高考数学冲刺复习 精练40

用心 爱心 专心1 数学冲刺数学冲刺复习 数学精练 数学精练 4040 1 已知椭圆E的中心在原点 焦点在x轴上 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 21 离心率e 2 2 求椭圆E的方程 过点 1 0 作直线l交E于P Q两点 试问在x轴上是否存在一定点M 使MP MQ 为定值 若存在 求出定点M的坐标 若不存在 请说明理 由 2 已知向量 2 0 0 1 OAOCAB 动点M到定直线1y 的距离等于 d并且满 足 2 OM AMk CM BMd 其中O是坐标原点 k是参数 1 求动点M的轨迹方程 并判断曲线类型 2 当 1 2 k 时 求2OMAM 的最大值和最小值 3 如果动点M的轨迹是圆锥曲线 其离心率e满足 32 32 e 求实数k的取值 范围 3 已知椭圆的一个焦点是 两个焦点与短轴的一个端点 22 22 1 0 xy Cab ab 1 0 构成等边三角形 求椭圆的方程 C 过点且不与坐标轴垂直的直线 交椭圆于两点 设点关于轴 4 0 PlC A BAx 的对称点为 1 A i 求证 直线过轴上一定点 并求出此定点坐标 1 ABx ii 求 面积的取值范围 BOA1 用心 爱心 专心2 A O x y P Q 4 过x轴上动点 0 A a引抛物线 2 1yx 的两条切线AP AQ 为切点 PQ 1 若切线AP AQ的斜率分别为 1 k和 2 k 求证 12 k k 为定值 并求出定值 2 求证 直线PQ恒过定点 并求出定点坐标 3 当 APQ S PQ 最小时 求AQ AP 的值 5 若圆C过点 0 1 M且与直线1 yl相切 设圆 心C的轨迹为曲线E A B为曲线E上的两点 点 0 0 ttP 且满足 1 APPB 1 求曲线E的方程 2 若6 t 直线AB的斜率为 2 1 过A B两点的圆N与抛物线在点A处有共同的 切线 求圆N的方程 3 分别过A B作曲线E的切线 两条切线交于点Q 若点Q恰好在直线l上 求证 t与QA QB 均为定值 6 已知定点A 1 0 F 2 0 定直线l x 1 2 不在x轴上的动点P与点F的距离 是它到直线l的距离的 2 倍 设点P的轨迹为E 过点F的直线交E于B C两点 直线 AB AC分别交l于点M N 求E的方程 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F 并说明理由 7 如图所示 在正三棱柱中 底面边长为 侧棱长为 是棱 111 ABCABC a 2 2 a D 的中点 11 AC 求证 平面 1 BC 1 AB D A B C A1B1 C1 D 用心 爱心 专心3 求二面角的大小 11 AABD 求点到平面的距离 1 C 1 AB D 参考答案参考答案 解 1 2 21 1 2 1 2 a ac c c e b a 所求椭圆 E 的方程为 2 2 1 2 x y 2 当直线l不与 x 轴重合时 可设直线l的方程为 1xky 22 22 1 xy xky 1 2 把 2 代人 1 整理得 22 k2 y2ky 10 用心 爱心 专心4 12 2 12 2 2k yy k2 1 yy k2 假设存在定点 0 M m 使得MP MQ 为定值 11221212 MP MQ xm yxm yxm xmy y 1212 1 1 kym kymy y 2 2 1212 1 1 1ky ykm yym 22 2 22 1 2 1 1 k2k2 kkm m 22 22 22 23 1 23 2 54 1 1 22 mkmkm mm kk 当且仅当540m 即 5 4 m 时 7 MP MQ 16 为定值 这时 5 4 0 M 再验证当直线l的倾斜角0 时的情形 此时取 2 0 P 2 0 Q 5 4 2 0 MP 5 4 2 0 MQ 557 MP MQ22 4416 存在定点 5 4 0 M使得对于经过 1 0 点的任意一条直线l 均有 7 MP MQ 16 恒为定值 2 1 设 M x y由题设可得 2 0 2 1 0 1ABC 2 1OMx yAMxyCMx y 2 1 1BMxydy 因 2 OM AMk CM BMd 2 2 12 11x yxykx yxyy 即 22 120kxxy 为所求轨迹方程 当1k 时 0 y 动点M的轨迹是一条直线 当0k 时 22 20 xxy 动点M的轨迹是圆 当1k 时 方程可化为 2 2 11 1 y x k 当1k 时 动点M的轨迹是双曲线 用心 爱心 专心5 当01 0kk 时 动点M的轨迹是椭圆 2 当 1 2 k 时 M的轨迹方程为 2 2 11 1 2 y x 得 2 2 11 02 1 22 xyx 2 2 2 2 22 34 3 OMAMx yxyxy 2 222 11 349 34 9 1 22 xyxx 2 957 232 x 当 5 3 x 时 2 2OMAM 取最小值 7 2 当0y 时 2 2OMAM 取最大值 16 因此 的最小值是 14 2 最大值是 4 3 由于 32 32 e 即1 e 此时圆锥曲线是椭圆 其方程可化为 2 2 11 1 y x k 当01k 时 222 1 1 1 1 abk ckk 2 2 2 c ek a 3211 3232 ek 当0k 时 222 1 1 1 1 ak bckk 2 2 2 11 ckk e akk 3211 32312 k e k 而0k 得 1 1 2 k 综上 k的取值范围是 11 1 1 23 2 3 易得 则所以椭圆的标准方程为 2 1ac c 3b 22 1 43 