2012高考数学复习 第九章 直线、平面、简单几何体（B）9(B)综合测试

用心 爱心 专心1 第九章第九章 直线 平面 简单几何体直线 平面 简单几何体 B B 综合能力测试综合能力测试 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 每小题只有一个选项是正确的 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四 个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 2009 上海市普通高等学校春季招生考试 在空间中 两条直线没有公共点 是 这两条直线平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 在空间中 两条直线没有公共点 这两条直线可能是异面直线 即由 两条直线 没有公共点 不能推知 这两条直线平行 反过来 由 两条直线平行 可知 这两条直线 没有公共点 因此 在空间中 两条直线没有公共点 是 这两条直线平行 的必要不充 分条件 选 B 2 2009 广东重点中学 已知三条不重合的直线m n l与两个不重合的平面 有下列命题 若m n n 则m 若l m 且l m 则 若m n m n 则 若 m n n m 则n 其中正确的命题个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 对于 若m n n 则m 或m 不正确 对于 若 l m 且l m 则 显然成立 对于 若m n m n 则 由面面平行的判定定理知它是不正确的 对于 若 m n n m 则n 由面面垂直的性质定理知它是正确的 综上 所述 正确命题的个数为 2 故选 B 3 2009 东北三省十校一模 三棱锥P ABC中 ABC 90 PA PB PC 则下列说法 正确的是 A 平面PAC 平面ABC B 平面PAB 平面PBC C PB 平面ABC D BC 平面PAB 答案 A 解析 如图 因为 ABC 90 PA PB PC 所以点P在底面的射影落在 ABC的斜边 的中点O处 连结OB OP 则PO OB 又 PA PC 所以PO AC 且AC OB O 用心 爱心 专心2 所以PO 平面ABC 又 PO 平面PAC 平面PAC 平面ABC 故选 A 4 2009 安徽皖北联考 已知三棱锥的三个侧面两两垂直 三条侧棱长分别为 4 4 7 若此三棱锥的各个顶点都在同一球面上 则此球的表面积是 A 81 B 36 C D 144 81 4 答案 A 解析 由于三棱锥的三个侧面两两垂直 即可把它补成长方体 其对角线长为 9 外接 球的半径为 则球的表面积为 81 故选 A 9 2 5 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 AB AC AB AC M是CC1的中点 Q是BC的中点 点P在A1B1上 则直线PQ与直线AM所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 D 解析 取AC的中点N 连结AN QN 可证 Error Error Error AM PQ 故选 D 6 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 对角线BD1 8 BD1与侧面BC1所成的角为 30 则 BD1和底面ABCD所成的角为 A 30 B 60 C 45 D 90 答案 C 解析 BD1与侧面BC1所成的角为 D1BC1 则 D1BC1 30 又BD 8 D1C1 4 BD 4 2 又D1B与底面ABCD所成的角为 D1BD 从而 cos D1BD BD BD1 2 2 D1BD 45 7 已知三棱锥P ABC的三个侧面与底面全等 且AB AC BC 2 则二面角 3 P BC A的大小为 用心 爱心 专心3 A B C D 4 3 2 2 3 答案 C 解析 如图所示 由三棱锥的三个侧面与底面全等 且AB AC 3 得PB PC 3 PA BC 2 取BC的中点E 连结AE PE 则 AEP即为所求二面角的平面角 且AE EP 2 AP2 AE2 PE2 AEP 2 8 如图 在棱长为 3 的正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是棱A1B1 A1D1的中点 则 点B到平面AMN的距离是 A B 9 23 C D 2 6 5 5 答案 D 解析 设AC的中点为O MN的中点为E 连结AE 作OG AE于 G 易证OG即是点B到平面AMN的距离 作出截面图 如图所示 由 AA1 3 AO AE AA1E OGA 计算得OG 2 故选 D 3 2 2 9 2 2 9 如图 l A B A B到l的距离 分别是a和b AB与 所成的角分别是 和 AB在 内的射影分别是m和n 若a b 则 A m n B m n C m n D m n 答案 D 解析 由题意可得 Error 即有Error 故选 D 10 如图所示 在单位正方体ABCD A1B1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP