2012高考数学核心考点90天突破 专题15 选修系列

1 20122012 考前考前 9090 天突破天突破 高考核心考点高考核心考点 专题十五专题十五 选修系列选修系列 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 选考内容由各省市自行选择内容和数量 选修系列包括几何证明选讲 选修 4 1 矩 阵与变换 选修 4 2 坐标系与参数方程 选修 4 4 不等式选讲 选修 4 5 等几部分 内容 纵观近几年来的全国卷与各省市的试卷 试题在选择题 填空题 解答题中都有可 能出现 题目不难 通常与其它数学内容联系而构成组合题 主要考查数形结合与分类讨 论等数学思想与方法的灵活应用能力 从各地的高考试卷看 考生在备考时 应从下列考 点夯实基础 做到以不变应万变 1 理解三角形和圆的知识 2 理解直线 圆和圆锥 曲线的参数方程及应用 3 了解矩阵与变换的内容 4 掌握绝对值不等式 数学归纳 法等证明方法 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一 考点一 几何证明选讲几何证明选讲 例 1 如图 直线 AB 过圆心 O 交圆 O 于 A B 直线 AF 交圆 O 于 F 不与 B 重 合 直线 与圆 O 相切于 C 交 AB 于 E 且与l AF 垂直 垂足为 G 连接 AC 求证 CAGBAC AFAEAC 2 证明 连结 是直径 BC AB 90 ACB 90ACBAGC 切圆于 GCOC GCAABC BACCAG 连结 切圆于 CF ECOC 又 AFCACE CAGBAC ACF AEC AFAEAC AC AF AE AC 2 名师点睛名师点睛 1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那 么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等 两个推论 经过三角形一边的中点 与另一 边平行的直线必平分第三边 经过梯形一腰的中点 与底边平行的直线必平分另一腰 2 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他 两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 3 判定两个三角形相似的方法有 1 两角对应相等 两三角形相似 2 两边对 应成比例 夹角相等 两三角形相似 3 三边对应成比例 两三角形相似 4 相似三角形的性质 1 相似三角形对应角相等 对应边成比例 2 相似三角形 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比都等于相似比 3 相似三角形的周长比等 于相似比 4 相似三角形的面积比等于相似比的平方 5 相似三角形外接圆的直径比 周长比等于相似比 外接圆的面积比等于相似比的平方 利用这些关系 可以进行各种各 样的求值和证明 5 在直角三角形中 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 每一条直角边 是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 6 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论 同弧或等弧 所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 半圆 或直径 所对 的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 2 7 圆的内接四边形对角互补 圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角 如果一个 四边形的一组对角互补 那么这个四边形内接于圆 考点二 考点二 矩阵与变换矩阵与变换 例 2 求矩阵的特征值及对应的特征向量 21 12 名师点睛名师点睛 1 二阶矩阵 矩阵的概念和表示方法 及其矩阵的相关知识 如行 列 元 素 零矩阵的意义和表示 二阶矩阵与平面列向量的乘法规则及其几何意义 矩阵对应着向量集合到向量集合的映射 2 几种常见的平面变换 以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义 矩阵变换把平 面上的直线变成直线 或点 即 AAA 1212 通过大量具体的矩阵对 平面上给定图形 如正方形 的变换 认识到矩阵可表示如下的线性变换 恒等 反射 伸压 旋转 切变 投影 3 变换的复合与矩阵的乘法 通过变换的实例 了解矩阵与矩阵的乘法的意义 变换的复 合 二阶方阵的乘法 通过具体的几何图形变换 说明矩阵乘法不满足交换律与消去律 验证二阶方阵乘法满足结合律 4 逆变换与逆矩阵 通过具体图形变换 理解逆矩阵的意义 通过具体的投影变换 说明 逆矩阵可能不存在 会证明逆矩阵的唯一性和等简单性质 并了解其在 111 ABAB 变换中的意义 二阶行列式的定义 会用二阶行列式求逆矩阵 能用变换与映射的观点认 识解线性方程组的意义 会用系数矩阵的逆矩阵解方程组 会通过具体的系数矩阵 从几 何上说明线性方程组解的存在性 唯一性 5 特征值与特征向量 矩阵的简单应用 矩阵特征值与特征向量的定义 能从几何变换的 角度说明特征向量的意义 会求二阶方阵的特征值与特征向量 只要求特征值是两个不同 实数的情形 了解三阶或高阶矩阵 矩阵的应用 考点三 考点三 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 