xy i 不妨设直线方程为 代入 4l xmy 22 1 43 xy 得 22 34 24360mymy 设 则有 1122 A x yB xy 12 2 24 34 m yy m 12 2 36 34 y y m 由关于轴的对称点为 得 Ax 1 A 111 A xy 用心 爱心 专心6 根据题设条件设定点为 0 Q t 得 即 整理得 1 QBQA kk 21 21 yy xttx 1221 12 x yx y t yy 代入得 1221122112 121212 4 4 2 4 x yx ymy ymyymy y t yyyyyy 1t 则定点为 1 0 Q ii 由 I 中判别式 解得 而直线过定点0 22mm 或 1 AB 1 0 Q 所以 11 12 2 12 4 4 34 3 OA BAB m SOQyyyy m m m 11 22 记 易得在上位单调递减函数 tm 4 4 3 f t t t f t 2 得 1 3 0 2 OA B S 4 1 2yx 2 APp lyxxa 即 即 2 ppp yxxa 22 pp yx a 同理 所以 联立 PQ 的直线方程和抛物线方程可得 22 QQ yx a 22 QP lyxa 所以 所以 12 k k 2 210 xxa 1 2 pQpQ x xxxa 224 pQ xx 2 因为 所以直线PQ恒过定点 22 QP lyxa 0 2 3 所以 APQ S PQ 设 2 APQ d SPQ 22 22 221 2 2 4141 daa aa 2 411ta 所以 APQ S PQ 当且仅当取等号 即 2 33 42 t t 3t 2 2 a 因为 AQ AP 2 ppQQpQpQpQ xa yxa yx xa xxay y 因为 22 22 22 444 44 pQpQpQpQ y yx ax aa x xa xxa 所以AQ AP 2 9 33 2 a 5 1 依题意 点C到定点M的距离等于到定直线l的距离 所以点C的轨迹为抛物线 曲线E的方程为yx4 2 2 直线AB的方程是 1 6 2 yx 即2120 xy 用心 爱心 专心7 由 0122 4 2 yx yx 得点A B的坐标是 6 9 或 4 4 当 6 9 A 4 4 B 时 由yx4 2 得 2 4 1 xy 1 2 yx 所以抛物线yx4 2 在点A处切线的斜率为 6 3 x y 直线NA的方程为 1 9 6 3 yx 即 1 11 3 yx 线段AB的中点坐标为 13 1 2 中垂线方程为 13 2 1 2 yx 即 17 2 2 yx 由 解得 3 23 22 N 于是 圆C的方程为 2222 323323 4 4 2222 xy 即 2 125 2 23 2 3 22 yx 当 4 4 A 6 9 B时 抛物线yx4 2 在点A处切线的斜率为 4 2 x y 此时切线与 AB垂直 所求圆为以AB为直径的圆 可求得圆为 22 13125 1 24 xy 3 设 4 2 1 1 x xA 4 2 2 2 x xB 1 Q a 过点A的切线方程为 2 11 1 42 xx yxx 即 2 11 240 xax 同理可得042 2 2 2 axx 所以 12 2xxa 4 21 xx 又 21 2 2 2 1 44 xx xx kAB 12 4 xx 所以直线AB的方程为 2 112 1 44 xxx yxx 即 1212 44 xxx x yx 亦即1 2 a yx 所以1t 而 2 1 1 1 4 x QAxa 2 2 2 1 4 x QBxa 所以 22 12 12 1 1 44 xx QA QBxa xa 222 2 121212 1212 2 1 164 x xxxx x x xa xxa 2 22 48 42110 4 a aa 6 1 设P x y 则 22 1 2 2 2 xyx 用心 爱心 专心8 化简得x2 2 3 y 1 y 0 2 当直线BC与x轴不垂直时 设BC的方程为y k x 2 k 0 与双曲线x2 2 3 y 1 联立消去y得 3 k 2x2 4k2x 4k2 3 0 由题意知 3 k2 0 且 0 设B x1 y1 C x2 y2 则 2 12 2 2 12 2 4 3 43 3 k xx k k x x k y1y2 k2 x1 2 x2 2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 k2 22 22 438 33 kk kk 4 2 2 9 3 k k 因为x1 x2 1 所以直线AB的方程为y 1 1 1 y x x 1 因此M点的坐标为 1 1 31 2 2 1 y x 1 1 33 2 2 1 y FM x 同理可得 2 2 33 2 2 1 y FN x 因此 2 12 12 93 22 1 1 y y FM FN xx A 2 2 22 22 81 4 3 4349 4 1 33 k k kk kk 0 当直线BC与x轴垂直时 起方程为x 2 则B 2 3 C 2 3 AB的方程为y x 1 因此M点的坐标为 1 3 2 2 3 3 2 2 FM 用心 爱心 专心9 同理可得 33 22 FN 因此 2 333 222 FM FN A 0 综上FM FN A 0 即FM FN 故以线段MN为直径的圆经过点F 7 连结与交于 1 AB 1 ABE 则为的中点 为的中点 为的E 1 AB D 11 AC DE 11 ABC 中位线 又平面 平面 1 BCDEDE 1 AB D 1 BC 平面 1 AB D 1 BC 1 AB D 解法 1 过作于 由正三棱柱的性质可