D1P 取得最小值 则此最小值为 A 2 B 2 6 2 C 2 D 22 2 答案 D 用心 爱心 专心4 解析 如图所示 把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC D1 使其与 AA1B在同一平面上 连接AD1 则AD1 为所求的最小值 1 1 2 1 1 cos135 2 2 11 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上 其中底面的三个顶点在该球的一 个大圆上 则该正三棱锥的体积是 A B C D 3 3 4 3 3 3 4 3 12 答案 C 解析 由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为 1 底面是正三角形且球半径为 1 底面边长为 底面积为 3 3 3 4 V 1 1 3 3 3 4 3 4 12 2010 辽宁省东北育才中学高三模拟 如图在正四棱锥S ABCD中 E是BC的中点 P点在侧面 SCD内及其边界上运动 并且总是保持PE AC 则动点P的轨迹与 SCD组成的 相关图形是 答案 D 解析 取CD中点F AC EF 又 SD在面ABCD内的射影为BD且AC BD AC SD 取SC中点Q EQ SD AC EQ 又AC EF AC 面EQF 因此点P在FQ上移动时总有AC EP 故选 D 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请将答案填在题中的横线上 13 2009 江苏 12 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 用心 爱心 专心5 1 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 2 若 外一条直线l与 内的一条直线平行 则l和 平行 3 设 和 相交于直线l 若 内有一条直线垂直于l 则 和 垂直 4 直线l与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直线垂直 上面命题 真命题的序号是 写出所有真命题的序号 答案 1 2 解析 由面面平行的判定定理可知 1 正确 由线面平行的判定定理可知 2 正确 对于 3 来说 内直线只垂直于 和 的交线l 得不到其是 的垂线 故也得不出 对于 4 来说 l只有和 内的两条相交直线垂直 才能得到l 也就是说当l垂直于 内的两条平行直线的话 l不一定垂直于 14 如图所示 等边 ABC的边长为 4 D为BC中点 沿AD把 ADC折叠到 ADC 处 使二面角B AD C 为 60 则折叠后点A到 直线BC 的距离为 二面角A BC D的正切值为 答案 2 15 解析 如图 作DM BC 于点M 连结AM 则AM为点A到直线 BC 的距离 AD 2 DM 所以AM 二面角 33AD2 DM215 A BC D的平面角为 AMD 正切值为 tan AMD 2 2 3 3 15 2009 四川 15 如图所示 已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条 棱长都相等 M是侧棱CC1的中点 则异面直线AB1和BM所成的角的大 小是 答案 90 解析 设棱长为a 补正三棱柱ABC A2B2C2 如图 平移AB1至 A2B 连结A2M MBA2即为AB1与BM所成的角 在 A2BM中 A2B a 2 BM a a2 f a 2 2 5 2 A2M a a2 f 3 2 a 2 13 2 A2B2 BM2 A2M2 MBA2 90 16 如图 已知球O的面上四点A B C D DA 平面 ABC AB BC DA AB BC 则球O的体积等于 3 用心 爱心 专心6 答案 9 2 解析 ABC的外接圆的直径为AC AC 由DA 面ABC得DA AC 6 CD为球的直径 CD 3 DA2 AC2 球的半径R 3 2 V球 R3 4 3 9 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 17 本小题满分 10 分 如图 四棱锥S ABCD的底面是正方形 SA 底面ABCD E是 SC上一点 1 求证 平面EBD 平面SAC 2 假设SA 4 AB 2 求点A到平面SBD的距离 解析 1 正方形ABCD BD AC 又 SA 平面ABCD SA BD 则BD 平面 SAC 又BD 平面BED 平面BED 平面SAC 2 设AC BD O 由三垂线定理得BD SO AO AC AB 2 SA 4 1 2 1 2 2 1 222 则SO 3 S BSD BD SO 2 3 6 设A到面BSD的距离 SA2 AO216 22 1 2 1 222 为h 则VS ABD VA BSD 即S ABD SA S BSD h 解得h 即点A到平面SBD的距离为 1 3 1 3 4 3 4 3 18 本小题满分 12 分 如图 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 4 点E在C1C上且C1E 3EC 1 证明A1C 平面BED 2 求二面角A1 