1 3 2 t 当 t 时 三向量终点在同一直线上 2 1 4 如图所示 在 ABC 中 点 M 是 BC 的中点 点 N 在 AC 上 且 AN 2NC AM 与 BN 相交于点 P 求 AP PM 的值 解解 方法一方法一 设 e e1 e e2 BMCN 则 3e e2 e e1 AMACCM 2e e1 e e2 BNBCCN 因为 A P M 和 B P N 分别共线 所以存在实数 使 3AP AM e e2 e e1 2e e1 e e2 2 e e1 3 e e2 BP BN BABPAP 另外 2e e1 3e e2 BABCCA 33 22 5 3 5 4 AP PM 4 1 AP 5 4 AMBP 5 3 BN 方法二方法二 设 AP AM AM 2 1 ABAC 2 1 AB 4 3 AN AP 2 AB 4 3 AN B P N 三点共线 t APABABAN 1 t tAPABAN t t 4 3 1 2 1 AP PM 4 1 2 4 3 5 4 一 填空题一 填空题 1 下列算式中正确的是 填序号 0 0 0 0 0 a a a aABBCCAABACBCAB 答案答案 2 2008 2008 全国全国 理 理 在 ABC 中 c c b b 若点 D 满足 2 则 用 b b c c 表示 ABACBDDCAD 答案答案 b c 3 2 3 1 3 若 3e e1 5e e1 且 则四边形 ABCD 是 ABCDADBC 答案答案 等腰梯形 4 如图所示 平面内的两条相交直线 OP1和 OP2将该平面 分割成四个部分 不包括边界 若OP a 1 b2 且点 P 落在第 部分 则实数 a b 满足 OPOP a 0 b 0 用 或 填空 答案答案 5 设 x y 且 A B C 三点共线 该直线不过端点 O 则 x y OBOAOC 答案答案 1 6 已知平面内有一点 P 及一个 ABC 若 则点 P 在线段 上 PAPBPCAB 答案答案 AC 7 在 ABC 中 a a b b M 是 CB 的中点 N 是 AB 的中点 且 CN AM 交于点 P 则可用 a a b b 表示CACBAP 为 答案答案 a a b b 3 2 3 1 8 在 ABC 中 已知 D 是 AB 边上一点 若 2 则 ADDBCD 3 1 CA CB 答案答案 3 2 二 解答题二 解答题 9 如图所示 ABC 中 DE BC 交 AC 于 E AM 是 BC 边上中线 交 DE 于 N 设AD 3 2 AB a a b 用 a a b b 分别表示向量 ABACAEBCDEDN AM AN 解解 b b ABAD BCDE 3 2 AE 3 2 AC 3 2 b b a a BCACAB 由 ADE ABC 得 b b a a DE 3 2 BC 3 2 由 AM 是 ABC 的中线 BC 得DE b b a a DN 2 1 DE 3 1 而且 a a a a b b a a AMABBM 2 1 BC 2 1 a a b b 2 1 a a b b ABAD ABMADN 3 2 AN 3 2 AM 3 1 10 如图所示 在 ABC 中 D F 分别是 BC AC 的中点 a a b b AE 3 2 ADABAC 1 用 a a b b 表示向量 ADAEAFBEBF 2 求证 B E F 三点共线 1 解解 延长到 G 使 ADAD 2 1 AG 连接 BG CG 得到 ABGC 所以 a a b b AG a a b b AD 2 1 AG 2 1 a a b b AE 3 2 AD 3 1 b b AF 2 1 AC 2 1 a a b b a a b b 2a a BEAEAB 3 1 3 1 b b a a b b 2a a BFAFAB 2 1 2 1 2 证明证明 由 1 可知 所以 B E F 三点共线 BE 3 2 BF 11 已知 任意四边形 ABCD 中 E F 分别是 AD BC 的中点 求证 EF 2 1 ABDC 证明证明 方法一方法一 如图 E F 分别是 AD BC 的中点 0 0 0 0 EAEDFBFC 又 0 0 ABBFFEEA EFABBFEA 同理 EFEDDCCF 由 得 2 EFABDCEAEDBFCFABDC EF 2 1 ABDC 方法二方法二 连结 EBEC 则 ECEDDC EBEAAB EF 2 1 ECEB 2 1 EDDCEAAB 2 1 ABDC 12 已知点 G 为 ABC 的重心 过 G 作直线与 AB AC 两边分别交于 M N 两点 且 x y AMABANAC 求 的值 x 1 y 1 解解 根据题意 G 为三角形的重心 故 AG 3 1 ABAC xMGAGAM 3 1 ABACAB x 3 