索伯列夫(Sobolev)空间嵌入定理与集中紧性原理(三稿)

索伯列夫 索伯列夫 Sobolev 空间嵌入定理与集中紧性原理 空间嵌入定理与集中紧性原理 摘摘 要要 本文主要研究索伯列夫空间嵌入定理及其证明 和集中紧性原理 加深对 泛函知识的理解 关键词关键词 弱导数 Sobolev 空间 嵌入定理 集中紧性原理 Abstact Key words 目目 录录 摘要摘要 I Abstract II 引言引言 1 一 预备知识一 预备知识 2 1 1 弱导数定义 2 1 2 Sobolev 空间 2 m p W 1 3 引理 2 二 嵌入定理的证明与集中紧性原理二 嵌入定理的证明与集中紧性原理 5 2 1 嵌入定理的证明 5 2 2 集中紧性原理 10 2 3 结论 12 参考文献参考文献 13 引引 言言 索伯列夫空间理论是上世纪 30 年代初由苏联数学家 S L Sobolev 发展起来 的 这些空间是由弱可微函数所组成的 Banach 空间 它们是为研究偏微分方程 的近代理论以及研究与数学分析有关的领域中许多问题的需要而产生的 苏联数学家索伯列夫 S L Sobolev 从 1938 年开始 在研究弹性体中的波 动等问题时 建立了一系列新的概念 例如广义解 广义导数 嵌入定理等 他以泛函分析为工具发展了一套新型的可微函数空间理论 现在国际上 m p W 称为 Sobolev 空间 同时他也为偏微分方程的近代研究奠定了理论基础 Sobolev 这些开创性的工作在他的名著 泛函分析及其在数学物理中的应用 1950 中作了系统的总结 从那时以来 这种理论已有很广泛的发展 1957 1959 年 意大利 E Gagliado 提出了一套与 Sobolev 不同的证法 1956 1958 年苏联 Slobodeokii 等人推广了 Sobolev 的工作 引进了 分数次求导 等概念 形成了分数次 空间 称 Slobodeokii 空间 m p W Sobolev 空间的嵌入定理在函数空间理论 偏微分方程 偏微分方程数值解 等学科中有重要应用 一般区域上 Sobolev 空间的嵌入定理的证明已经给出 但证明一般过于复杂 限制了它在通常学科中的使用 本文研究 Sobolev 空间的嵌入定理的证明和集中紧性原理的证明 一 预备知识一 预备知识 1 1 弱导数的定义弱导数的定义 设 对于给定的重指标 如果且对于所有的 1 uL a 1 vL 1 L 有 1 aa vdxuDdx 并记 则称 是的阶弱导数 a vuD vua 1 2 Sobolev 空间空间 m p W 设对 是非负整数 对本身及其直到阶弱导数在内都是1p mm 可和的函数集合 p L m ppap WLu D uLam 1 pap u uLD uLam 在空间内引入范数 m p W 2 11 1 max papapp p amam m p a am D udxD up u D up 1 3 引理引理 引理引理 1 设是具强局部 Lipshitz 性质的区域 简称型区域 则 L 1 存在开集 使 1 O 2 O m O 1 i i O 2 存在开集 使 0 O 0 i i O 3 设 则存 xdist x 1 jjj VxOdist xO 在一个充分小的 当 且时 有一个使 1 0 x 1 y 1 xy jx j yV 4 对任意 存在顶点在原点的多面体 使得时 j j P j xV j xP 5 存在 及常数 使得当 且 2 0 21 K j x yV 时 有 使 2 xy jj zxPyp xzyzK xy 6 存在一个顶点在原点的多面体 当时 此 0 P 1 x 0 xP 外存在 当 且时 3 0 1 x y 3 xy 00 xPyP 7 存在向量 当时 对任意 i y i xO i xty 01t 引理引理 2 Gagliardo 定理 设是中的有界锥形区域 对任意的 存 n R0d 在开集 满足 1 2 m 1 1 m i i 2 对每一个 存在一个顶点在原点的平行多面体 使 i 0i P 其中且其中直径小于等于 0 i ii x A xP ii A d 引理引理 3 设 是有界区域 是列紧的充要条件为 1p p ML 1 是中的有界集 即存在 使对任意 M p L 0K fM p L fK 2 是中等度连续 即对任意 存在 当时M p L 0 0 y 对任意 p p f xyf xdx fM 其中是的延拓函数 定义为 ff 0 f xx f x x 引理引理 4 设是中的有界开集 为正整数 使 n Rk1kn 1 1 n k 则 1 k