3 例 3 1 已知点 c 极坐标为 求出以 C 为圆心 半径 r 2 的圆的极坐标方程 写 2 3 出解题过程 2 P 是以原点为圆心 r 2 的圆上的任意一点 M 是 PQ 中点 当点 P 在圆上Q 6 0 运动时 求点 M 的轨迹的参数方程 解 1MM 如图所示 设为圆上一点 MOC 33 则或 2 44 cos 4 3 由余弦定理得4cos 3 极坐标方程为 2 依题意 x2cos oMx yP2cos 2sin y 2sin 的参数方程为设 点 MPQQ6 0M 为中点 的参数方程为 62sin x x3cos 2 2siny sin y 2 即 例 4 已知曲线 1 C的参数方程为 sin10 cos102 y x 为参数 曲线 2 C的极坐标方程 为 sin6cos2 1 将曲线 1 C的参数方程化为普通方程 将曲线 2 C的极坐标方 程化为直角坐标方程 2 曲线 1 C 2 C是否相交 若相交请求出公共弦的长 若不相交 请说明理由 解 1 由 sin10 cos102 y x 得10 2 22 yx 曲线 1 C的普通方程为10 2 22 yx sin6cos2 sin6cos2 2 sin cos 222 yxyx yxyx62 22 即10 3 1 22 yx曲线 2 C的直角坐标方程为10 3 1 22 yx 分 2 圆 1 C的圆心为 0 2 圆 2 C的圆心为 3 1 10223 30 12 C 22 21 C 两圆相交设相交弦长为d 因为两圆半径相等 所以公共弦平分线段 21 C C 4 222 10 2 23 2 d 22 d 公共弦长为22 10 分 名师点睛名师点睛 1 平面直角坐标系 需要了解解析几何中的基本知识 如两点间距离公式 椭圆 双曲线 抛物线方程的建立以及一般的求轨迹方程的方法 求轨迹方程的一般步骤 1 建立恰当的直角坐标系 设动点 M x y 2 根据题目条件 找出动点 M 所适合的等量关 系式 3 列方程 即利用 x y 表示上述等量关系式 4 化简上述方程为最简形式 5 检验 验证所得到的方程与曲线是否满足一一对应关系 求轨迹方程的常用方法有 定义法 待定系数法 直接法 代入法 参数法 几何法等 2 极坐标与极坐标方程 会在极坐标系中刻画点的位置 体会在极坐标系和直角坐标 系中刻画点的位置的区别 能进行极坐标和直角坐标的互化 3 柱坐标与球坐标 借助具体的实例 如圆形体育台场的座位 地球的经纬度等 了 解在柱坐标系中 球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 并与空间直角坐标系中刻画空 间中点的位置的方法相比较 体会它们的区别 会进行柱坐标 球坐标与直角坐标的互化 考点四 考点四 不等式选讲不等式选讲 例 5 已知函数 解关于的不等式 2 f xx 3 g xxm x 若函数的图象恒在函数图象的上方 求 10f xa a R f x g x 的取值范围 m 解 不等式即为 当时 解集为 10f xa 2 10 xa 1a 2x 即 当时 解集为全体实数 当时 解集为 2 2 1a R1a 1 3 aa 的图象恒在函数图象的上方 即为对任意实数 f x g x 2 3 xxm 恒成立 即恒成立 又对任意实数恒有x 2 3 xxm x 于是得 即的取值范围是 2 3 2 3 5xxxx 5m m 5 例 6 已知对于任意非零实数 不等式恒m 32 1 1 12 xxmmm 成立 求实数的取值范围 x 解 即恒成立 1 12 32 1 m mm xx 1 112 1 12 m mm m mm 只需 1 32 1 xx 1 当时 原式 即 2 3 x3321 xx3 x3 x 2 当时 原式 即1 2 3 x1321 xx1 x11 x 3 当时 原式 即综上的取值范围为1 x13121 xx5 x1 xx 1 3 5 例 7 求函数的最大值 xxy21015 提示 利用不等式解决极值问题 通常设法在不等式一边得到一个常数 并寻找不等式取 等号的条件 这个函数的解析式是两部分的和 若能化为的形式就能利用柯西不等bdac 式求其最大值 解 函数的定义域为且 5 10 yxxy 5215 2222 5 2 1 5 xx 当且仅当时 等号成立 即时函数36427 xx 5512 27 127 x 取最大值 36 例 8 已知 且 求证 1 a 2 a Ran1 21 n aaa n n aaa2 1 1 1 21 分析 观察要证明的结论 左边是个因式的乘积 右边是 2 的次方 再结合nn 发现如果能将左边转化为 的乘积 问题就能得到解决 1 21 n aaa 1 a 2 a n a 证明 因为 所以 即 11 21aa Ra1 11 1 1 2 1 aa a 同理 22 21aa 因为 由不等式的性 nn aa21 1 a 2 a Ran 质 得 因为时 取等号 n n n n aaaaaa22 1 1 1 2121 1 i a ii aa21 所以原式在时取等号 1 21 n aaa 名师点睛名师点睛 1 基本不等式 定理 1 设 则 当且仅当时 等号成立 Rba abba2 22 ba 定理 2 如果 为正数 则 当且仅当时等号成立 abab ba 2 ba 定理 3 如果 为正数 则 当且仅当时等号成abc 3 3 abc cba cba 立 一般结论 如果 为个正数 则 1 a 2 a n an n n n aaa n aaa 21 21 6 当且仅当 时 等号成立 1 a 2 a n a 2 要熟记简单绝对值不等式解法 它是解较复杂的绝对值不等式的基础 即要记住 一般地 如果 则有 因此 不等式的解集0 aax axa ax 是 aa 或 