1 AB 3 1 AC y GNANAGACAG y AC 3 1 ABAC y 3 1 AC 3 1 AB 由于与共线 根据共线向量基本定理知MGGN x MG GN 3 1 AB 3 1 AC ABACy 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 y x 3 1 3 1 x 3 1 3 1 y x y 3xy 0 两边同除以 xy 得 3 x 1 y 1 5 2 5 2 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 基础自测基础自测 1 已知平面向量 a a 1 1 b b 1 1 则向量a a b b 2 1 2 3 答案答案 1 2 2 2008 2008 安徽理 安徽理 在平行四边形 ABCD 中 AC 为一条对角线 若 2 4 1 3 则 ABACBD 答案答案 3 5 3 若向量 a a 1 1 b b 1 1 c c 2 1 则 c c 用 a a b b 表示 答案答案 a a b b 2 1 2 3 4 已知向量 a a b b x 1 其中 x 0 若 a a 2b b 2a a b b 则 x 的值为 x 2 1 8 答案答案 4 5 设 a a b b 且 a a b b 则锐角 x 为 4 3 sin x x cos 2 1 3 1 答案答案 4 例例 1 1 设两个非零向量 e e1和 e e2不共线 1 如果 e e1 e e2 3e e1 2e e2 8e e1 2e e2 ABBCCD 求证 A C D 三点共线 2 如果 e e1 e e2 2e e1 3e e2 2e e1 ke e2 且 A C D 三点共线 求 k 的值 ABBCCD 1 证明证明 e e1 e e2 3e e1 2e e2 8e e1 2e e2 ABBCCD 4e e1 e e2ACABBC 8e e1 2e e2 2 1 2 1 CD 与共线 ACCD 又 与有公共点 C ACCD A C D 三点共线 2 解解 e e1 e e2 2e e1 3e e2 3e e1 2e e2 ACABBC A C D 三点共线 与共线 从而存在实数使得 ACCD AC CD 即 3e e1 2e e2 2e e1 ke e2 由平面向量的基本定理 得 解之得 k k 2 23 3 2 3 4 例例 2 2 已知点 A 1 0 B 0 2 C 1 2 求以 A B C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标 解解 设 D 的坐标为 x y 1 若是 ABCD 则由 得ABDC 0 2 1 0 1 2 x y 即 1 2 1 x 2 y x 0 y 4 22 11 y x D 点的坐标为 0 4 如图中的 D1 2 若是 ADBC 则由 得ADCB x y 1 0 0 2 1 2 即 x 1 y 1 4 解得 x 2 y 4 D 点坐标为 2 4 如图中的 D2 3 若是 ABDC 则由 得ABCD 0 2 1 0 x y 1 2 即 1 2 x 1 y 2 解得 x 2 y 0 D 点的坐标为 2 0 如图中的 D3 综上所述 以 A B C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标为 0 4 或 2 4 或 2 0 例例 3 3 14 分 平面内给定三个向量 a a 3 2 b b 1 2 c c 4 1 回答下列问题 1 若 a a kc c 2b b a a 求实数 k 2 设 d d x y 满足 d d c c a a b b 且 d d c c 1 求 d d 解解 1 a a kc c 2b b a a 又 a a kc c 3 4k 2 k 2b b a a 5 2 2 分 2 3 4k 5 2 k 0 4 分 k 6 分 13 16 2 d d c c x 4 y 1 a b 2 4 又 d d c c a a b b 且 d d c c 1 10 分 114 01244 22 yx yx 解得或 12 分 5 52 1 5 5 4 y x 5 52 1 5 5 4 y x d d 或 d d 14 分 5 525 5 520 5 525 5 520 1 如图所示 在平行四边形 ABCD 中 M N 分别为 DC BC 的中点 已知 c c d d 试用 c c d d 表示AMAN ABAD 解解 方法一方法一 设 a a b b ABAD 则 a a d d ANNB b b 2 1 b b c c AMMD a a 2 1 将 代入 得 a a d d 2 1 a ac c 2 1 a a c c 代入 