江苏省南通市2012届高三数学学科基地密卷（一）

用心 爱心 专心 1 20122012 届南通市数学学科基地密卷届南通市数学学科基地密卷 一一 数数 学学 I I 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 请把答案填写在答卷纸的相应位 置上 1 2zmi m R 若 1 1 z i 对应点在第二象限 则 m 的取值范围为 2 已知全集U R 集合 2 50AxZxx 40Bx x 则 U C AB 中最 大的元素是 3 已知 cos sin 0 1 3 mxxn 若函数 f xm n 的最小正周期是 2 则 1 f 4 执行以下语句后 打印纸上打印出的结果应是 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页 包含填空题 第 1 题 第 14 题 解答题 第 15 题 第 20 题 本卷满分 160 分 考试时间为 120 分钟 考试结束后 请将答题卡交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置 3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答 在其他位置作答一律无效 作答 必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔 请注意字体工整 笔迹清楚 4 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 5 请保持答题卡卡面清洁 不要折叠 破损 一律不准使用胶带纸 修正液 可擦洗 的圆珠笔 1i 4x While i 10 2xxi 3ii End While Print x x 用心 爱心 专心 2 5 已知函数 f x 1 2tanxx 0 2 x 则 f x 的单调减区间是 6 在数轴上区间 3 6 内 任取三个点 A B C 则它们的坐标满足不等式 0 ABBC xxxx 的概率为 7 P 为抛物线 2 4yx 上任意一点 P 在 y 轴上的射影为 Q 点 M 4 5 则 PQ 与 PM 长度 之和的最小值为 8 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列正确命题序号是 1 若 m n 则 m n 2 若 mmn 则 n 3 若m n 且m n 则 4 若 m 则 m 9 定义在R上 f x 满足 2 1f xf x A 当 0 2 x 时 f x 1 2 x 则 2011 f 10 过平面区域 20 20 20 xy y xy 内一点P作圆 22 1O xy 的两条切线 切点分别为 A B 记 APB 则当 最小时cos 11 如图所示的数阵叫 莱布尼兹调和三角形 他们是由整数的倒数组成的 第n行有n个 数且两端的数均为 1 2 n n 每个数是它下一行左右相邻两数的和 如 111 111 111 122 236 3412 则第 3 n n 行第 3 个数字是 12 已知正方形ABCD的坐标分别是 1 0 0 1 1 0 0 1 动点 M 满足 1 2 MBMD kk A 则MA MC 用心 爱心 专心 3 13 1 8 a 是 对 正实数x 2 a xc x 的充要条件 则实数c 14 函数 f x 的定义域为D 若满足 f x 在D内是单调函数 存在 a bD 使 f x 在 a b 上的值域为 b a 那么 yf x 叫做对称函数 现有 2f xxk 是对称函数 那么k的取值范围是 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 请把答案写在答题卡相应的位置上 解答时应 写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 14 分 已知二次函数 f x x2 mx n 对任意 x R 都有 f x f 2 x 成立 设向量 sinx 2 2sinx cos2x 1 1 2 a b 1 2 c d 求函数 f x 的单调区间 当 x 0 时 求不等式 f f 的解集 a b c d 16 本题满分 14 分 在如图的多面体中 EF 平面AEB AE EB ADEF EFBC 24BCAD 3EF 2AEBE G是BC的中点 求证 AB 平面DEG 求证 BD EG 求多面体ADBEG的体积 17 本题满分 14 分 已知双曲线 2 2 1 2 x y 的两焦点为 12 F F P为动点 若 12 4PFPF 求动点P的轨迹E方程 AD F E BGC 用心 爱心 专心 4 B A1 A2 C O A3 若 12 2 0 2 0 1 0 AAM 设直线l过点M 且与轨迹E交于R Q两点 直 线 1 AR 与 2 A Q 交于点S 试问 当直线l在变化时 点S是否恒在一条定直线上 若是 请 写出这条定直线方程 并证明你的结论 若不是 请说明理由 18 本题满分 16 分 如图所示 一吊灯的下圆环直径为 4m 圆心为 O 通过细绳悬挂在天花板上 圆环呈 水平状态 并且与天花板的距离 OB即 为 2m 在圆环上设置三个等分点 A1 A2 A3 点 C 为OB上一点 不包含端点 O B 同时点 C 与点 A1 A2 A3 B 均用细绳相连接 且细绳 CA1 CA2 CA3 的长度相等 设细绳的总长为 y 1 设 CA1O rad 将 y 表示成 的函数关系式 2 请你设计 当角 正弦值的大小是多少时 细绳总长 y 最小 并指明此时 BC 应为 多长 19 本题满分 16 分 已知 数列 n a 有 paaa 21 常数 0 p 对任意的正整数 nn aaaSn 21 并有 n S 满足 2 1 aan S n n 1 求a的值 2 