因此 不等式的解集是 ax ax ax ax a a 1 和型不等式的解法求解这类绝对值不等式 只要将cbax cbax 看成一个整体 然后套用或的不等式的解法即可 bax ax ax 2 和型不等式的解法求解这类绝对值不cbxax cbxax 等式 主要的方法有如下三种 利用绝对值的几何意义 分区间讨论法 构造函 数来利用函数的图象求解 求解这类绝对值不等式时 可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解 3 柯西不等式与排序不等式 定理 1 二维形式的柯西不等式 已知 a1 a2 b1 b2 则 R 当且仅当时取等号 由二维形式的柯西 22 2 2222 1 1221212 aba baabb 1 22 1 0aba b 不等式推导出两个非常有用的不等式 对于任何实数 a1 a2 b1 b2 以下不等式成立 2222 12121 122 aabbaba b 2222 12121 122 aabbaba b 定理 2 柯西不等式的向量形式 设是两个向量 则 当且仅当是零 向量 或存在实数 使时 等号成立kk 定理 3 二维形式的三角不等式 设 那么 1212 x xy yR 222222 11221212 xyxyxxyy 二维形式的三角不等式的变式 用代替 用代 用代替 用 13 xx 1 x 13 yy 1 y 23 xx 2 x 代 代入定理 3 得 23 yy 2 y 222222 131323231212 xxyyxxyyxxyy 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式定理定理 设则 2 1 niRba ii 2 1 2 1 2 1 n i i n i i n i ii baba 7 当数组 a1 a2 an b1 b2 bn不全为 0 时 等号成立当且仅当 1 niab ii 即 22 2 222222 1 1221212nnnn aba ba baaabbb 1 2 ii a bR in 等号成立的条件是 12 12 n n aaa bbb 金题热身金题热身 20112011 高考试题及解析高考试题及解析 一 选择题一 选择题 1 1 20112011 年安徽理年安徽理 5 在极坐标系中 点 到圆 的圆心的距离为 2cos A 2 B C D 2 4 9 2 1 9 3 命题意图 本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化 考查两点间距离 解析 极坐标化为直角坐标为 即 圆的极坐标方程 2cos 2sin 33 1 3 可化为 化为直角坐标方程为 即2cos 2 2 cos 22 2xyx 所以圆心坐标为 1 0 则由两点间距离公式 22 1 1xy 故选 D 22 1 1 30 3d 2 2 20112011 年北京理年北京理 5 5 如图 AD AE BC分别与圆O切于点D E F 延长AF与圆O交于另一点G 给出下列三个结论 CABCABAEAD AEADAGAF 其中正确的结论的序号是 ADGAFB A B C D 解析 正确 由条件可知 BD BF CF CE 可得 CABCABAEAD 正确 通过条件可知 AD AE 由切割定理可得 2 AF AGADAD AE 错误 连接 FD 如下图 若 则有 通过图像可ADGAFB ABFDGF 知 因而错误 答案选 A 2ABFBFDBDFDGF 二 填空题 二 填空题 1 20112011 年广东理年广东理 9 9 不等式不等式的解集是的解集是 130 xx 解析解析 由题得 由题得 所以不等所以不等 1 xx1 3 1 3 1 22 xxxxx 8 式的解集为式的解集为 1 xx 2 2 20112011 年广东文 理年广东文 理 1414 坐标系与参数方程选做题 已知两曲线参数方程分别为 坐标系与参数方程选做题 已知两曲线参数方程分别为 和和 它们的交点坐标为 它们的交点坐标为 5cos 0 sin x y 2 5 4 xt tR yt 解析解析 0 0 消去参数后的普通方程为消去参数后的普通方程为 5 5 2 1 sin cos5 y x 消去参数后的普通方程为消去参数后的普通方程为 联联 1 0 55 1 5 2 2 yxy x ty tx 2 4 5 xy 5 4 2 立两个曲线的普通方程得立两个曲线的普通方程得 所以它们的交点坐标为所以它们的交点坐标为 1 5 xx舍 或 5 5 2 y所以 5 5 2 1 3 3 20112011 年广东理年广东理 1515 几何证明选讲选做题 如图 几何证明选讲选做题 如图 4 4 过圆 过圆外一点外一点分别作圆的切线和分别作圆的切线和OP 割线交圆于割线交圆于 且 且 是圆上一点使得是圆上一点使得 则 则 A B7PB C5BC BACAPB AB 解析解析 由题得由题得 35PABACBPAB 35 5 7 AB AB ABBC AB AB PB ABC 4 4 20112011 年广东文年广东文 1515 几何证明选讲选做题 如图 几何证明选讲选做题 如图 4 4 在梯形 在梯形ABCDABCD中 中 ABAB CDCD ABAB 4 4 CDCD 2 2 E E F F分别为分别为ADAD BCBC上点 且上点 且EFEF 3 3 EFEF ABAB 则梯形 则梯形ABFEABFE与梯与梯 形形EFCDEFCD的面积比为的面积比为 解析解析 由题得由题得 EFEF 是梯形的中位线 是梯形的中位线 1 23 5 2 1 7 34 2 ABFE EFCD h S S h 梯形 梯形 5 20115 2011 年湖南文理年湖南文理 9 