d d 3 4 3 2 得 b b c c c c d d 2 1 c cd d 3 2 3 4 3 4 3 2 即 d d c c c c d dAB 3 4 3 2 AD 3 4 3 2 方法二方法二 设 a a b b ABAD 因 M N 分别为 CD BC 的中点 所以 b b a a BN 2 1 DM 2 1 因而 b ba ad d a ab bc c 2 1 2 1 2 3 2 2 3 2 d dc cb b c cd da a 即 2d d c c 2c c d d AB 3 2 AD 3 2 2 已知 A 2 4 B 3 1 C 3 4 且 3 2 求点 M N 及的坐标 CMCACNCBMN 解解 A 2 4 B 3 1 C 3 4 1 8 6 3 CACB 3 3 24 2 12 6 CMCACNCB 设 M x y 则有 x 3 y 4 CM 244 33 y x 20 0 y x M 点的坐标为 0 20 同理可求得 N 点坐标为 9 2 因此 9 18 MN 故所求点 M N 的坐标分别为 0 20 9 2 的坐标为 9 18 MN 3 已知 A B C 三点的坐标分别为 1 0 3 1 1 2 并且 AE 3 1 ACBF 3 1 BC 求证 EFAB 证明证明 设 E F 两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则依题意 得 2 2 2 3 ACBC 4 1 AB AE 3 1 AC 3 2 3 2 BF 3 1 BC 1 3 2 x y 1 0 AE 11 3 2 3 2 x y 3 1 BF 22 1 3 2 AEACBF BC 一 填空题一 填空题 1 已知向量 a a 2 3 b b 1 2 若 ma a nb b 与 a a 2b b 共线 则 n m 答案答案 2 1 2 设 a a b b 是不共线的两个非零向量 已知 2a a pb b a a b b a a 2b b 若 A B D 三点共线 则ABBCCD p 的值为 答案答案 1 3 已知向量 3 2 5 1 则 OMON 2 1 MN 答案答案 2 1 4 4 2007 2007 北京文 北京文 已知向量 a a 2 4 b b 1 1 若向量 b b a a b b 则实数的值是 答案答案 3 5 2008 2008 辽宁文 辽宁文 已知四边形 ABCD 的顶点 A 0 2 B 1 2 C 3 1 且 2 则顶点 DBCAD 的坐标为 答案答案 2 7 2 6 设 0 2 已知两个向量 cos sin 2 sin 2 cos 则向量长度的 1 OP 2 OP 21P P 最大值是 答案答案 32 7 2008 2008 全国全国 文 文 设向量 a a 1 2 b b 2 3 若向量a a b b 与向量 c c 4 7 共线 则 答案答案 2 8 2008 2008 菏泽模拟 菏泽模拟 已知向量 m m a 2 2 n n 2 b 2 m m n n a 0 b 0 则 ab 的最小值是 答案答案 16 二 解答题二 解答题 9 已知 A 2 4 B 3 1 C 3 4 设 a a b b c c 且 3c c 2b b ABBCCACMCN 1 求 3a a b b 3c c 2 求满足 a a mb b nc c 的实数 m n 解解 由已知得 a a 5 5 b b 6 3 c c 1 8 EF EF AB AB 1 3a a b b 3c c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 2 mb nc 6m n 3m 8n 解得 583 56 nm nm 1 1 n m 10 若 a a b b 为非零向量且 a a b b 1 2 R R 且12 0 0 求证 求证 1a a 2b b 与1a a 2b b 为共线向量 证明证明 设 a a x1 y1 b b x2 y2 a a b b b b 0 0 a a 0 0 存在实数 m 使得 a a mb b 即 a a x1 y1 mx2 my2 1a a 2b b m1 2 x2 m1 2 y2 m 1 2 x2 y2 同理 1a a 2b b m1 2 x2 y2 1a a 2b b 1a a 2b b b b 而 b b 0 0 1a a 2b b 1a a 2b b 11 在 ABCD 中 A 1 1 6 0 点 M 是线段 AB 的中点 线段 CM 与 BD 交于点 P AB 1 若 3 5 求点 C 的坐标 AD 2 当 时 求点 P 的轨迹 ABAD 解解 1 设点 C 坐标为 x0 y0 又 3 5 6 0 9 5 ACADAB 即 x0 1 y0 1 9 5 x0 10 