江苏省启东市2009届高三第一学期第一次调研考试数学试卷

江苏省启东市 2009 届高三第一学期第一次调研考试数学试卷 一 填空题 本大题共 14 小题 每题 5 分 共 70 分 1 的值是 4log 16log 3 27 2 化简的结果是 3 1 3 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 bababa 3 将函数的图象按向量平移得到函数的图象 则 a 21 x y a 1 2xy 4 若非空集合满足 且不是的子集 有下列四个结论 A B CABC BA 是 的充分条件但不是必要条件 xC xA 是 的必要条件但不是充分条件 xC xA 是 的充要条件 xC xA 既不是 的充分条件也不是 必要条件 xC xA xA 其中结论正确的序号是 5 已知集合 A 4 R 集合 B R yx 22 5 4 yx yx yx 73 62 y x yx 则集合 A 与 B 的关于是 6 电流强度 安 随时间 秒 变化的函数It 的图像如图所示 sin 6 IAt 0A 0 则当时 电流强度是 1 50 t 7 一种由 3 步组成的变换流程如下 则第 步的变换过程用文字表述为 8 已知命题 P 对 R m R 使 若命题是假命题 则实数 m 的x 1 420 xx m P 取值范围是 9 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 b c 若 则a CaAcbcoscos3 Acos xysin xy2sin2 3 2sin 2 xy xysin2 10 下列表中的对数值有且仅有一个是错误的 x358915 lgx 2a ba c3 3a 3c4a 2b3a b c 1 请将错误的一个改正为 lg 11 已知向量集合 M a a 1 2 3 4 R R N b b 2 2 4 5 R R 则 M N 12 已知向量 p 2 x 1 q x 3 且 p q 若由的值构成的集合满足xA 则实数构成的集合是 2Ax ax a 13 已知函数 y 的最大值为 M 最小值为 m 则的值为 13xx m M 14 如图所示 ABC 中 BC 边上的两点 D E 分别与 A 连线 假设 三角形 ABC ABD ABE 的外 4 ADCACB 接圆直径分别为 则满足的不等关系是 fed fed 二 解答题 本大题共 6 小题 共 90 分 15 本题满分 14 分 集合 若 是 0 1 1 x x xA abxxB 1 a BA 的充分条件 求 的取值范围 b 16 本小题满分 14 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 且 A 为锐角 22 2sin sin cos cos 222222 AAAA f A 1 求 f A 的最小值 2 若 求 b 的大小 7 2 6 12 f AABa EDC A B 17 本小题满分 15 分 某商场在促销期间规定 商场内所有商品按标价的 80 出售 同时当顾客 在该商场内消费满一定金额后 按如下方案获得相应金额的奖券 消费金额 元 200 400 400 500 500 700 700 900 获奖券金额 元 3060100130 根据上述促销方法 顾客在该商场购物可以获得双重优惠 如购买标价为 400 元的商品 则消费 金额为 320 元 获得的优惠为 400 0 2 30 110 元 设购商品得到的优惠率为 试问 1 若购买一件标价为 1000 元的商品 顾客得到优惠率是多少 2 对于标价在 500 800 元 内的商品 顾客购买标价为多少元的商品 可 得到不小于的优惠率 3 1 18 本小题满分 15 分 已知函数 f x 为偶函数 0 0 cos sin 3 xx 且函数 y f x 图象的两相邻对称轴间的距离为 2 1 求 f 的值 8 2 将函数 y f x 的图象向右平移个单位后 再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来 6 的 4 倍 纵坐标不变 得到函数 y g x 的图象 求 g x 的单调递减区间 购买商品获得的优惠额 商品的标价 19 本小题满分 16 分 在一个特定时段内 以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域 点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东且45 与点 A 相距 40海里的位置 B 经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 其中245 sin 且与点 A 相距 10海里的位置 C 26 26 090 13 1 求该船的行驶速度 单位 海里 小时 2 若该船不改变航行方向继续行驶 判断它是否会进入警戒水域 并说明理由 20 本题满分 16 分 已知两个二次函数 与 1 2 bxaxxfy1 22 bxxaxgy 函数图像与轴有两个交点 其横坐标分别为 xgy x 21 x x 21 xx 1 证明 在 1 1 上是单调函数 xfy 2 当时 设是方程的两实根 且 当时 试判断1 a 43 x x01 2 bxax 43 xx 1 a 的大小关系 21 x x 43 x x 东 北 启东市 2009 