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 为xoy 1 C sin1 cos y x 参数 在极坐标系 与直角坐标系取相同的长度单位 且以原点为极点 以轴xoyOx 正半轴为极轴 中 曲线的方程为 则与的交点个数为 2 C 01sincos 1 C 2 C 答案 2 解析 首先将曲线和的方程化为圆 和直线 1 C 2 C 1 C 11 2 2 yx 2 C F E D C BA 9 可以用代数法01 yx 或几何法 得到两曲线与相交 故有 2 个交点 0 10 rd 1 C 2 C 评析 本小题主要考查参数方程化为普通方程 极坐标方程化为直角坐标方程的方法以及 直线与圆的位置关系的讨论方法 6 20116 2011 年湖南理年湖南理 10 设 且 则的最小值为 Ryx 0 xy 2 22 2 4 11 y xy x 解析 方法一 由 且可知 则Ryx 0 xy0 0 0 2222 yxyx 22 22 11 4xy yx 当且仅当时 取 2222 2222 11 1 4454549x yx y x yx y 22 22 1 4 yx yx 到等号 方法二 利用柯西不等式 2 9 当且仅当 x2 1 y2 1 x2 4y2 x 1 x 1 y 2y 4x2y2 时 等号成立 1 x2y2 评析 本小题主要考查不等式的性质和基本不等式求最值问题 7 20117 2011 年湖南理年湖南理 11 如图 2 A E 是半圆周上的两个三等分点 直径 BC 4 AD BC 垂足为 D BE 与 AD 相交于点 F 则的 AF 长为 解析 如图 2 中 连接 EC AB OB 由 A E 是半圆周上的两个三等分点 可知 EBC 30 且 ABO 是正三角形 所以 EC 2 BE BD 1 且 AF BF 故填32 3 32 3 32 评析 本小题主要考查平面几何中直线与圆的位置关系问题 涉及与圆有关的定理的运用 8 8 20112011 年陕西文年陕西文 1515 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题评分 A 不等式选做题 若不等式对任意恒成立 则的取值范围12xxa xR a 是 答案 3 解析 因为 对任意恒成立 所以有12 12 3xxxx xR 3a 10 B 几何证明选做题 如图 且 BD AEBC 0 90 ACD 则 6AB 4AC 12 AD AE 答案 2 解析 所以 即Rt ABERt ADC ABAE ADAC 6 4 2 12 ABAC AE AD C 坐标系与参数方程选做题 直角坐标系 xoy 中 以原点为极点 x 轴的正半轴为极 轴建极坐标系 设点 A B 分别在曲线 为参数 和曲线上 1 3cos sin x C y 2 1C 则的最小值为 AB 答案 1 解析 由得圆心为 由得圆心为 3cos sin x y 1 C 1 3 0 1r 1 2 C 1 0 0 1r 由平几知识知当为连线与两圆的交点时的最小值 则的最小值为AB 12 C CABAB 12 2C C 30 2 321 9 20112011 年陕西理年陕西理 1515 考生注意 请在下列三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题评分 A 不等式选做题 若关于 x 的不等式存在实数解 则实数的取值范12axx a 围是 解析 因为所以存在实数解 12 12 3xxxx 12axx 有或3a 3a 3a B 几何证明选做题 如图 BD AEBC 0 90 6 4 ACDABAC 且 12 ADBE 则 答案 4 2 解析 0 90 12 4ACDADAC 22 CDADAC 22 1248 2 又所以 即Rt ABERt ADC ABBE ADDC 6 8 2 4 2 12 ABDC BE AD C 坐标系与参数方程选做题 直角坐标系中 以原点为极点 轴的正半轴为极轴xoyx 11 建立极坐标系 设点 A B 分别在曲线 为参数 和曲线上 1 3cos 4sin x C y 2 1C 则的最小值为 AB 答案 3 解析 由得圆心为 由得圆心为 3cos 4sin x y 1 C 1 3 4 1r 1 2 C 1 0 0 1r 由平几知识知当为连线与两圆的交点时的最小值 则的最小值为AB 12 C CABAB 12 2C C 22 30 40 2 523 1010 20112011 年江西理年江西理 1515 坐标系与参数方程选做题 若曲线的极坐标方程为 2sin4cos 极轴为轴正半轴建立直角坐标系 则该曲线的直角坐标方程为 以极点为原点 x 答案 22 420 xyxy 解析 因为 所以曲线的极坐标方程为cos sinxy 2sin4cos 可以化为 即 2 24yx 22 420 xyxy 1111 20112011 年江西理年江西理 1515 不等式选做题 对于实数 若xy 的最大值为 11 21 21xyxy 则 答案 5 解析 当且 21 1 2 2 2 xyxy 1 2 2 21225xy 仅当且时取等号 考查绝对值不等式的性质 11x 21y 1212 20112011 年江西文年江西文 1515 15 对于 不等式的解集为 xR 1028xx 答案 0 xx 解析 方法一 分三段 当 x2 时 x 10 x 2 x 2 210 x8 20 x8 0 x 综上 方法二 用绝对值的几何意义 可以看成到两点 10 和 2 的距离差大于等于 8 的所有点的 集合 画出数轴线 找到 0 到 10 的距离为10 到 2 的距离为2 1 d 2 d8 21 dd 12 并当 x 往右移动 距离差会大于 8 所以满足条件的 x 的范围是 