y0 6 即点 C 10 6 2 由三角形相似 不难得出 2PCMP 设 P x y 则 x 1 y 1 6 0 x 7 y 1 BPAPAB 3ACAMMC 2 1 ABMP 3 2 1 ABAP 2 1 AB 3 3 x 1 3 y 1 6 0 APAB 3x 9 3y 3 ABCD 为菱形 ABAD AC BD 即 x 7 y 1 3x 9 3y 3 0 ACBP x 7 3x 9 y 1 3y 3 0 x2 y2 10 x 2y 22 0 y 1 x 5 2 y 1 2 4 y 1 故点 P 的轨迹是以 5 1 为圆心 2 为半径的圆去掉与直线 y 1 的两个交点 12 A 2 3 B 5 4 C 7 10 当为何值时 APAB AC 1 点 P 在第一 三象限的角平分线上 2 点 P 到两坐标轴的距离相等 解解 1 由已知 3 1 5 7 ABAC 则 3 1 5 7 3 5 1 7 AB AC 设 P x y 则 x 2 y 3 AP 713 532 y x 74 55 y x 点 P 在第一 三象限的角平分线上 x y 即 5 5 4 7 2 1 2 若点 P 到两坐标轴的距离相等 则 x y 即 5 5 4 7 或 2 1 4 3 1 已知 a a 2 3 b b 4 7 则 a a 在 b b 方向上的投影为 答案答案 5 65 2 在边长为 1 的正三角形 ABC 中 设 a a c c b b 则 a a b b b b c c c c a a BCABAC 答案答案 2 1 3 向量 a cos15 sin15 b sin15 cos15 则 a a b b 的值是 答案答案 3 4 2009 2009 常州市武进区四校高三联考 常州市武进区四校高三联考 已知向量 a a 2 1 b b 3 0 若 2a a b b b b 则 答案答案 3 5 2008 2008 浙江理浙江理 已知 a a b b 是平面内两个互相垂直的单位向量 若向量 c c 满足 a a c c b b c c 0 0 则 c c 的最大值是 答案答案 2 例例 1 1 已知向量 a a xx 2 3 sin 2 3 cos b b 且 x 2 sin 2 cos xx 4 3 1 求 a a b b 及 a a b b 2 若 f x a a b b a a b b 求 f x 的最大值和最小值 解解 1 a a b b cosxcos sinxsin cos2x 2 3 2 x 2 3 2 x a a b b 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos x x xx 2 由 1 可得 f x cos2x 2cosx 2cos2x 2cosx 1 当 cosx 时 f x 取得最小值为 2 1 2 3 当 cosx 1 时 f x 取得最大值为 1 例例 2 2 已知 a a cos sin b b cos sin 0 1 求证 a a b b 与 a a b b 互相垂直 2 若 ka a b b 与 a a kb b 的模相等 求 其中 k 为非零实数 1 证明证明 a a b b a a b b a a2 b b2 a a 2 b b 2 cos2 sin2 cos2 sin2 0 a a b b 与 a a b b 互相垂直 2 解解 ka a b b kcos cos ksin sin a a kb b cos kcos sin ksin b ba a k 1 cos 2 2 kk b ba ak cos 21 2 kk b ba a kb ba ak cos 2 cos 2 kk 又 k0 cos 0 而 0 2 例例 3 3 14 分 设两个向量 e e1 e e2满足 e e1 2 e e2 1 e e1与 e e2的夹角为 若向量 2te e1 7e e2与 e e1 te e2的夹 3 角为钝角 求实数 t 的范围 解解 由向量 2te e1 7e e2与 e e1 te e2的夹角为钝角 得 0 3 分 2121 212 72 72 eeee eee 即 2te e1 7e e2 e e1 te e2 0 化简即得 2t2 15t 7 0 解得 7 t 7 分 2 1 当夹角为时 也有 2te1 7e e2 e e1 te e2 0 但此时夹角不是钝角 2te e1 7e e2与 e e1 te e2反向 9 分 设 2te e1 7e e2 e e1 te e2 0 可求得 12 分 0 7 2 t t 2 14 14 t te e1t tt 所求实数 t 的范围是 14 分 2 14 7 2 1 2 14 1 向量 a a cos23 cos67 向量 b b cos68 cos22 1 求 