2012届高三数学一轮复习基础导航 9.3基本不等式

用心 爱心 专心1 9 39 3 基本不等式基本不等式 考纲要求 1 了解基本不等式的证明过程 2 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 基础知识 1 基本不等式 1 22 2 ababa bRab 当且仅当时 等号成立 2 a b 2 aba bRab 当且仅当时 等号成立 变形公式 2 2 ab aba bRab 当且仅当时 等号成立 基本不等式 2 常用来求最小值 其变形公式常用来求最大值 求最值时 一定要注 意 一正二定三相等 三者缺一不可 2 使用基本不等式求最值时 要注意观察收集题目中的数学信息 正数 定值等 然后变形 配凑出基本不等式的条件 3 使用基本不等式求最值 如果等号成立的条件不成立 就说明不能取到该最值 必 须寻找另外的方法 如 函数的单调性和数形结合等 求最值 例题精讲 例 1 已知a 0 b 0 c 0 且a b c 1 求证 9 1 a 1 b 1 c 证明 a b c 1 1 a 1 b 1 c a b c a a b c b a b c c 3 b a c a a b c b a c b c 3 b a a b c a a c c b b c a 0 b 0 c 0 3 9 b a a b c a a c c b b c 例 2 某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂 第一年共支出 12 万元 以后每年支出增加 4 万元 从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元 设f n 表示前n年的 纯利润总和 f n 前n年的总收入 前n年的总支出 投资额 1 该厂从第几年开始盈利 2 若干年后 投资商为开发新项目 对该厂有两种处理方案 年平均纯利润达到最 大时 以 48 万元出售该厂 纯利润总和达到最大时 以 16 万元出售该厂 问哪种方案 用心 爱心 专心2 更合算 解 由题意知f n 50n 72 12n n n 1 2 4 2n2 40n 72 1 由f n 0 即 2n2 40n 72 0 解得 2 n0 b 0 若是 3a与 3b的等比中项 则 的最小值为 3 1 a 1 b A 8 B 4 C 1 D 1 4 3 已知不等式 x y 9 对任意正实数x y恒成立 则正实数a的最小值为 1 x a y A 8 B 6 C 4 D 2 4 若直线ax by 2 0 a 0 b 0 和函数f x ax 1 1 a 0 且a 1 的图象恒过同 一个定点 则当 取最小值时 函数f x 的解析式是 1 a 1 b 用心 爱心 专心3 5 已知a 0 b 0 且a b 2 则 A ab B ab C a2 b2 2 D a2 b2 3 1 2 1 2 6 设a b是正实数 以下不等式 a a b b a2 b2 4ab 3b2 ab 2 恒成立的 ab 2ab a b 2 ab 序号为 A B C D 7 已知a b c 0 且a b c 1 求证 1 1 1 8 1 a 1 b 1 c 8 某商场中秋前 30 天月饼销售总量f t 与时间t 0 t 30 的关系大致满足f t t2 10t 16 则该商场前t天平均售出 如前 10 天的平均售出为 的月饼最少为 f 10 10 A 18 B 27 C 20 D 16 9 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存 货 物的运费y2与到车站的距离成正比 如果在距离车站 10 千米处建仓库 这两项费用y1 和y2分别为 2 万元和 8 万元 那么 要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站 千米处 10 若a是 b与 b的等比中项 则的最大值为 22 2ab a b A B 1 C D 2 2 4 2 2 11 若a b是正常数 a b x y 0 则 当且仅当 a2 x b2 y a b 2 x y a x 时 b y 取等号 利用以上结论 函数f x x 0 取得最小值时x的值为 2 x 9 1 2x 1 2 A 1 B C 2 D 1 5 1 3 用心 爱心 专心4 12 已知关于x的不等式 2x 7 在x a 上恒成立 则实数a的最小值 2 x a 为 13 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池 池的 深度一定 平面图如图所示 如果池四周围墙建造单价为 400 元 米 中间两道隔墙建 造单价为 248 元 米 池底建造单价为 80 元 米 2 水池所有墙的厚度忽略不计 1 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 2 若由于地形限制 该池的长和宽都不能超过 16 米 试设计污水池的长和宽 使总造价最低 并求出最低总造价 拓展提高 1 设计一幅宣传画 要求画面面积为 4840 cm2 画面的宽与高的比为 a b a a b b恒成立 a2 b2 4ab 3b2 a 2b 2 0 当a 2b时 取等号 不恒成立 ab 2 2 2 恒成立 2 ab ab 2 ab2 用心 爱心 专心6 7 证明 a b c 0 且a b c 1 1 1 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c abc 8 b c a c a b abc 2bc 2ac 2ab abc 当且仅当a b c 时取等号 1 3 8 A 解析 平均销售量y t 10 18 f t t t2 10t 16 t 16 t 当且仅当t 即t 4 等号成立 即平均销售量的最小值为 18 16 t 9 5 解析 设仓库建在离车站d千米处 由已知y1 2 得k1 20 y1 k1 10 20 d y2 8 k2 10 得k2 y2 d 4 5 4 5 y1 y2 2 8 20 d 4d 5 20 d 4d 5 当且仅当 即d 5 时 费用之和最小 20 d 4d 5 10 B 解析 a是 b与 b的等比中项 22 a2 2 b2 a2 b2 2 根据基本不等式知 1 2ab a b 2 a b a b a2 b2 2 即的最大值为 1 2ab a b 11 B 解析 由 得 f x 25 当且 a2 x b2 y a b 2 x y 22 2x 32 1 2x 2 3 2 2x 1 2x 仅当 时取等号 即当x 时f x 取得最小值 25 2 2x 3 1 2x 1 5 12 解析 因为x a 所以 2x 2 x a 2a 2 3 2 2 x a 2 x a 2a 2a 4 即 2a 4 7 所以a 即a的最小值为 2 x a 2 x a 3 2 3 2 13 解析 1 设污水处理池的宽为x米 则长为米 162 x 则总造价f x 400 2x 248 2x 80 162 1 296x 2 162 x 用心 爱心 专心7 12 960 1 296 100 x 1 296 x 12 960 100 x 1 296 2 12 960 38 880 元 x 100 x 当且仅当x x 0 100 x 即x 10 时取等号 当长为 16 2 米 宽为 10 米时总造价最低 最低总造价为 38 880 元 2 由限制条件知Error 10 x 16 1 8 设g x x 10 x 16 100 x 1 8 由函数性质易知g x 在上是增函数 当x 10 时 此时 16 1 8 162 x g x 有最小值 即f x 有最小值 1 296 10 12 960 38 882 元 1 8 800 81 当长为 16 米 宽为 10 米时 总造价最低 为 38 882 元 1 8 拓展提高参考答案 1 解析 设画面的高为x cm 宽为 x cm 则 x2 4840 设纸张面积为S 则 有 S x 16 x 10 x2 16 10 x 160 5000 44 6760 10 8 5 当且仅当 8 时 即 时 S取最小值 此时 5 5 8 高x 88 cm