0 x 13 2011 2011 年天津理年天津理 11 11 已知抛物线 已知抛物线的参数方程为的参数方程为 为参数 为参数 若斜率为 若斜率为 1 1C 2 8 8 xt yt t 的直线经过抛物线的直线经过抛物线的的焦点 且与圆的的焦点 且与圆相切 则相切 则 C 2 22 4 0 xyrr r 答案 2 解析 由抛物线的参数数方程Error 消去t 得y2 8x 焦点坐标为 2 0 直线l的 方程为y x 2 又 直线l与圆 x 4 2 y2 r2相切 r 4 2 12 122 14 201114 2011 年天津文年天津文 1313 理理 12 12 如图如图 已知圆中两条弦已知圆中两条弦 ABAB 与与 CDCD 相交于点相交于点 F EF E 是是 ABAB 延长线上一延长线上一 点点 且且 DF CF DF CF AF FB BE 4 2 1 AF FB BE 4 2 1 若若 CECE 与圆相切与圆相切 则线段则线段 CECE 的长为的长为 2 答案 7 2 解析 法一 设 AF 4x BF 2x BE x 则由相交弦定理得 2 DFAF FB 即 即 由切割线定理得 所以 2 82x 2 1 4 x 2 CEEB EA 2 7 7 4 x 7 2 CE 法二 由 不妨设 则 由相交弦124 BEFBAFmBE mFB2 mAF4 定理得 由切割线定理得 2 1 mBFAFCFDF2 AF1 BF 2 1 BE 2 7 2 ECEAEBEC 三 解答题 三 解答题 1 20112011 年福建理年福建理 2121 本题设有 1 2 3 三个选考题 每题 7 分 请考生任选 2 题做答 满分 14 分 如果多做 则按所做的前两题计分 做答时 先用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目对应的题号涂黑 并将所选题号填入括号中 1 本小题满分 7 分 选修 4 2 矩阵与变换 设矩阵 其中 0 0 I 若 2 3 求矩阵的逆矩阵 0 0 a M b ababM 1 M II 若曲线 在矩阵所对应的线性变换作用下得到曲线 C 22 1xy M C 求 的值 2 2 1 4 x y ab 命题意图 本小题主要考查矩阵与交换等基础知识 考查运算求解能力 考查化归与转 化思想 解析 I 设矩阵 M 的逆矩阵 则又 111 22 xy M xy 1 10 01 MM 20 03 M 13 所以 11 22 2010 0301 xy xy 11221122 11 21 20 30 31 0 0 23 xyxyxyxy 即 故所求的逆矩阵 1 1 0 2 1 0 3 M II 设曲线 C 上任意一点 它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点 P x y P x y 则又点在曲线上 0 0 a b xxaxx yybyy 即 P x y C 2 2 1 4 x y 则为曲线 C 的方程 又已知曲线 C 的方程为 22 22 1 4 a x b y 2 22 2 4 1 1 a xy b 故 又 2 0 0 1 a ab b 所以 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直接坐标系中 直线 的方程为 曲线的参数方程为xOyl40 xy C 为参数 3cos sin x y I 已知在极坐标 与直角坐标系取相同的长度单位 且以原点为极点 以轴xOyOx 正半轴为极轴 中 点的极坐标为 4 判断点与直线 的位置关系 P 2 Pl II 设点是曲线上的一个动点 求它到直线 的距离的最小值 QCl 命题意图 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化 椭圆的参数方程等基础知识 考查 运算求解能力 考查化归与转化思想 解析 I 把极坐标系下的点化为直角坐标 得 P 0 4 4 2 P 因为点 P 的直角坐标 0 4 满足直线 的方程 所以点 P 在直线 上 l40 xy l II 因为点 Q 在曲线 C 上 故可设点 Q 的坐标为 从而点 Q 到直线 3cos sin 的距离为l 2cos 4 3cossin4 6 2cos 2 2 622 d 14 由此得 当时 d 取得最小值 且最小值为cos 1 6 2 3 本小题满分 7 分 选修 4 5 不等式选讲 设不等式的解集为 I 求集合 II 若 试比较 21 1x MMabM 与的大小 1ab ab 命题意图 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识 考查运算求解能力 考查化归与 转化思想 解析 I 由所以 21 1121 1 01 xxx 得解得 01 Mxx II 由 I 和 所以 a bM 可知0 a 1 0 b 1 故 1 1 1 0 ababab 1 abab 2 20112011 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 2121 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在答 题卡指定区域内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过 程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 圆与圆内切于点 其半径分别为与 1 O 2 OA 1 r 212 r rr 圆的弦交圆于点 不在上 1 OAB 2 OC 1 OAB 求证 为定值 AB AC 解析 