a a b b 2 若向量 b b 与向量 m m 共线 u u a a m m 求 u u 的模的最小值 解解 1 a a b b cos23 cos68 cos67 cos22 cos23 sin22 sin23 cos22 sin45 2 2 2 由向量 b b 与向量 m 共线 得 m b b R R u a a m a a b b cos23 cos68 cos67 cos22 cos23 sin22 sin23 cos22 u 2 cos23 sin22 2 sin23 cos22 2 2 1 2 2 2 2 2 1 当 时 u 有最小值为 2 2 2 2 2 已知平面向量 a a b b 1 2 3 2 1 3 1 证明 a a b b 2 若存在不同时为零的实数 k t 使 x a a t2 2 b b y ka a t2b b 且 x x y y 试把 k 表示为 t 的函数 1 证明证明 a a b b 2 3 2 1 1 3 1 0 2 1 3 2 3 a a b b 2 解解 x x y y x x y y 0 即 a a t2 2 b b ka a t2b b 0 展开得 ka a2 t2 k t2 2 a a b b t2 t2 2 b2 0 a a b b 0 a a2 a a 2 1 b b2 b b 2 4 k 4t2 t2 2 0 k f t 4t2 t2 2 3 设 a a cos sin b cos sin 且 a 与 b 具有关系 ka a b b a a kb b k 0 3 1 用 k 表示 a a b b 2 求 a a b b 的最小值 并求此时 a a 与 b b 的夹角 解解 1 ka a b b a a kb b 3 ka a b b 2 3 a a kb b 2 且 a a b b 1 即 k2 1 2ka a b 3 1 k2 2ka a b b 4ka a b b k2 1 a a b b k 0 k k 4 1 2 2 由 1 知 k 0 a a b b k k k k1 2 4 1 4 1 4 2 1 a a b b 的最小值为 当且仅当 k 1 时等号成立 2 1 设 a a b b 的夹角为 此时 cos b ba a b ba a 2 1 0 0 3 故 a a b b 的最小值为 此时向量 a a 与 b b 的夹角为 2 1 3 一 填空题一 填空题 1 点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点 满足 则点 O 是 ABC 的 心 OAOBOBOCOCOA 答案答案 垂 2 若向量 a a b b 满足 a a 1 b b 2 a a 与 b b 的夹角为 60 则 a a b b b b b b 的值为 答案答案 5 3 已知向量 a a b b 满足 a a 1 b b 4 且 a a b b 2 则 a a 与 b b 的夹角为 答案答案 3 4 若 a a 与 b b c c 都是非零向量 则 a a b b a a c c 是 a a b b c c 的 条件 答案答案 充要 5 已知 a a b b 是非零向量 且满足 a a 2b b a a b b 2a a b b 则 a a 与 b b 的夹角是 答案答案 3 6 2009 2009 成化高级中学高三期中 成化高级中学高三期中 已知 3a a 4b b 5c c 0 0 且 a a b b c c 1 则 a a b b c c 答案答案 5 3 7 2008 2008 天津理 天津理 1414 如图所示 在平行四边形 ABCD 中 1 2 3 2 则 ACBDADAC 答案答案 3 8 2008 2008 江西理 江西理 1313 直角坐标平面内三点 A 1 2 B 3 2 C 9 7 若 E F 为线段 BC 的三等分点 则 AEAF 答案答案 22 二 解答题二 解答题 9 已知平面上三个向量 a a b b c c 的模均为 1 它们相互之间的夹角均为 120 1 求证 a a b b c c 2 若 ka a b b c c 1 k R R 求 k 的取值范围 1 证明证明 a a b b c c a a c c b b c c a a c c cos120 b b c c cos120 0 a a b b c c 2 解解 ka a b b c c 1 ka a b b c c 2 1 k2a a2 b b2 c c2 2ka a b b 2ka a c c 2b b c c 1 a a b b c c 1 且 a a b b c c 的夹角均为 120 a a2 b b2 c c2 1 a a b b b b c c a a c c 2 1 k2 1 2k 1 