2011—2012学年高中数学 第1章 立体几何1.2.2空间两条直线的位置关系同步教学案 苏教版必修2

1 1 1 2 2 2 2 空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 课时目标 1 会判断空间两直线的位置关系 2 理解两异面直线的定义及判定定 理 会求两异面直线所成的角 3 能用公理 4 及等角定理解决一些简单的相关证明 1 空间两条直线的位置关系有且只有三种 2 公理 4 平行于同一条直线的两条直线 3 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 那么这两 个角 4 异面直线 1 定义 的两条直线叫做异面直线 2 判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过该点的直线是 5 异面直线所成的角 直线 a b 是异面直线 经过空间任一点 O 作直线 a b 使 我们把 a 与 b 所成的 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 如果两条直线所成的角是 那么我们就说这两条异面直线互相垂直 两条异面 直线所成的角 的取值范围是 一 填空题 1 若空间两条直线 a b 没有公共点 则其位置关系是 2 若 a 和 b 是异面直线 b 和 c 是异面直线 则 a 和 c 的位置关系是 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 与对角线 AC1异面的棱共有 条 4 空间四边形的两条对角线相互垂直 顺次连结四边中点的四边形的形状是 5 给出下列四个命题 垂直于同一直线的两条直线互相平行 平行于同一直线的两直线平行 若直线 a b c 满足 a b b c 则 a c 若直线 l1 l2是异面直线 则与 l1 l2都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是 6 有下列命题 两条直线和第三条直线成等角 则这两条直线平行 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形 经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直 若 AOB A1O1B1 且 OA O1A1 则 OB O1B1 其中正确命题的序号为 7 空间两个角 且 与 的两边对应平行且 60 则 为 8 已知正方体 ABCD A B C D 中 1 BC 与 CD 所成的角为 2 AD 与 BC 所成的角为 9 一个正方体纸盒展开后如图所示 在原正方体纸盒中有如下结论 2 AB EF AB 与 CM 所成的角为 60 EF 与 MN 是异面直线 MN CD 以上结论中正确结论的序号为 二 解答题 10 已知棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是棱 CD AD 的中点 求证 1 四边形 MNA1C1是梯形 2 DNM D1A1C1 11 如图所示 在空间四边形 ABCD 中 AB CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30 E F 分别 是 BC AD 的中点 求 EF 与 AB 所成角的大小 能力提升 12 如图所示 G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线 GH MN 是异面直线的图形有 填序号 3 13 如图所示 在正方体 AC1中 E F 分别是面 A1B1C1D1和 AA1D1D 的中心 则 EF 和 CD 所成的角是 1 判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行 相交 异面的定义 很多情况下 定义就是一种常用的判定方法 另外 我们解决空间有关线线问题时 不要忘了我们生活中 的模型 比如说教室就是一个长方体模型 里面的线线关系非常丰富 我们要好好地利用它 它是我们培养空间想象能力的好工具 2 在研究异面直线所成角的大小时 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直 线所成的角 将空间问题向平面问题转化 这是我们学习立体几何的一条重要的思维途 径 需要强调的是 两条异面直线所成角 的范围为 0 90 解题时经常结合这一 点去求异面直线所成的角的大小 作异面直线所成的角 可通过多种方法平移产生 主要有三种方法 直接平移法 可 利用图中已有的平行线 中位线平移法 补形平移法 在已知图形中 补作一个相同的 几何体 以便找到平行线 1 1 2 2 2 2 空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系 答案答案 知识梳理 1 相交直线 平行直线 异面直线 2 互相平行 3 相等 4 1 不同在任何一个平面内 2 异面直线 5 a a b b 锐角 或直角 直角 0 90 作业设计 1 平行或异面 2 相交 平行或异面 解析 异面直线不具有传递性 可以以长方体为载体加以说明 a b 异面 直线 c 的位 置可如图所示 4 3 6 4 矩形 解析 易证四边形 EFGH 为平行四边形 又 E F 分别为 AB BC 的中点 EF AC 又 FG BD EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角 而 AC 与 BD 所成的角为 90 EFG 90 故四边形 EFGH 为矩形 5 2 解析 均为假命题 可举反例 如 a b c 三线两两垂直 如图甲时 c d 与异面直线 l1 l2交于四个点 此时 c d 异面 一定不会平行 当点 A 在直线 a 上运动 其余三点不动 会出现点 A 与 B 重合的情形 如图乙所示 此 时 c d 共面相交 6 7 60 或 120 8 1 60 2 45 解析 连结 BA 则 BA CD 连结 A C 则 A BC 就是 BC 与 CD 所成的角 由 A BC 为正三角形 知 A BC 60 由 AD BC 知 AD 与 BC 所成的角就是 C BC 易知 C BC 45 9 解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体 如图所示 AB EF EF 与 MN 是异面直线 AB CM MN CD 只有 正确 10 5 证明 1 如图 连结 AC 在 ACD 中 M N 分别是 CD AD 的中点 MN 是三角形的中位线 MN AC MN AC 1 2 由正方体的性质得 AC A1C1 AC A1C1 MN A1C1 且 MN A1C1 即 MN A1C1 1 2 四边形 MNA1C1是梯形 2 由 1 可知 MN A1C1 又因为 ND A1D1 DNM 与 D1A1C1相等或互补 而 DNM 与 D1A1C1均是直角三角形的锐角 DNM D1A1C1 11 解 取 AC 的中点 G 连结 EG FG 则 EG AB GF CD 且由 AB CD 知 EG FG GEF 或它的补角 为 EF 与 AB 所成的角 EGF 或它的补角 为 AB 与 CD 所成的角 AB 与 CD 所成的角为 30 EGF 30 或 150 由 EG FG 知 EFG 为等腰三角形 当 EGF 30 时 GEF 75 当 EGF 150 时 GEF 15 故 EF 与 AB