考察圆的切线的性质 三角形相似的判定及其性质 容易题 证明 由弦切角定理可得 11 21 2 O BrAB AO CAO B ACO Cr B B 选修 选修 4 24 2 矩阵与变换 本小题满分 矩阵与变换 本小题满分 1010 分 分 已知矩阵已知矩阵 向量 向量 求向量 求向量 使得 使得 11 21 A 1 2 2 A 解析 考察矩阵的乘法 待定系数法 容易题 解析 考察矩阵的乘法 待定系数法 容易题 设 由得 x y 2 A 321 432 x y 32111 43222 xyx xyy C C 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 本小题满分 坐标系与参数方程 本小题满分 1010 分 分 在平面直角坐标系在平面直角坐标系中 求过椭圆中 求过椭圆 为参数 的右焦点且与直线为参数 的右焦点且与直线xOy 5cos 3sin x y 为参数 平行的直线的普通方程 为参数 平行的直线的普通方程 42 3 xt yt t 21 A第图 15 解析 考察参数方程与普通方程的互化 椭圆的基本性质 直线方程 两条直线的位置关 系 中档题 椭圆的普通方程为右焦点为 4 0 直线 为参数 的普通方 22 1 259 xy 42 3 xt yt t 程为 斜率为 所求直线方程为 22yx 1 2 1 4 240 2 yxxy 即 D D 选修 选修 4 54 5 不等式选讲 本小题满分 不等式选讲 本小题满分 1010 分 解不等式 分 解不等式 21 3xx 解析 考察绝对值不等式的求解 容易题 原不等式等价于 解集为 4 3213 2 3 xxxx 4 2 3 3 2011 年课标 选修 4 4 坐标系与参数方程 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 D E 分别是 AB AC 边上的点 且不与顶点重合 已知 为方程的两根 证明 C B D E 四ABADnACmAE 014 2 mnxx 点共圆 若 求 C B D E 四点所在圆的半径 6 4 90 nmA 分析 1 按照四点共圆的条件证明 2 运用相似三角形与圆 四边形 方程的性质及关系计算 解 如图 连接 DE 依题意在中 ACBADE AD ABmnAE AC AB AE AC AD 由因为CABDAE 所以 四点 C B D E 共圆 ADE ACE ACBADE 当时 方程的根6 4 nm014 2 mnxx 12 2 21 xx 因而 取 CE 中点 G BD 中点 F 分别过 G F 做 AC AB 的垂线 两垂线交 12 2 ABAD 于点 H 连接 DH 因为四点 C B D E 共圆 所以 H 为圆心 半径为 DH 所以 90A ACHFABGH 5 212 2 1 5 DFAGHF 25 DH 点评 此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质 注意把握判定与性质 的作用 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 1 C sin22 cos2 y x M 是曲线上的动点 点 P 满足 1 求点 P 的轨迹方程 2 在以 D 1 COMOP2 2 C 第 22 题图 AB C D E 16 为极点 X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中 射线与曲线 交于不同于原点 3 1 C 2 C 的点 A B 求AB 分析 1 求曲线的参数方程和求轨迹方程是类似的 即 建系 设点 列式 化简 2 求极坐标系下的两点间的距离除了转化成直角坐标方程 在同一个极角下两点间的距 离 可以用极径的差来计算 解 设动点 则依题意 因为点 M 在曲线上 yxP 2 2 yx M 1 C 所以所以 曲线的参数方程为 sin44 cos4 sin22 2 cos2 2 y x y x 即 2 C 为参数 sin44 cos4 y x 曲线的极坐标方程为曲线的极坐标方程为 它们与射 1 C sin4 2 C sin8 线交于 A B 两点的极径分别是 因此 3 34 3 sin8 32 3 sin4 21 32 21 AB 点评 本题考查坐标系与参数方程的有关内容 求解时既可以化成直角坐标方程求解 也 可以直接求解 关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等选讲 设函数 1 当时 求不等式的解集 2 如0 3 axaxxf1 a23 xxf 果不等式的解集为 求的值 0 xf 1 xxa 分析 解含有绝对值得不等式 一般采用零点分段法 去掉绝对值求解 已知不等式的解 集要求字母的值 先用字母表示解集 再与原解集对比可得字母的值 解 当时 不等式 可化为 1 a23 xxf21 x 所以不等式的解集为3 1 xx23 xxf 3 1 xxx或 因为 所以 可化为 0 xf03 xax 即 0303xxa ax xax ax 或 24 a x ax a x ax 或 因为 所以 该不等式的解集是 再由题设条件得0 a 2 a xx2 1 2 a a 17 点评 本题考查含有绝对值不等式的解法 以及解法的应用 注意过程的完整性与正确性 4 20112011 年辽宁文理 年辽宁文理 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 请考生在第请考生在第 2222 2323 2424 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答是做答是 