即 k2 2k 0 k 2 或 k 0 10 已知 a a 且 3 2 cos 3 2 sin 3 4 cos 3 4 sin b b 3 0 1 求的最值 b ba a b ba a 2 若 ka a b b a a kb b k R R 求 k 的取值范围 3 解解 1 a a b b sin sin cos cos cos2 3 4 3 2 3 4 3 2 a a b b 2 a a 2 b b 2 2a a b b 2 2cos2 4cos2 cos a a b b 2cos 3 0 1 2 1 cos b ba a b ba a cos2 2cos cos2 1 令 t cos 则 t 1 1 0 2 1 t t 2 1 2 2 1 t t 在 t 上为增函数 t 2 1 1 2 1 t 2 1 t 2 1 2 1 即所求式子的最大值为 最小值为 2 1 2 1 2 由题设可得 ka a b b 2 3 a a kb b 2 ka a b b 2 3 a a kb b 2 又 a a b b 1 a a b b cos2 cos2 k k 4 1 2 由 得 cos2 1 3 0 2 1 1 解得 k 2 2 1 2 1 k k 4 1 2 33 11 设 n n 和 m m 是两个单位向量 其夹角是 60 求向量 a a 2m m n n 与 b b 2n n 3m m 的夹角 解解 由 m m 1 n n 1 夹角为 60 得 m m n n 2 1 则有 a a 2m m n n 2 2 nm 22 44nn mm 7 b b 2 32 mn 22 9124mnmn 7 而 a a b b 2m m n n 2n n 3m m m m n n 6m m2 2n n2 2 7 设 a a 与 b b 的夹角为 则 cos 故 a a b b 夹角为 120 b ba a b ba a 7 2 7 2 1 12 已知向量 a a x 若函数 f x a a b b a a b b 的最小值为 222 3 2 3x sin x cos x sin x cosb b 2 0 2 1 求实数的值 2 3 解解 a a 1 b b 1 x 2 0 a a b b coscos sinsin cos2x 2 3x 2 x 2 3x 2 x a a b b 2 b ba a 22 2b bb ba aa a 2 2cosx x2cos22 xcos f x cos2x cosx 2cos2x cosx 1 2 1 cosx 0 1 2 4 cos x 8 2 当 0 时 取 cosx 0 此时 f x 取得最小值 并且 f x min 1 不合题意 2 3 当 0 4 时 取 cosx 4 此时 f x 取得最小值 并且 f x min 1 解得 2 8 2 2 3 当 4 时 取 cosx 1 此时 f x 取得最小值 并且 f x min 1 2 3 解得 不符合 4 舍去 2 2 5 5 4 5 4 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 1 2008 2008 陕西理 陕西理 3 3 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 c b B 120 则 26 a 答案答案 2 2 2008 2008 福建理 福建理 1010 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a2 c2 b2 tanB ac 则角3 B 的值为 答案答案 或 3 3 2 3 下列判断中不正确的结论的序号是 ABC 中 a 7 b 14 A 30 有两解 ABC 中 a 30 b 25 A 150 有一解 ABC 中 a 6 b 9 A 45 有两解 ABC 中 b 9 c 10 B 60 无解 答案答案 4 在 ABC 中 A 60 AB 5 BC 7 则 ABC 的面积为 答案答案 103 5 2008 2008 浙江理 浙江理 1313 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 b c cosA acosC 则3 cosA 答案答案 3 3 例例 1 1 在在 ABCABC 中 已知中 已知 a a b b B B 45 45 求求 A A C C 和和 c c 32 解解 B 45 90 且 asinB b a ABC 有两解 由正弦定理得 sinA b Basin 2 45sin3 2 3 则 A 为 60 或 120 当 A 60 时 C 180 A B 75 c B Cb sin sin 45sin 75sin2 45sin 3045sin 