届高三第一学期第一次调研考试 数学评分标准 一 填空题 1 2 3 1 1 4 5 AB 6 安 7 的图象向右平移个单位长度 3 2 a9 5xy2sin2 6 8 m 1 命题是假命题 即命题 P 是真命题 即关于 x 的方程有实数解 即P 1 420 xx m 所以 m 1 9 10 15 3a b c 11 1 12 12 24 21 xxxx m 3 3 2 2 12 13 14 2 0 3 2 2 fde 三 解答题 15 解 4 分 11 xxA 9 分 baxabxB BAa122 b 是的充分条件 只要的取值范围是的子集即可 14 分1 a BAb 2 2 16 解 1 4 分 22 2cossinsincos 2222 AAAA f A sincos2sin 4 AAA A 为锐角 5 分0 2 A 3 444 A 当时 6 分 42 A min 2f A 2 由题意知 2sin 2 4 f AA sin 1 4 A 又 8 分 3 444 A 42 A 4 A 又 10 分 7 12 AB 3 B 由正弦定理得 14 分 sinsin ab AB 3 4 sin 3 sin6 sin sin A Ba b 17 解 1 解 顾客得到优惠率是 7 分 33 1000 1302 01000 2 解 设商品的标价为元 则 500 800 消费额为 400 0 8xxx 由已知得或 解得 625 750 10 分 5008 0400 3 1602 0 x x x 6408 0500 3 11002 0 x x x x 因此当顾客购买标价在 625 750 元内的商品时 可得到不小于的优惠率 15 分 3 1 18 解 1 f x cos sin 3 xx cos 2 1 sin 2 3 2 xx 2sin 4 分 x 6 因为 f x 为偶函数 所以 对 x R f x f x 恒成立 因此 sin sin x 6 x 6 即 sincos cossin sincos cossin x 6 x 6 x 6 x 6 整理得 sincos 0 因为 0 且 x R 所以 cos 0 7 分x 6 6 又因为 0 故 所以 f x 2sin 2cos 6 2 x 2 x 由题意得 所以 8 分 2 2 2 2 故 f x 2cos2x 因为 9 分 2 4 cos2 8 f 2 将 f x 的图象向右平移个个单位后 得到的图象 再将所得图象横坐标伸长到原来 6 6 xf 的 4 倍 纵坐标不变 得到的图象 64 x f 所以 11 分 32 cos 2 64 2cos 2 64 xxx fxg 当 2k 2 k k Z 32 x 即 4k x 4k k Z 时 g x 单调递减 3 2 3 8 因此 g x 的单调递减区间为 k Z 15 分 3 8 4 3 2 4 kk 19 解 1 如图 AB 40 AC 10 213 26 sin 26 BAC 由于 所以 cos 4 分090 2 265 26 1 2626 由余弦定理得 BC 510cos2 22 ACABACAB 所以船的行驶速度为 海里 小时 8 分 10 5 15 5 2 3 2 解法一 如图所示 以 A 为原点建立平面直角坐标系 设点 B C 的坐标分别是 B x1 y2 C x1 y2 BC 与 x 轴的交点为 D 由题设有 x1 y1 AB 40 10 分 2 2 x2 ACcos 10 13cos 45 30CAD y2 ACsin 12 分10 13sin 45 20 CAD 所以过点 B C 的直线 l 的斜率 k 直线 l 的方程为 y 2x 40 20 2 10 又点 E 0 55 到直线 l 的距离 d 15 分 05540 3 57 14 所以船会进入警戒水域 16 分 解法二 如图所示 设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q 在 ABC 中 由余弦定理得 222 cos 2 ABBCAC ABC AB BC 222 402105 1013 240 210 5 3 10 10 从而 10 分 2 910 sin1cos1 1010 ABCABC 在中 由正弦定理得 ABQ AQ 12 分 10 40 2 sin 10 40 sin 45 22 10 210 ABABC ABC 由于 AE 55 40 AQ 所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间 且 QE AE AQ 15 过点 E 作 EP BC 于点 P 则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离 在 Rt中 QPE PE QE sin 15 分 sinsin 45 PQEQEAQCQEABC 5 153 57 5 所以船会进入警戒水域 16 分 20 1 证明 由于函数图像与轴有两个交点 其横坐标分别为 xgy x 21 x x 21 xx 则方程有两个不同的实根 即有 2 分01 22 bxxa04 22 ab 即或 4 分1 2 a b 1 2 a b 于是抛物线的对称轴在 1 1 左侧或右侧 6 分 xfy a b x 2 故在 1 1 上是单调函数 8 分 xfy 2 解 由于是方程的两根 21 x x01 22 bxxa 故 01 1 2 1 2 bxxa01 2