用用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 A B C D 四点在同一圆上 AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点 且 EC ED I 证明 CD AB II 延长 CD 到 F 延长 DC 到 G 使得 EF EG 证明 A B G F 四点共圆 解析 I 因为 EC ED 所以 EDC ECD 因为 A B C D 四点在同一个圆上 所以 EDC EBA 故 ECD EBA 所以 CD AB II 由 I 知 AE BE 因为 EF EG 故 EFD EGC 从而 FED GEC 连接 AF BG 则 EFA EGB 故 FAE GBE 又 CD AB EDC ECD 所以 FAB GBA 所以 AFG GBA 180O 故 A B G F 四点共圆 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 曲线 cos sin x y C2的参数方程为 为参数 在以 O 为极点 x 轴的正半轴为极 cos sin xa yb 0ab 轴的极坐标系中 射线 l 与 C1 C2各有一个交点 当 0 时 这两个交点间的距离 为 2 当 时 这两个交点重合 2 I 分别说明 C1 C2是什么曲线 并求出 a 与 b 的值 II 设当 时 l 与 C1 C2的 4 交点分别为 A1 B1 当 时 l 与 C1 C2的交点为 A2 B2 求四边形 A1A2B2B1的面积 4 解析 I C1为圆 C2为椭圆 当 0 时 射线 l 与 C1 C2交点的直角坐标分别是 1 0 a 0 因为这两点间的距离为 2 所以 a 3 当时 射线 l 与 C1 C2交点的直角坐标分别是 0 1 0 b 因为这两点重合 所以 2 b 1 II C1 C2的普通方程分别为 2 222 1 1 9 x xyy 当时 射线 l 与 C1交点 A1的横坐标是 与 C2交点 B1的横坐标是 4 2 2 x 3 10 10 x 18 当时 射线 l 与 C1 C2的两个交点 A2 B2的分别与 A1 B1 关于 x 轴对称 因 4 此 四边形与 A1 A2B2B1 为梯形 故四边形与 A1 A2B2B1 的面积为 2 2 3 25 xxxx 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 f x x 2 x 5 I 证明 3 f x 3 II 求不等式 f x x2 8x 15 的解集 解析 I 3 2 2 5 27 25 3 5 x f xxxxx x 当时 所以 25x 3273x 33f x II 由 I 知 当时 的解集为空集 2x 2 815f xxx 当时 的解集为 当时 25x 2 815f xxx 535xx 5x 的解集为 综上 不等式的解集是 2 815f xxx 56xx 2 815f xxx 536xx 核心突破核心突破 20112011 名校模拟题及其答案名校模拟题及其答案 1 2011 2011 豫南九校四联豫南九校四联 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲在ABC 中 AB AC 过点 A 的直线与其外 接圆交 于点 P 交 BC 延长线于点 D 1 求证 BD PD AC PC 2 若 AC 3 求 ADAP 的值 解 1 DDABCCPD DPC DBA BD PD AB PC 又 BD PD AC PC ACAB 5 分 2 CAPCAPAPCACD APC ACD AD AC AC AP 9 2 ADAPAC 2 2011 2011 豫南九校四联豫南九校四联 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知对于任意非零 实数m 不等式 32 1 1 12 xxmmm恒成立 求实数x的取值范 围 解 即 1 12 32 1 m mm xx 恒成立 19 1 112 1 12 m mm m mm 2 分 只需1 32 1 xx 1 当 2 3 x时 原式3321 xx 即3 x3 x 5 分 2 当1 2 3 x时 原式1321 xx 即1 x 11 x 7 分 3 当1 x时 原式1231xx 即5 x1 x 9 分 综上x的取值范围为 1 3 10 分 3 20112011 北京朝阳区期末 北京朝阳区期末 如图 AB是 O的直径 CB切 O于点B CD切 O于 点D CD交BA的延长线于点E 若3AB 2ED 则 BC的长为 3 4 20112011 北京朝阳区期末 北京朝阳区期末 曲线 cos 1 sin x y 为参数 与曲线 2 2 cos0rrq 的 直角坐标方程分别为 2222 1 1 1 1xyxy 两条曲线的交点个数为 2 个 5 5 20112011 北京西城区期末 北京西城区期末 在极坐标系中 过点 1 0 并且与极轴垂直的直线方程是 C A cos B sin C cos1 D sin1 6 6 20112011 北京西城区期末 北京西城区期末 如图所示 过圆C外一点P做一条直线与圆C交 于A B 两点 2BAAP PT与圆C 相切于T点 已知圆C的半径为2 30CAB 则 PT 3 7 2011 2011 东莞期末东莞期末 几何证明选做题几何证明选做题 如图 在ABC 中 5AB 3BC 120ABC 以点B为圆心 线段BC的长为半径的半圆交AB所在直线于点E F 交线段 AC于点D 则线段AD的长为 16 7 E D C B A O B A C T P 20 8 2011 2011 东莞期末东莞期末 