试确定数列 n a 是不是等差数列 若是 求出其通项公式 若不是 说明理由 3 令 2 1 1 2 n n n n n S S S S p 是否存在正整数 M 使不等式 12 2 n pppnM 恒成 立 若存在 求出 M 的最小值 若不存在 说明理由 用心 爱心 专心 5 20 本小题满分 16 分 已知函数 x x xf ln 1 求 xf 的单调区间 2 若关于x的不等式 mxx ln 对一切 02 aaax 都成立 求m范围 3 某同学发现 总存在正实数 baba 使 ab ba 试问 他的判断是否正确 若正确 请写出a的范围 不正确说明理由 数学 附加题 23 必做题 本题满分 10 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1 矩阵与变换 求矩阵 M 12 21 的特征值及其对应的特征向量 2 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中 椭圆 C 的参数方程为 sin cos3 y x 其中 为参数 以 O 为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为 63 3 cos 2 求椭圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值和最小值 二 必做题 每小题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 3 如图 已知三棱柱 111 CBAABC 的侧棱与底面垂直 ABACABAA 1 1 AC M 是 1 CC 的中点 N 是 BC 的中点 点 P 在直线 11B A 上 且 满足 111 BAPA 当 取何值时 直线 PN 与平面 ABC 所成的角 最大 若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45 试确定点 P 的位置 1 A 1 B P N M A B C 1 C 用心 爱心 专心 6 4 已知数列 n a 满足 2 3 3 1 1 naa n a n 求证 NmNn n 使 34 nn ma 求 2010 a 的末位数字 数学参考答案 1 1 1 2 3 3 1 4 28 5 4 2 6 0 ABBC xxxx 的实质是点B在点 A C 之间 故考虑它们的排列顺序可得答案为 1 3 7 341 解析 焦点 1 0 FPMPQ 1PMPF 而PM PF 的最小值是 34MF 8 3 4 9 2 10 当P离圆O最远时 最小 此时点P坐标为 4 2 记 APO 则 2 cos1 2sin 计算得cos 9 10 11 2 1 2 nnn 12 设点M的坐标为 x y 1 2 MBMD kk A 111 2 yy xx 整理 得 2 2 1 2 x y 0 x 发现动点 M 的轨迹方程是椭圆 其焦点恰为 A C 两点 所以 2 2MA MC 用心 爱心 专心 7 13 若 0 c 则 0 a 不符合题意 若 0 c 则 2 8 c a 于是 2 1 1 88 c c 亦可转化为二 次函数 2 2axcx 恒成立展开讨论 14 由于 2f xxk 在 2 上是减函数 所以 2 2 aka bkb 关于x的方程 2xkx 在 2 上有两个不同实根 通过换元结合图象可得 9 2 4 k 15 解 1 设 f x 图象上的两点为 A x y1 B 2 x y2 因为 1 x 2 x 2 f x f 2 x 所以 y1 y2 由 x 的任意性得 f x 的图象关于直线 x 1 对称 x 1 时 f x 是增函数 x 1 时 f x 是减函数 2 sinx 2 2sinx 2sin2x 1 1 a b 1 2 cos2x 1 1 2 cos2x 2 1 c d f x 在是 1 上为增函数 f f f 2sin2x 1 a b c d f cos2x 2 2sin2x 1 cos2x 2 1 cos2x 1 cos2x 2 cos2x 0 2k 2 2x 2k 2 3 k z k 4 x k 4 3 k z 0 x 4 x 4 3 综上所述 不等式 f f 的解集是 x 4 x 4 3 a b c d 16 解 证明 ADEF EFBC ADBC 又 2BCAD G是BC的中点 ADBG 四边形ADGB是平行四边形 ABDG AB 平面DEG DG 平面DEG AB 平面DEG 证明 EF 平面AEB AE 平面AEB EF AE 又 AEEB EBEFE EB EF 平面BCFE AE 平面BCFE 过D作 DHAE交EF 于H 则DH 平面BCFE EG 平面BCFE DH EG 用心 爱心 专心 8 ADEF DHAE 四边形AEHD平行四边形 2EHAD 2EHBG 又 EHBG EHBE 四边形BGHE为正方形 BH EG 又 BHDHH BH 平面BHD DH 平面BHD EG 平面BHD BD 平面BHD BD EG EF 平面AEB ADEF EF 平面AEB 由 2 知四边形BGHE为正方形 BCBE BECDAEBDADBEG VVV AESADS BCEABE 3 1 3 1 3 8 3 4 3 4 17 解法一 由题意知 1 3 0 3 0 FF 又 12 4PFPF 动点 P x y 必在以 12 F F 为焦点 长轴长为 4 的椭圆 a 2 又 c 3 222 bac1 椭圆C的方程为 2 2 2 x y1 4 由题意 可设直线l为 1xmy 取m 0 得 33 R 1 Q 1 22 直线 1 A R 的方程是 33 yx 63 直线 2 A Q 的方程是 3 yx3 2 交点为 1 S 4 3 若 33 R 1 Q 1 22 由对称性可知交点为 2 S4 3 若点S在同一条直线上 