第22讲圆的有关概念和性质

第 22 讲 圆的有关概念和性质 基础过关 一 精心选一选 1 2013 巴中 如图 已知 O 是 ABD 的外接圆 AB 是 O 的直径 CD 是 O 的 弦 ABD 58 则 BCD 等于 B A 116 B 32 C 58 D 64 第 1 题图 第 2 题图 2 2014 嘉兴 如图 O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E 且 CE 2 DE 8 则 AB 的长为 D A 2 B 4 C 6 D 8 3 2014 济南 如图 O 的半径为 1 ABC 是 O 的内接等边三角形 点 D E 在 圆上 四边形 BCDE 为矩形 这个矩形的面积是 B A 2 B C D 3 3 2 3 2 第 3 题图 第 4 题图 4 2013 苏州 如图 AB 是半圆的直径 点 D 是的中点 ABC 50 则 AC DAB 等于 C A 55 B 60 C 65 D 70 5 2014 丽水 如图 半径为 5 的 A 中 弦 BC ED 所对的圆心角分别是 BAC EAD 已知 DE 6 BAC EAD 180 则弦 BC 的弦心距等于 D A B C 4 D 3 41 2 34 2 6 2013 绥化 如图 点 A B C D 为 O 上的四个点 AC 平分 BAD AC 交 BD 于点 E CE 4 CD 6 则 AE 的长为 B A 4 B 5 C 6 D 7 第 6 题图 第 7 题图 7 2013 日照 如图 在 ABC 中 以 BC 为直径的圆分别交边 AC AB 于 D E 两 点 连接 BD DE 若 BD 平分 ABC 则下列结论不一定成立的是 D A BD AC B AC2 2AB AE C ADE 是等腰三角形 D BC 2AD 8 2014 孝感 如图 在半径为 6 cm 的 O 中 点 A 是劣弧的中点 点 D 是优弧 BC 上一点 且 D 30 下列四个结论 OA BC BC 6 BC 3 cm sin AOB 四边形 ABOC 是菱形 其中正确结论的序号是 B 3 2 A B C D 二 细心填一填 9 2014 黄石 如图 圆 O 的直径 CD 10 cm 且 AB CD 垂足为 P AB 8 cm 则 sin OAP 3 5 第 9 题图 第 10 题图 10 2013 长春 如图 MN 是 O 的弦 正方形 OABC 的顶点 B C 在 MN 上 且点 B 是 CM 的中点 若正方形 OABC 的边长为 7 则 MN 的长为 28 11 2013 兰州 如图 量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合 其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合 射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋 转 CP 与量角器的半圆弧交于点 E 第 24 秒 点 E 在量角器上对应的读数是 144 度 第 11 题图 第 12 题图 12 2013 佛山 如图 圆心角 AOB 30 弦 CA OB 延长 CO 与圆交于点 D 则 BOD 30 13 2014 南通 如图 点 A B C D 在 O 上 O 点在 D 的内部 四边形 OABC 为平行四边形 则 OAD OCD 60 第 13 题图 第 14 题图 14 2014 东营 在 O 中 AB 是 O 的直径 AB 8 cm M 是 AB AC CD BD 上一动点 CM DM 的最小值是 8 cm 三 用心做一做 15 如图 AB 为 O 的直径 弦 CD AB 垂足为点 E K 为上一动点 AC AK DC 的延长线相交于点 F 连接 CK KD 1 求证 AKD CKF 2 若 AB 10 CD 6 求 tan CKF 的值 解 1 连接 AD CKF ADC 又 CD AB 且 AB 为直径 ADC ACD 又 AD AC AKD ACD AKD ADC AKD CKF 2 连接 OD 在 Rt ODE 中 OD 5 DE 3 OE 4 AE 9 在 Rt ADE 中 tan ADE 3 故 AE DE tan CKF 3 16 2013 温州 如图 AB 为 O 的直径 点 C 在 O 上 延长 BC 至点 D 使 DC CB 延长 DA 与 O 的另一个交点为 E 连接 AC CE 1 求证 B D 2 若 AB 4 BC AC 2 求 CE 的长 解 1 AB 为 O 的直径 ACB 90 AC BC DC CB AD AB B D 2 