重庆市第一中学2020届高三3月月考 数学（理）（PDF版）

pxx sincos2 xRp xR xR pq pq a 1 a 1 1 aR 3 0 1 3 0 2 3 1 1 3 1 2 p p p 5 ABp AB A BFypx p 2 2 0 cba cab bac acb c 1 4 2 3 b 2 log3a sin 5 xx 2 230 xx 2 230 4i 44i4 zi 112 12 i z iz 1 2 1 2 0 e 0 e AB 1lnBx yx AxZxx 23 3 0 第第1页页 共 共 5 页页 绝密绝密 启用前启用前 高高 2020 级高三下期第二次级高三下期第二次学月考试学月考试 理 科 数 学 试 题 卷 第第 I 卷 选择题卷 选择题 一 选择题 本大题一 选择题 本大题 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 每小题有且只有一项是正确的 每小题有且只有一项是正确的 1 已知集合 已知集合 则 则 A B C D 2 已知复数 已知复数满足满足 为虚数单位 则为虚数单位 则的虚部为 的虚部为 A B C D 3 下列说法正确的是 下列说法正确的是 A 是是 的必要不充分条件的必要不充分条件 B 为真命题为真命题 是是 为真命题为真命题 的必要不充分条件的必要不充分条件 C 命题命题 使得 使得 的否定是 的否定是 D 命题命题 则 则是真命题是真命题 4 我国古代名著 九章算术 中有这样一段话 我国古代名著 九章算术 中有这样一段话 今有金锤 长五尺今有金锤 长五尺 斩本一尺 重四斤 斩末一尺 重斩本一尺 重四斤 斩末一尺 重 二斤二斤 由本至末递次减 中间三尺重几何由本至末递次减 中间三尺重几何 意思是 意思是 现有一根金锤 长现有一根金锤 长 5 尺 头部尺 头部 1 尺 重尺 重 4 斤 尾部斤 尾部 1 尺 重尺 重 2 斤斤 且从头到尾 每一尺的重量构成等差数列 问中间三尺共重多少斤且从头到尾 每一尺的重量构成等差数列 问中间三尺共重多少斤 A 6 斤斤 B 7 斤斤 C 8 斤斤 D 9 斤斤 5 设 设 则 则 A B C D 6 过抛物线 过抛物线的焦点的焦点的直线交抛物线于的直线交抛物线于两点 若线段两点 若线段中点的横坐标为中点的横坐标为 3 且 且 则 则 A 8 7 一架飞机一架飞机有若干有若干引擎引擎 在在飞飞行中行中每个引擎每个引擎正常运行的概率为正常运行的概率为 且 且相互相互独立独立 已知已知 4 引擎飞机中至少引擎飞机中至少 有有 3 个引擎正常运行 飞机就可安全飞行 个引擎正常运行 飞机就可安全飞行 2 引擎飞机要引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行 飞机才可安全飞行个引擎全部正常运行 飞机才可安全飞行 若已知若已知 4 引擎飞机比引擎飞机比 2 引擎飞机更安全 则引擎飞机更安全 则的取值范围是 的取值范围是 A B C D 2 D 4C 6 B 2 重庆一中 2019 2020 学年高三下期第二次学月考试 第第2页页 共 共 5 页页 8 下列关于函数 下列关于函数的图像或性质的说法中 正确的个数为 的图像或性质的说法中 正确的个数为 函数函数的图像关于直线的图像关于直线对称对称 将函数将函数的图像向右平移的图像向右平移个个单位所得图像的函数为单位所得图像的函数为 函数函数在区间在区间上单调递增上单调递增 若若 则 则 2 32 1 cos a x A 1 个个 B 2 个个 C 3 个个 D 4 个个 9 已知已知 1 2 3 40S AS 且且A中有三个元素 若中有三个元素 若A中的元素可构成等差数列 则这样的集合中的元素可构成等差数列 则这样的集合A共共 有 有 个 个 A 460 B 760 C 380 D 190 10 已知三棱锥已知三棱锥的四个顶点均在同一个确定的球面上 底面的四个顶点均在同一个确定的球面上 底面满足满足 若该三棱锥体积的最大值为 若该三棱锥体积的最大值为 3 则其外接球的体积为 则其外接球的体积为 A B C D 11 若曲线 若曲线和和上分别存在点上分别存在点BA和 使得 使得 是以原点是以原点为直角顶点的直角三角形 且斜边为直角顶点的直角三角形 且斜边的中点在的中点在轴上 则实数轴上 则实数的取值范围是 的取值范围是 A B C D 12 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中 中 A和和B是圆是圆11 22 yxC 上的两点 且上的两点 且2 AB 点 点 1 2 P 