Kk KKKKK FxFxxL K K K S F xFx 1 k K KK K K S F xdxFxdx 引理引理 5 设是中边长为 2 的立方体 其边分别平行于坐标轴 而是Q n R 由经平移得到的型区域 又 则QL1pn np q np 0 n fCR 1 qp fKf 其中是与无关的常数 Kf 引理引理 6 设是中边长为 1 的立方体 表示边长为 的立方体 其表面Q n R t Qt 积分别平行于的表面 如果 而 则Q 1 p fCQWQ np 对任意 1 n p p f xf yK xyf xyQ 其中是与无关的常数 Kf 引理引理 7 设是中具有锥性质的有界区域 简称有界锥形区域 n R 若 则 其中是与无关的pn 1 p fCQWQ 1 sup p x f xKf Kf 常数 引理引理 8 设 其中 则 01 1 2 i ij QxRxji 1 2 in 1p 下列结论成立 1 对任意 对几乎 1 1 11 pp nn nn LQWQ u xxxKu 1 p n uWQ 处处 0 1 x 2 对任意 1 111 sup n n n nnn WQ x Q u xxxKuxx 1 p n uWQ 其中是与无关的常数 Ku 引理引理 9 设是中的开集 则 n R01 0 CC 引理引理 10 设是中的开集 则 n R01 0 0 CC 引理引理 11 设是中的一个区域 如果 n R 10 1qq 0 qm p WL 则对任意的 有 1 qm p WL 10 qq q m pq WL 二 嵌入定理的证明与集中紧性原理二 嵌入定理的证明与集中紧性原理 2 1 嵌入定理的证明嵌入定理的证明 定理定理 1 设是中的有界锥形区域 n Rmpn 1 如果 则 mpn np q np m pq WL 2 如果 则 nmp 1p 1q m pq WL 3 如果 则 nmp 1p 1 n B WC 证明证明 由 Gagliardo 定理 引理 2 有界锥形区域可以分解成一系列 型区域的并 即 其中是型区域 为有限数 如果L 1 H i i i L H 则 m pq ii WL 1 2 iH 11 qqm pm p iii HH LLWW ii ffKfK Hf 所以 再由 Gagliardo 定理 型区域可由一平行多面体 m pq WL L 经过一系列平移得到 即 其中是一顶点在原点的平行多面体 ii x A xV i V 又平行多面体可经过一个可逆线性变换映成边长为 2 的维立方体 记为 i VnQ 则在此变换下映成 综上所述 为了证明定理 1 和定理 i i x A xQ 2 可以不妨假设 xQ 1 考虑的情形 对作归纳来证明 mpn m 时 要证 由引理 5 对任1m 1pn np q np 1 pq WL 意 其中是与无关的常数 设 0 n gCR 1 1 qp LW gKg 1 Kg 因在中稠密 故存在函数数列 1 p fW 0 n CR 1 p W 使在中收敛于 从而是中的基本 0 n n gCR n g 1 p W f n g 1 p W 列 由上述不等式知也是中的基本列 从而在中收敛 由实变 n g q L q L 函数论的基本定理 在中的极限函数必为 于是由 n g q L f 得到 这样就证明了 1 1 qp nn LW gKg 1 1 qp LW fKf m pq WL 假设结论 1 对是已成立 即当 时 1m 1 mpn 1 np q nmp 成立 1 mpq WL 下证结论 1 对是也成立 设 则的一阶偏导数m m p fW f 记 由归纳假设得到 1 1 2 mp i D fWin 0 1 np q nmp 1 0 1 1 1 2 mp q L m p ii W i W D fKD f KD fin 又显然 故 1 mp fW 1 0 11 mpm p q L WW fKfKf 于是 且 0 1 q fW 1 02 qm p WW fKf 由的情形知 其中 于是1m 0 1 qq WL 0 0 nqnp q nqnmp 1 0 3 qq L W fKf 结合前一个不等式得 23 qm p LW fK Kf 从而 m pq WL 2 考虑 再分两种情形 nmp 1p 设 令 则 因 对任意 1 p qp p pq s pq ns q nms 1sp 由不等式易知0 m Holder 11 D D spm p LLW fKfKf 其中是与无关的常数 于是 即 1 Kf 1 m sm p WW fKf 此时 对 利用 1 得到 m pm s WW nmpms m s W m sq WL 