2 2 26 当 A 120 时 C 180 A B 15 c B Cb sin sin 45sin 15sin2 45sin 3045sin 2 2 26 故在 ABC 中 A 60 C 75 c 或 2 26 A 120 C 15 c 2 26 例例 2 2 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 C B cos cos ca b 2 1 求角 B 的大小 2 若 b a c 4 求 ABC 的面积 13 解解 1 由余弦定理知 cosB ac bca 2 222 cosC ab cba 2 222 将上式代入 得 C B cos cos ca b 2 ac bca 2 222 222 2 cba ab ca b 2 整理得 a2 c2 b2 ac cosB ac bca 2 222 ac ac 2 2 1 B 为三角形的内角 B 3 2 2 将 b a c 4 B 代入13 3 2 b2 a2 c2 2accosB 得 b2 a c 2 2ac 2accosB b2 16 2ac ac 3 2 1 1 S ABC acsinB 2 1 4 33 例例 3 3 14 分 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 b2 c2 a2 bc 0 1 求角 A 的大小 2 若 a 求 bc 的最大值 3 3 求的值 cb Ca 30sin 解解 1 cosA 2 分 bc acb 2 222 bc bc 2 2 1 又 A 0 180 A 120 4 分 2 由 a 得 b2 c2 3 bc 3 又 b2 c2 2bc 当且仅当 c b 时取等号 3 bc 2bc 当且仅当 c b 时取等号 6 分 即当且仅当 c b 1 时 bc 取得最大值为 1 8 分 3 由正弦定理得 2R C c B b A a sinsinsin 10 分 CRBR CAR cb Ca sin2sin2 30sin sin2 30sin 11 分 CB CA sinsin 30sin sin 12 分 CC CC sin 60sin sin 2 3 cos 2 1 2 3 13 分 CC CC sin 2 3 cos 2 3 sin 4 3 cos 4 3 14 分 2 1 例例 4 4 在 ABC 中 a b c 分别表示三个内角 A B C 的对边 如果 a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B 判断三角形的形状 解解 方法一方法一 已知等式可化为 a2 sin A B sin A B b2 sin A B sin A B 2a2cosAsinB 2b2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为 sin2AcosAsinB sin2BcosBsinA sinAsinB sinAcosA sinBcosB 0 sin2A sin2B 由 0 2A 2B 2 得 2A 2B 或 2A 2B 即 A B 或 A B ABC 为等腰或直角三角形 2 方法二方法二 同方法一可得 2a2cosAsinB 2b2sinAcosB 由正 余弦定理 可得 a2b b2a bc acb 2 222 ac bca 2 222 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 即 a2 b2 a2 b2 c2 0 a b 或 a2 b2 c2 ABC 为等腰或直角三角形 1 1 ABC 中 a 8 B 60 C 75 求 b 2 ABC 中 B 30 b 4 c 8 求 C A a 解解 1 由正弦定理得 B b A a sinsin B 60 C 75 A 45 b 4 45sin 60sin8 sin sin A Ba 6 2 由正弦定理得 sinC 1 4 30sin8sin b Bc 又 30 C 150 C 90 A 180 B C 60 a 4 22 bc 3 2 已知 ABC 中 三个内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 ABC 的面积为 S 且 2S a b 2 c2 求 tanC 的值 解解 依题意得 absinC a2 b2 c2 2ab 由余弦定理知 a2 b2 c2 2abcosC 所以 absinC 2ab 1 cosC 即 sinC 2 2cosC 所以 2sincos 4cos2 2 C 2 C 2 C 化简得 tan 2 2 C 从而 tanC 2 tan1 2 tan2 2C C 3 4 3 2008 