则则 的取值范围是 的取值范围是 A 5 2 52 B 5 1 51 C 6 2 5 62 5 D 7 2 10 72 10 1 2sin 26 f xx f x 8 3 x f x 3 1 2sin 23 yx f x 5 33 f xa PABC ABC 6BABC 2 ABC 8 16 16 3 32 3 2 1 11 ln1 f xexe ax 32 0g xxxx AOB OABya 2 e e 2 2 e e 2 1 e 1 e 重庆一中 2 2 1 1 1 22 正视图正视图 俯视图俯视图 侧视图侧视图 ABD BD4 AB2 7 ADC60BCD ABC bn b5 1 2 N a bnn n n 21 1 1 N a an a n n n 2 1 a1 1 an 240 x2 x xaxa1 0 1 6 BBABCBB 111 3 10 60 2ABC ABCA B C 111 sinCBAC 120 x dx a 4 0 2 r xyrr 222 3 0 xy 22 63 1 B C A 1 A 1 C 1 B DC A B 2019 2020 学年高三下期第二次学月考试 第第3页页 共 共 5 页页 第第 II 卷 非选择题卷 非选择题 二 填空题 本大题二 填空题 本大题 4 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 双曲线双曲线的渐近线与圆的渐近线与圆相切 则相切 则 14 某个正四棱柱被一个平面所截 得到的几何体的三视图如某个正四棱柱被一个平面所截 得到的几何体的三视图如右右图图 所示 则这个几何体的体积为所示 则这个几何体的体积为 15 的展的展开式中开式中的系数为的系数为 则则 16 已知数列已知数列满足 满足 设 设 且数列且数列是单调递增数列 则实数是单调递增数列 则实数 的取值范围是的取值范围是 三 三 解答题 本大题解答题 本大题 6 个小题 共个小题 共 70 分分 各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内 必须写出必要必须写出必要 的文字说明 演算步骤或推理过程的文字说明 演算步骤或推理过程 17 本小题满分 本小题满分 12 分 分 如图 在如图 在中 点中 点在在边上 边上 1 求 求的面积 的面积 2 若 若 求 求的值 的值 18 本小题满分 本小题满分 12 分 分 如图 在斜三棱柱如图 在斜三棱柱中 中 正三角形正三角形的的边长为边长为 1 求证 求证 面面ABC 面 BCC1B1 2 求二面角 求二面角C BB1 A的余弦值 的余弦值 重庆一中 2019 2020 学年高三下期第二次学月考试 第第4页页 共 共 5 页页 19 本小题满分 本小题满分 12 分 分 为了了解同学们的视力为了了解同学们的视力情况 学校研究性学习小组对高三学生视力情况进行调查 在高三的全体情况 学校研究性学习小组对高三学生视力情况进行调查 在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表 并得到左图的频率分布直方图 名学生的体检表 并得到左图的频率分布直方图 1 若直方图中后四组的频数成等差数列 试估计全年级视力在 若直方图中后四组的频数成等差数列 试估计全年级视力在0 5以下的人数 以下的人数 2 小组成员发现 学习成绩突出的学生 近视的比较多 为了研究学生的视力与成绩是否有关系 对 小组成员发现 学习成绩突出的学生 近视的比较多 为了研究学生的视力与成绩是否有关系 对 年级名次在年级名次在150名和名和9511000名的学生进行了调查 得到右表中数据 根据表中的数据 能否在犯名的学生进行了调查 得到右表中数据 根据表中的数据 能否在犯 错的概率不超过错的概率不超过05 0的前提下认为视力与成绩有关系的前提下认为视力与成绩有关系 3 在 在 2 中调查的 中调查的 100 名名学生里 按分层抽样从不近视的学生中抽取了学生里 按分层抽样从不近视的学生中抽取了 9 人 进一步调查他们良好的人 进一步调查他们良好的 护眼习惯护眼习惯 现从这现从这 9 人中随机选出人中随机选出 3 人 记名次在人 记名次在150名的学生人数为名的学生人数为X 求 求X的分布列和数学期望 的分布列和数学期望 附 附 2 2 n adbc K ab cdac bd 20 本小题满分 本小题满分 12 分 分 已知椭圆已知椭圆的左 右焦点分别为的左 右焦点分别为 焦距为 焦距为 4 直线 直线与椭圆相交与椭圆相交 于于 两点 两点 关于直线关于直线的对称点的对称点恰好恰好在椭圆上在椭圆上 1 