高中数学 第九章第12课时斜线在平面上的射影直线和平面所成的角教师专用教案 新人教A版

用心 爱心 专心1 斜线在平面上的射影 直线和平面所成的角斜线在平面上的射影 直线和平面所成的角 一 素质教育目标一 素质教育目标 一 知识教学点 1 点在平面上的射影 点到平面的垂线段 2 有关平面的斜线的几个概念 3 有关射影的几个概念 4 射影定理 5 有关直线和平面成角的几个概念 二 能力训练点 1 加深对数学概念的理解掌握 2 初步学会依据直线与平面成角的定义用于解决成角问题的一般方法 二 教学重点 难点 疑点及解决方法二 教学重点 难点 疑点及解决方法 1 教学重点 射影定理的叙述和记忆及直线与平面成角的概念 2 教学难点 定理的理解及有关直线与平面成角的练习 3 教学疑点及解决方法 1 斜线在平面上的射影 是 直线和平面所成的角 的基础 斜线在平面上 的射影 这一小节出现概念较多 为了便于学生理解和记忆 可以边画出课本的图形 1 30 边讲解 结合图形记忆 快而且准 教学中 一般先画出斜线 AC 与平面 斜交于 C 再 过 AC 上一点 A 引 AB 垂足为点 B 连结 BC 然后指出 AC 是平面 上的斜线 线段 AC 是点 A 到平面 的斜线段 线段 AB 是点 A 到平面 的垂线段 点 B 是点 A 到平面 的垂线的垂足 直线 BC 是线段 AC 在平面 上的射影 2 斜线段在平面上的射影是一条线段 斜线在平面上的射影是直线 垂线和垂线 段在平面上的射影退化成一个点 3 为照顾一般习惯说法 课本中定义射影是用 在平面上 而说点 直线 在 平面内 并非不同 用心 爱心 专心2 4 射影定理中三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点 向平面所引而得到的 否则 结论不成立 5 直线和平面相交 它们的相互位置与两条相交直线一样 仍需用角来表示 但 过交点在平面内可以作许多条直线 与平面相交的直线同平面内每一条直线所成的角是不 相等的 为了定义的准确性 所以取这些角中有确定值的最小角 也就是取该斜线与其在 平面上射影所成的锐角作为直线和平面所成的角 6 直线和平面的位置关系可以用直线和平面成角范围来刻划 反之 由直线和平 面所成角的大小也可以确定直线和平面的相互位置 直线和平面平行或直线在平面内 0 直线和平面成角的范围是 0 90 三 课时安排三 课时安排 1 课时 四 学生活动设计四 学生活动设计 常规活动 略 五 教学步骤五 教学步骤 一 新课概念教学 1 点在平面上的射影 点到平面的垂线段自一点向平面引垂线 垂足叫做这点在这这点在这 个平面上的射影个平面上的射影 这点与垂足间的线段叫这点到这个平面的垂线段这点到这个平面的垂线段 2 平面的斜线的有关概念 一条直线和一个平面相交 但不和这个平面垂直 这条直线叫这个平面的斜线这个平面的斜线 斜线 和平面的交点叫斜足斜足 斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段 这点到这个平面的斜线段 3 射影的有关概念 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面上的斜线在这个平面上的 射影射影 垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线段在这个平面上的射影 用心 爱心 专心3 说明 教师边画出课本图形 1 30 边讲解 点 B 点 A 在平面上的射影 AB 点 A 到平面的垂线段 AC 平面的一条斜线 C 斜足 线段 AC 斜线段 直线 BC 斜线 AC 在平面上的射影 线段 BC 斜线段 AC 在平面上的射影 板书 1 点在平面上的射影 2 点到平面的垂线段 3 斜线 斜足 斜线段 4 斜线在平面上的射影 5 线段在平面上的射影 二 射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 1 1 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 2 2 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 3 3 垂线段比任何一条斜线段都短 垂线段比任何一条斜线段都短 用心 爱心 专心4 关于射影定理说明如下 设 A 为平面 外一点 AO AB AC 为任意两条斜线 O 为垂足 则 OB 和 OC 分 别是 AB 和 AC 的射影 则 AB 和 AC 分别为 Rt ABO 和 Rt ACO 的斜边 由勾股定理可知 AB2 AO2 OB2 AC2 AO2 OC2 比较上面两个等式 得 还可以得到 AB AO AC AO 所以 AO 过点 A 向平面 所引线段中最短的一条 三 直线与平面成角 1 定义 1 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫做这条直线和平面所成的这条直线和平面所成的 角 角 2 直线和平面垂直 直线与平面所成的角是直角 所成的角是直角 3 直线和平面平行或直线在平面内 直线与平面所成的角是所成的角是 0 0 度的角 度的角 2 按照定义 在求直线和平面所成的角时 应按下述三种情况依次进行考虑 用心 爱心 专心5 1 直线和平面平行或直线在平面内时 直线和平面所成的角是 0 角 2 直线和平面垂直时 直线和平面所成的角是直角 3 直线和平面斜交时 直线和平面所在的角是指直线和它在平面内的射影所成的 锐角 3 3 斜线和平面所成的角 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小 斜线和平面所成的角 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小 的角 的角 让学生看书 3 分钟 加以理解 四 例题分析 1 如图 1 82 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 E F 分别是 AA1 A1D1 的中点 求 1 D1B1 与面 AC 所成角的余弦值 2 EF 与面 A1C1 所成的角 3 EF 与面 AC 所成的角 解 2 45 3 45 用心 爱心 专心6 2 如图 1 83 Rt ABC 的斜边 AB 在平面 M 内 AC 和 BC 与 M 所成的角分别是 30 45 CD 是斜边 AB 上的高 求 CD 与 M 所成的角 分析 作出 CD 与平面 M 所成的角 然后去解含这个角的三角形 解 作 CC1 平面 M 连结 AC1 BC1 DC1 依题意 CAC1 30 CBC1 45 设 CC1 a 则 AC 2a CDC1 60 3 可让学生完成课后练习 1 2 五 归纳小结 这节课 我们学习了有关平面的斜线 射影和直线与平面成角的几个概念 射影定理 中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到 的 否则 结论不成立 六 布置作业六 布置作业 作为一般要求 完成习题四 9 10 补充 1 AB 是直角三角形 ABC 的斜边 三个顶点在平面 M 的同侧 它们在 M 内的射影分别 是 A1 B1 C1 如果三角形 A1B1C1 是正三角形 且 AA1 3cm BB1 5cm CC1 4cm 求 三角形 A1B1C1 的面积 用心 爱心 专心7 解 设正