结合前一个嵌入有 m pq WL 设 由上述 的结论 因为有界区域 q p m pp WL 由不等式易知 从而 Holder pq LL m pp WL 3 的情形 nmp 1p 由引理 8 其中为任一维立方体 设是任一多面 1 n B WQCQ QnV 体 则存在可逆的放射变换把映成立方体 于是 VQ 1 n B WVC V 由前面的讨论 设 则 1 H i i ii x A xV 1 n fW 且 对任意 从而 1 n i fW 1 0 n i fWxV 0i xA 1 1 0 0 sup nn ii i ii WxVW xV f xKfKf 若 则经过平移变化为 于是有 1i xA 10 xx 1i xV 0i xV 1 1 10 1 1 sup nn ii i n i ii WxVWxV xV i W f xKfKf Kf 其中是与无关的常数 取 则 i K 0i xA 1 max i i H KK 1 sup n W x f xKf 从而 1 n B WC 定理定理 2 设是中的有界锥形区域 则 n Rmpn m p B WC 证明证明 因为在中的稠密 所以只要证明对任意 C m p W 有 m p fCW sup m p W x f xKf 其中与无关的常数 Kf 1 的情形 利用引理 7 即可 1m pn 2 的情形 因 利用 1 的情形即可 1m pn 1 m pp WW 3 的情形 取整数 使 且 1m pn j11jm 1 jpnjp 设 设是重指标 满足 如果 jpn n mj m p fCW 则 由引理 1 得 j p D fW 1 rj p LW D fKD f 其中 从而 np r njp 2 m j rm p WW fKf 因为 所以rn 1 sup rm p WW x f xKfKf 设 此时 对任意jpn j p D fW mj 由引理 1 对任意 有 1 r rj p LW D fKD f 取 和情形 类似可证 rn 定理定理 3 设是型区域 则 L 1 mpnmp 0 m p WC 其中由下列条件确定 1 如果 则 1 mmp 0 n m p 2 如果 则 1 mmp 01 3 如果 则 1p 1nm 01 证明 证明 首先由定理 2 得 即对任意 有 m p B WC m p fW 1 sup m p W x f xKf 为了证明 只要证明对任意 有 0 m p WC m p fW 2 m p W f xf y Kf xy 其中与无关的常数 2 Kf 因为 所以 m pr WL 1 m pr WW 其中根据下列情形确定 1 当时 取 此时 1 mmp 1 np r nmp 1 nn m rp 2 当且时 可任意选取 使 1 mmp 1p rn 011 n r 3 当 时 取 此时 1p 1nm r 11 nn m rp 对上述三种情形总有 于是只要证明 对任意 存nr 01 n r 在 使对任意 成立K 1 r fW 1 sup r W x y x y f xf y Kf xy 又在中稠 所以只要证明上式对中的函数成立 0 n CR 1 r W 0 n CR 当是中的立方体时 由引理 6 上述不等式已成立 通过线性变换 n R 可知 对中的任意多面体 上述不等式也成立 n R 当是型区域时 由型区域的性质得 间引理 1 当充分小时 如 LL 果 且时 存在 使 j x yV xy jj zxPyP 在多面体和上 结论已成立 于是 xzyzC xy j xP j yP 1 1 1 1 2 r j r j r j Wxp Wxp Wxp f xf yf xf zf xf z K x zf K z yf KCxyf 若不满足上述条件 则再分下列两种情形 x y a 其中是待定常数 此时根据引理 1 再分三种情形考 0 xy 0 虑 当时 存在 使 从而是已考虑的情形 1 x y j j x yV 当 时 取充分小 仍可使 从而也化为已 1 x 1 y 0 j x yV 考虑的情形 当时 则和必相交 取 1 x y 0 xP 0 yP 00 zxPyP 使得 xzyzC xy 和上述类似推得不等式 也成立 b 当时 显然 xzyzC xy 3 2 紧中紧性原理紧中紧性原理 定义定义 设序列 且 a e 在中 是上的测度 如果 k u 1 n L R0 k u n R n R nnk RR u dxd nn LRC R 则称序列 弱收敛于测度 记为 k u k u 定理 集中紧性原理 定理 集中紧性原理 是中的一个有界区域 1pn np p np n R 是中的有界序列 在外视 满