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 已知圆 C 的参数方程为 12cos 2sin x y 为参数 以原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线l的极坐标方程为 sin2 则直线l与圆 C 的公共点的直角坐标为 1 2 9 9 20112011 佛山一检 佛山一检 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中 点P的直角坐标为 1 3 若以原点O为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 则点P的极坐标可以是 2 2 3 k 1010 20112011 佛山一检 佛山一检 几何证明选讲 如图 在ABC 中 DE BC EF CD 若3 2 1BCDEDF 则AB的长为 9 2 1111 20112011 广东广雅中学期末 广东广雅中学期末 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 选做题 选做题 已知曲线C的极坐标方程是2sin 直线l的参数方程是 3 2 5 4 5 xt yt t为参数 设直线l与 x轴的交点是M N是曲线C上一动点 则MN的最大值为51 1212 20112011 广东广雅中学期末 广东广雅中学期末 几何证明选讲几何证明选讲 选做题 选做题 如图 圆O的直径8 AB C为圆周上一点 4 BC 过C作圆 的切线l 过A作直线l的垂线AD D为垂足 AD与圆O交于 点E 则线段AE的长为 4 13 20112011广州调研 广州调研 几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题 如图3 四边形内接ABCD 第 15 题图 E D C l B O A 21 于 是直径 与相切 切点为 则 D 125 o BCMNo A35MAB 14 20112011广州调研 广州调研 坐标系与参数方程选讲选做题坐标系与参数方程选讲选做题 已知直线 的参数方程为 l 为参数 圆的极坐标方程为 则直线 与圆的位置关 2 14 xt yt tC2 2sin lC 系为 相交 15 20112011 哈尔滨期末 哈尔滨期末 极坐标方程 2 0 0 3 表示的图形是 C A 两个圆 B 两条直线 C 一个圆和一条射线 D 一条直线和一 条射线 16 20112011 哈尔滨期末 哈尔滨期末 已知直线l的参数方程为 ty tx 2 3 2 2 2 1 t为参数 若以直 角坐标系 xOy的O点为极点 Ox方向为极轴 选择相同的长度单位建立极坐标系 得曲线C的 极坐标方程为 4 cos 2 1 求直线l的倾斜角 2 若直线l与曲线C交于 BA 两点 求 AB 解 1 60 2 l的直角坐标方程为 2 2 3 xy 4 cos 2 的直角坐标方程为 1 2 2 2 2 22 yx 所以圆心 2 2 2 2 到直线l的距离 4 6 d 2 10 AB 22 N M CA B O 17 2011 2011 惠州三调惠州三调 坐标系与参数方程选做 坐标系与参数方程选做 在极坐标系中 点 1 0到直线 cossin2 的距离为 2 2 解析 2 2 直角坐标方程 x y 2 0 d 102 2 2 2 18 18 2011 2011 惠州三调惠州三调 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 点 B 在 O 上 M 为直径 AC 上一点 BM 的延长线交 O 于 N 45BNA 若 O 的半径为2 3 OA 3OM 则 MN 的长为 2 解析 45BNA 90BOA OM 2 BO 2 3 BM 4 BM MN CM MA 2 3 2 2 3 2 8 MN 2 19 2011 2011 锦州期末锦州期末 本小题 10 分 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 设AB为 O的任一条不与直线l垂直的直径 P是 O与l的公共点 AC l BD l 垂足分别为C D 且PCPD 求证 I l是 O的切线 II PB平分 ABD 证明 连结 OP 因为 AC l BD l 所以 AC BD 又 OA OB PC PD 所以 OP BD 从而 OP l 因为 P 在 O 上 所以l是 O 的切线 5 分 连结 AP 因为l是 O 的切线 所以 BPD BAP 又 BPD PBD 90 BAP PBA 90 所以 PBA PBD 即 PB 平分 ABD 10 分 第二问的证明也可 第二问的证明也可 连结 OP 角 OPB 等于角 DBP 而等腰三角形 OPB 中 角 OPB 等于角 OBP 故 PB 平分角 ABD 2020 2011 2011 锦州期末锦州期末 本小题 10 分 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 已知某圆的极坐标方程为06 4 cos 24 2 I 将极坐标方程化为普 通方程 并选择恰当的参数写出它的参数方程 II 若点 P x y在该圆上 求xy 的 最大值和最小值 解 0644 22 yxyx 3 分 sin22 cos22 y x 为参数 5 分 因为 4 sin24 yx 所以其最大值为 6 最小值为 2 10 分 2121 2011 2011 锦州期末锦州期末 本小题 10 分 选修选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等