求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程 2 与直线 与直线 1 l垂直的直线垂直的直线 2 l与线段与线段 不包括端点不包括端点 相交 且相交 且 与椭圆相交于与椭圆相交于 两点 求四边形两点 求四边形面积的取值范围 面积的取值范围 22 22 10 xy ab ab 1 F 2 F 1 b lyx c AB 2 F 1 lE AB CDACBD 年级名次年级名次 是否近视是否近视 1 50 951 1000 近视近视 41 32 不近视不近视 9 18 2 P Kk 0 10 0 05 0 025 0 010 0 005 k 2 706 3 841 5 024 6 635 7 879 x y l2 l1 F2 F1 D C B A O 重庆一中 证明 bc a ca b ab c mabcmma a f xg x x a 2 2 1 g xxax43 2 f xxax221 a1 AB MAMB 2 A B ClM 4 2 M C x y x 22sin 2cos Cxoy 2 a 0 2 2019 2020 学年高三下期第二次学月考试 第第5页页 共 共 5 页页 21 本小题满分 本小题满分 12 分 分 内有唯一的极大值 求内有唯一的极大值 求的取值的取值范围 范围 请考生在请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果都做 则按所做的第一题记分两题中任选一题作答 如果都做 则按所做的第一题记分 22 本小题满分 本小题满分 10 分 选修分 选修 4 4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在直角坐标系在直角坐标系中 曲线中 曲线的参数方程为的参数方程为 为参数为参数 以坐标原点为极点 以 以坐标原点为极点 以轴轴 的正半轴为极轴 建立极坐标系 的正半轴为极轴 建立极坐标系 写出曲线写出曲线的极坐标方程 的极坐标方程 设点设点的极坐标为的极坐标为 过点 过点的直线的直线 与曲线与曲线相交于相交于两点 两点 若若 求 求的弦长 的弦长 23 本小题满分 本小题满分 10 分 选修分 选修 4 5 不等式选讲不等式选讲 已知已知 函数 函数 1 当当时 时 恒成立 求实数恒成立 求实数的取值范围的取值范围 2 在 在 1 中 中的最大值为的最大值为 若 若 1 若若a 0 当当b 1时 函数时 函数g x 在在 2 若若a 1 b 1 e 试研究 试研究f x 的零点个数的零点个数 已知函数已知函数f x sin x aln x b g x 是是f x 的导函数的导函数 重庆一中 2019 2020 学年高三下期第二次学月考试 第1页 共 5 页 理科理科数学数学答案答案与解析与解析 一 选择题 一 选择题 CCAD CDBB CDBA 4 解析 原问题等价于等差数列中 已知 解析 原问题等价于等差数列中 已知 求 求的值 由等差数列的性质可知 的值 由等差数列的性质可知 则 则 即中间三尺共重 即中间三尺共重 9 斤 故选斤 故选 D 5 解析解析 因为因为 1 1 2 cab 故选故选 C 6 解析 解析 设设BA 的坐标分别为的坐标分别为 线段 线段AB中点的横坐标为中点的横坐标为 3 则 则 12 5 2 ABpxxp 由此解得 由此解得4p 故选 故选 D 7 解析 设解析 设事件事件A为为 4 引擎飞机安全飞行引擎飞机安全飞行 则则 44 4 33 4 1 PCPPCAP 设事件设事件B为为 2 引擎飞机成功飞行引擎飞机成功飞行 则 则 2 P Bp 依题意 依题意 P AP B 即 即 33442 44 1C ppC pp 进而解出 进而解出 1 1 3 p 故选 故选 B 8 解析 令 解析 令 解得 解得 当 当时 则时 则 故 故 正确正确 将函数将函数的图像向右平移的图像向右平移个单位得个单位得 故 故 错误错误 令令 得 得 故 故 错错误 误 若若 故 故 正确正确 故选故选 B 9 解析 设解析 设A中构成等差数列的元素为中构成等差数列的元素为 a b c 则有 则有2bac 由此可得 由此可得 a c应该同奇同偶 而当应该同奇同偶 而当 a c 同奇同偶时 则必存在中间项同奇同偶时 则必存在中间项b 所以问题转变为只需在所以问题转变为只需在140 中寻找同奇同偶数的情况 中寻找同奇同偶数的情况 a c同为奇同为奇 数的可能的情况为数的可能的情况为 2 20 C 同为偶数的可能的情况为 同为偶数的可能的情况为 2 20 C 所以一共有 所以一共有 2 20 