则直线只能为 x4 以下证明对于任意的m 直线 1 A R 与直线 2 A Q 的交点S均在直线 x4 上 事实上 由 2 2 x y1 4 xmy1 得 2 2 my14y4 即 22 m4 y2my30 记 1122 R x y Q x y 则 1212 22 2m3 yy y y m4m4 设 1 A R 与 交于点 00 S 4 y 由 01 1 yy 42x2 得 1 0 1 6y y x2 用心 爱心 专心 9 设 2 A Q 与 交于点 00 S 4 y 由 02 2 yy 42x2 得 2 0 2 2y y x2 12 00 12 6y2y yy x2x2 1221 12 6ymy12ymy3 x2x2 1212 12 4my y6 yy x2x2 22 12 12m12m m4m4 0 x2x2 00 yy 即 0 S 与 0 S 重合 这说明 当m变化时 点S恒在定直线 x4 上 解法二 同解法一 取m 0 得 33 R 1 Q 1 22 直线 1 A R 的方程是 33 yx 63 直线 2 A Q 的方程 是 3 yx3 2 交点为 1 S 4 3 取m 1 得 8 3 R Q 0 1 5 5 直线 1 A R 的方程是 11 yx 63 直线 2 A Q 的方程是 1 yx1 2 交点为 2 S4 1 若交点S在同一条直线上 则直线只能为 x4 以下证明对于任意的m 直线 1 A R 与直线 2 A Q 的交点S均在直线 x4 上 事实上 由 2 2 x y1 4 xmy1 得 2 2 my14y4 即 22 m4 y2my30 记 1122 R x y Q x y 则 1212 22 2m3 yy y y m4m4 1 A R 的方程是 1 1 y yx2 x2 2 A Q 的方程是 2 2 y yx2 x2 消去 y 得 12 12 yy x2x2 x2x2 以下用分析法证明x 4 时 式恒成立 要证明 式恒成立 只需证明 12 12 6y2y x2x2 用心 爱心 专心 10 B A1 A2 C O A3 即证 1221 3ymy1ymy3 即证 1212 2my y3 yy 1212 22 6m6m 2my y3 yy0 m4m4 式恒成立 这说明 当m变化时 点S恒在定直线 x4 上 解法三 同解法一 由 2 2 x y1 4 xmy1 得 2 2 my14y4 即 22 m4 y2my30 记 1122 R x y Q x y 则 1212 22 2m3 yy y y m4m4 1 A R 的方程是 1 1 y yx2 x2 2 A Q 的方程是 2 2 y yx2 x2 由 1 1 2 2 y yx2 x2 y yx2 x2 得 12 12 yy x2x2 x2x2 即 2112 2112 yx2yx2 x2 yx2yx2 2112 2112 ymy3ymy1 2 ymy3ymy1 1221 21 2my y3yy 2 3yy 11 22 11 2 32m 2m3yy m4m4 24 2m 3yy m4 A 这说明 当m变化时 点S恒在定直线 x4 上 18 解 在Rt COA1 中 cos 2 1 CA tan2 CO 2 分 tan22 cos 2 33 1 CBCAy 2 cos sin3 2 4 0 7 分 22 2 cos 1sin3 2 cos sin sin3 cos 2 y 令 0 y 则 3 1 sin 12 分 用心 爱心 专心 11 当 3 1 sin 时 0 y 3 1 sin 时 0 y sin y 在 4 0 上是增函数 当角 满足 3 1 sin 时 y 最小 最小为 224 此时 BC 2 2 2 m 16 分 19 解 1 由已知 得 aa aa s 11 2 1 0 a 2 由 0 1 a 得 2 n n na S 则 2 1 1 1 n n an S nnnn naanSS 11 1 2 即 nnn naana 11 1 2 于是有 nn naan 1 1 并且有 12 1 nn anna 1 1 112nnnn naananna 即 112nnnn aanaan 而n是正整数 则对任意 Nn 都有 nnnn aaaa 112 数列 n a 是等差数列 其通项公式是 pnan 1 3 2 1 1 1 22 22 2 1 2 1 22 22 nn nnpnnp n np Sp nnpnnp nn npppp n 2 321 222222 2 2 2 2 13242 n nn 2 2 1 2 12 nn 由n是正整数可得 32 21 nppp n 故存在最小的正整数 M 3 使不等式 12 2 n pppnM 恒成立 20 1 定义域 0 2 1ln 0 x fx x ln 1x f x 在 0 e 递增 e 递减 2 由题 lnx m x 用心 爱心 专心 12 max 2 ln2 2 e a a f x a max ln ae a f x a max 2 1 e ae f x e 1 2 3 2 e a 时 ln2 2 e m a a e 时 lna m e 2 e ae 时 1 m e 数学 附加题 参考答案 1 解 矩阵 M 的特征多项式为 4 1 1 12 21 f 32 2 令 0 f 得矩阵 M 的特征值为 1 和 3 当 220 1 0 220 xy xy xy 时 联立解得 所以矩阵 M 的属于特征值 1 的一个特征向量为 1 1 当 220 3 220 xy xy xy 时 联立解得 所以矩阵 M 的属于特征值 3 的一个特征向量为 1 1 2 解 直线 l 的普通方程为 0633 yx 设椭圆 C 上的点到直线 l 距离为d 2 63 4 sin 6 2 63sin3cos3 d 当 1 4 sin 时 62 max d 当 1 4 sin 时 6 min d 3 解 1 以 AB AC 1 AA