DE B的大小 解析 依题设知AB 2 CE 1 1 证明 连结AC交BD于点F 则BD AC 由三垂线定理知 BD A1C 在平面A1CA内 连结EF交A1C于点G 用心 爱心 专心7 由于 2 AA1 FC AC CE2 故 Rt A1AC Rt FCE AA1C CFE CFE与 FCA1互余 于是A1C EF A1C与平面BED内两条相交直线BD EF都垂直 所以A1C 平面BED 2 作GH DE 垂足为H 连结A1H 由三垂线定理知A1H DE 故 A1HG是二面角A1 DE B的平面角 EF CF2 CE23 CG CE CF EF 2 3 EG CE2 CG2 3 3 GH EG EF 1 3 1 3 EF FD DE 2 15 又A1C 2 A1G A1C CG AA2 1 AC26 5 6 3 tan A1HG 5 A1G HG5 所以二面角A1 DE B的大小为 arctan5 5 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥S ABCD的底面是直角梯形 ABC BCD 90 AB BC SB SC 2CD 2 侧面SBC 底面ABCD 1 由SA的中点E作底面的垂线EH 试确定垂足H的位置 2 求二面角E BC A的大小 解析 1 作SO BC于O 则SO 平面SBC 又面SBC 底面ABCD 面SBC 面ABCD BC SO 底面ABCD 又SO 平面SAO 面SAO 底面ABCD 作EH AO EH 底面ABCD 即H为垂足 由 知 EH SO 又E为SA的中点 H是AO的中点 2 过H作HF BC于F 连结EF 由 1 知EH 平面ABCD EH BC 又EH HF H BC 平面EFH BC EF HFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角 在等边三角形SBC中 SO BC O为BC中点 又BC 2 SO EH SO 22 123 1 2 3 2 用心 爱心 专心8 又HF AB 1 1 2 在 Rt EHF中 tan HFE EH HF 3 2 1 3 2 HFE arctan 3 2 即二面角E BC A的大小为 arctan 3 2 20 本小题满分 12 分 2010 唐山市高三摸底考试 如图 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1 中 AB 1 AA1 2 N是A1D的中点 M BB1 异面直线MN与A1A所成的角为 90 1 求证 点M是BB1的中点 2 求直线MN与平面ADD1A1所成角的大小 3 求二面角A MN A1的大小 解析 1 取AA1的中点P 连结PM PN N是A1D的中点 AA1 PN 又 AA1 MN MN PN N AA1 面PMN PM 面PMN AA1 PM PM AB 点M是BB1的中点 用心 爱心 专心9 2 由 1 知 PNM即为MN与平面ADD1A1所成的角 在 Rt PMN中 易知PM 1 PN 1 2 tan PNM 2 PNM arctan2 PM PN 故MN与平面ADD1A1所成的角为 arctan2 3 N是A1D的中点 M是BB1的中点 A1N AN A1M AM 又MN为公共边 A1MN AMN 在 AMN中 作AG MN交MN于G 连结A1G 则 A1GA即为二面角A MN A1的平面 角 在 A1GA中 AA1 2 A1G GA 30 5 cos A1GA A1GA arccos A1G2 GA2 AA2 1 2A1G GA 2 3 2 3 故二面角A MN A1的大小为 arccos 2 3 21 2009 安徽 18 本小题满分 12 分 如图所示 四棱锥F ABCD的底面ABCD是菱 形 其对角线AC 2 BD AE CF都与平面ABCD垂直 AE 1 CF 2 2 1 求二面角B AF D的大小 2 求四棱锥E ABCD与四棱锥F ABCD公共部分的体积 命题意图 本题考查空间位置关系 二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等 知识 考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力 解答 1 解 连接AC BD交于菱形的中心O 过O作OG AF G为垂足 连接BG DG 由BD AC BD CF得BD 平面ACF 故BD AF 于是AF 平面BGD 所以BG AF DG AF BGD为二面角B AF D的平面角 由FC AC FC AC 2 得 FAC OG 4 2 2 由OB OG OB OD 得 BGD 2 BGO 2 2 2 2 解 连接EB EC ED 设直线AF与直线CE相交于点H 则四棱锥E ABCD与四棱锥 F ABCD的公共部分为四棱锥H ABCD 过H作HP 平面ABCD P为垂足 因为EA 平面ABCD FC 平面ABCD 所以平面ACEF 平面ABCD 从而P AC HP AC 用心 爱心 专心10 由 1 得HP HP CF HP AE AP AC PC AC 2 3 又因为S菱形ABCD AC BD 1 22 故四棱锥H ABCD的体积V S菱形ABCD HP 1 3 2 2 9