设 BC x 则 AC x 2 在 Rt ABC 中 AC2 BC2 AB2 x 2 2 x2 42 解得 x1 1 x2 1 舍去 77 B E B D D E CD CE CD CB CE CB 1 7 17 2014 黄石 如图 A B 是圆 O 上的两点 AOB 120 C 是 AB 弧的中点 1 求证 AB 平分 OAC 2 延长 OA 至 P 使得 OA AP 连接 PC 若圆 O 的半径 R 1 求 PC 的长 解 1 AOB 120 C 是 AB 弧的中点 AOC BOC 60 又 OA OC OB AOC BOC 都是等边三角形 OA OB AC BC 四边形 AOBC 是菱形 AB 平分 OAC 2 由 1 知 OAC 是等边三角形 OA AC AP AC APC 30 OPC 是直角三角形 PC OC 33 18 2013 乌鲁木齐 如图 点 A B C D 在 O 上 AC BD 于点 E 过点 O 作 OF BC 于 F 求证 1 AEB OFC 2 AD 2FO 解 1 连接 OB 则 BAE BOC OF BC COF BOC BAE COF 又 1 2 1 2 AC BD OF BC OFC AEB 90 AEB OFC 2 AEB OFC 由圆周角定理 D BCE DAE CBE ADE AE BE FO FC BCE OF BC BC 2FC AD FO 2FO 即 AD BC AE BE FO FC AD BC BC FC AD 2FO 挑战技能 19 2013 安徽 如图 点 P 是等边三角形 ABC 外接圆 O 上的点 在以下判断中 不正确的是 C A 当弦 PB 最长时 APC 是等腰三角形 B 当 APC 是等腰三角形时 PO AC C 当 PO AC 时 ACP 30 D 当 ACP 30 时 BPC 是直角三角形 第 19 题图 第 20 题图 20 2013 济宁 如图 以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆 分别交 AB AC 于点 E D DF 是圆的切线 过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G 若 AF 的长为 2 则 FG 的 长为 B A 4 B 3 C 6 D 2 33 21 2014 遵义 如图 边长为 2 的正方形 ABCD 中 P 是 CD 的中点 连接 AP 并延 长交 BC 的延长线于点 F 作 CPF 的外接圆 O 连接 BP 并延长交 O 于点 E 连接 EF 则 EF 的长为 D A B C D 3 2 5 3 3 5 5 4 5 5 22 2013 扬州 如图 已知 O 的直径 AB 6 E F 为 AB 的三等分点 M N 为 上两点 且 MEB NFB 60 则 EM FN AB 33 23 2013 资阳 在 O 中 AB 为直径 点 C 为圆上一点 将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D 连接 CD 1 如图 若点 D 与圆心 O 重合 AC 2 求 O 的半径 r 2 如图 若点 D 与圆心 O 不重合 BAC 25 请直接写出 DCA 的度数 解 1 过点 O 作 OE AC 于 E 则 AE AC 2 1 翻折后点 D 与圆心 O 重 1 2 1 2 合 OE r 在 Rt AOE 中 AO2 AE2 OE2 即 r2 12 r 2 解得 r 2 连 1 2 1 2 2 3 3 接 BC AB 是直径 ACB 90 BAC 25 B 90 BAC 90 25 65 根据翻折的性质 所对的圆周角等于所对的圆周角 AC ADC DCA B A 65 25 40 24 2013 武汉 如图 已知 ABC 是 O 的内接三角形 AB AC 点 P 是的中点 AB 连接 PA PB PC 1 如图 若 BPC 60 求证 AC AP 3 2 如图 若 sin BPC 求 tan PAB 的值 24 25 解 1 BPC 60 BAC 60 AB AC ABC 为等边三角形 ACB ABC APC 60 而点 P 是的中点 ACP ACB 30 AB 1 2 PAC 90 tan PCA tan30 AC PA 2 过 A 点作 AD BC PA AC 3 33 交 BC 于 D 连接 OP 交 AB 于 E AB AC AD 平分 BD 点 O 在 AD 上 连接 OB 则 BOD BAC BPC BAC sin BOD sin BPC 设 24 25 BD OB OB 25x 则 BD 24x OD 7x 在 Rt