2008 辽宁理 辽宁理 1717 在 ABC 中 内角 A B C 对边的边长分别是 a b c 已知 c 2 C 3 1 若 ABC 的面积等于 求 a b 的值 3 2 若 sinC sin B A 2sin2A 求 ABC 的面积 解解 1 由余弦定理及已知条件 得 a2 b2 ab 4 又因为 ABC 的面积等于 3 所以absinC 所以 ab 4 2 1 3 联立方程组 解得 4 4 22 ab abba 2 2 b a 2 由题意得 sin B A sin B A 4sinAcosA 即 sinBcosA 2sinAcosA 当 cosA 0 时 A B a b 2 6 3 34 3 32 当 cosA 0 时 得 sinB 2sinA 由正弦定理得 b 2a 联立方程组 解得 2 4 22 ab abba 3 34 3 32 b a 所以 ABC 的面积 S absinC 2 1 3 32 4 已知 ABC 的三个内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a b c 成等差数列 且 2cos2B 8cosB 5 0 求角 B 的大小并判断 ABC 的形状 解解 方法一方法一 2cos2B 8cosB 5 0 2 2cos2B 1 8cosB 5 0 4cos2B 8cosB 3 0 即 2cosB 1 2cosB 3 0 解得 cosB 或 cosB 舍去 cosB 2 1 2 3 2 1 0 B B 3 a b c 成等差数列 a c 2b cosB ac bca 2 222 ac ca ca 2 2 222 2 1 化简得 a2 c2 2ac 0 解得 a c 又 B ABC 是等边三角形 3 方法二方法二 2cos2B 8cosB 5 0 2 2cos2B 1 8cosB 5 0 4cos2B 8cosB 3 0 即 2cosB 1 2cosB 3 0 解得 cosB 或 cosB 舍去 2 1 2 3 cosB 0 B B 2 1 3 a b c 成等差数列 a c 2b 由正弦定理得 sinA sinC 2sinB 2sin 3 3 sinA sin A 3 2 3 sinA sin cos Acos 3 2 Asin 3 2 3 化简得sinA cosA sin 1 2 3 2 3 3 6 A A A 6 2 3 C ABC 为等边三角形 3 一 填空题一 填空题 1 在 ABC 中 若 2cosBsinA sinC 则 ABC 一定是 三角形 答案答案 等腰 2 在 ABC 中 A 120 AB 5 BC 7 则的值为 C B sin sin 答案答案 5 3 3 已知 ABC 的三边长分别为 a b c 且面积 S ABC b2 c2 a2 则 A 4 1 答案答案 45 4 在 ABC 中 BC 2 B 若 ABC 的面积为 则 tanC 为 3 2 3 答案答案 3 3 5 在 ABC 中 a2 c2 b2 ab 则 C 答案答案 60 6 ABC 中 若 a4 b4 c4 2c2 a2 b2 则 C 答案答案 45 或 135 7 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 a 1 b c 则 B 73 答案答案 6 5 8 某人向正东方向走了 x 千米 他右转 150 然后朝新方向走了 3 千米 结果他离出发点恰好千米 3 那么 x 的值是 答案答案 或 233 二 解答题二 解答题 9 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 并且 a2 b b c 1 求证 A 2B 2 若 a b 判断 ABC 的形状 3 1 证明证明 因为 a2 b b c 即 a2 b2 bc 所以在 ABC 中 由余弦定理可得 cosB ac bca 2 222 ac bcc 2 2 a cb 2 ab a 2 2 b a 2B A sin2 sin 所以 sinA sin2B 故 A 2B 2 解解 因为 a b 所以 3 b a 3 由 a2 b b c 可得 c 2b cosB ac bca 2 222 2 222 34 43 b bbb 2 3 所以 B 30 A 2B 60 C 90 所以 ABC 为直角三角形 10 2008 2008 全国全国 理 理 1717 在 ABC 中 cosB cosC 13 5 5 4 1 求 sinA 的值 2 ABC 的面积 S ABC 求 BC 的长 2 33 解解 1 由 cosB 得 sinB 13 5 13 12 由 cosC 得 sinC 5 4 5 3 所以 sinA sin B C sinBcosC cosBsinC