2380C 种 种 故故选选 C 10 解析 解析 因为因为是等腰直角三角形 所以外接的半圆半径是是等腰直角三角形 所以外接的半圆半径是 设外接球的半径是 设外接球的半径是 球心 球心到该底面的距离到该底面的距离 则 则 由题设 由题设 最 最 大体积对应的高为大体积对应的高为 故 故 即 即 解之得 解之得 所以外接球的体积 所以外接球的体积 是是 故 故选选 D 1 4a 5 2a 234 aaa 2415 6aaaa 15 3 3 2 aa a 234 9aaa 11 x y 22 xy 12 3 2 xx 1 262 xkk Z 2 2 3 xkk Z1k 8 3 x f x 3 1 1 2sin2sin 2362 yxx 1 2 2 2262 kxkk Z 4 2 4 4 33 kxkk Z f xa 1 2sin 26 xa 1 1 cossin 23223 xx 6 1 sin 22 a x ABC 1 123 2 r ROd 1 63 2 ABC S 3BD 11 63 36 ABC VShh 3SDh 22 3Rd 2 2 33RR 2R 3 432 33 R 重庆一中 2019 2020 学年高三下期第二次学月考试 第2页 共 5 页 11 解析 解析 1 1ln 1 0 1ln 1 0 2 0 3 0 0 0 2 0 3 00 0 0 x xx x xa BOAxxxB xa xA则则 1 1 1ln 1 2 0 0 0 eex x x a易求得易求得 a 2 2 e e 故选 故选 B 12 解 解 2 AB 取 取AB中点为中点为M ABCMCM 且 2 2 延长延长MA至至Q 使得使得 2 23 3 MAMQ 则则 PQMAPMPBPA 32 5 22 MQMCQC 所以所以Q的轨迹是以的轨迹是以C为圆心 为圆心 5为半径的圆 为半径的圆 2 PC 所以所以 25 25 PQ 注 也可以用圆的参数方程来做 注 也可以用圆的参数方程来做 二 填空题二 填空题 13 r3 14 解析解析 由于长方体被平面所截 可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体 从而拼成了一个长由于长方体被平面所截 可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体 从而拼成了一个长 方体 方体 长方体由两个完全一样的几何体拼成 长方体由两个完全一样的几何体拼成 所求体积为长方体体积的一半 从图上可得长方体的所求体积为长方体体积的一半 从图上可得长方体的 底面为正方形 且边长为底面为正方形 且边长为 2 长方体的高为 长方体的高为 15 解析 由条件知 解析 由条件知的展开式中的展开式中的系数为的系数为 解得解得 dxx a 2 4 0 16 解析 解析 数数满足 满足 化为 化为 数列数列是等比数列是等比数列 首项为首项为 公比为公比为 2 且数列 且数列是单调递增数列 是单调递增数列 解得 解得 再再由由 可得 可得 对于任意的 对于任意的恒成立 恒成立 综上 综上 答案为答案为 三 三 解答题解答题 17 解析 解析 1 由题意 由题意 在 在中 由余弦定理可得中 由余弦定理可得 即即或或 舍舍 的面积的面积 2 在 在中 由正弦定理得中 由正弦定理得 代入得 代入得 由 由为锐角 故为锐角 故 所以所以 3 14 2 2416V 长方体 1 8 2 VV 长方体 6 1 1 0 xaxa x 2 x 24 6 240C a 2 a 1 4 4 n a 1 1a 1 2 n n n a an a N 1 12 1 nn aa 1 12 12 nn aa 1 1 n a 1 1 12 a 1 12n n a 1 1 2122n n n bnn a 2 1 5b n b 21 bb 2 1225 12 21nn bb 1 2 n n N 3 2 3 1 2 120BDA ABD 222 2cos120ABBDADBD AD 2 281642ADADAD 6AD ABD 113 sin4 22 3 222 SDB DAADB ABD sinsin ADAB BBDA 21 sin 14 B B 5 7 cos 14 B 21 sinsin 60sin60 coscos60 sin 7 CBBB 重庆一中 2019 2020 学年高三下期第二次学月考试 第3页 共 5 页 18 解析 解析 1 取 取的中点的中点 连接 连接和和 底面底面是边长为是边长为 2 的正三角形 的正三角形 且 且 又 又 又又 0 1 BCOB 平面平面 又 又 平面平面 平面平面平面平面 2 如图所示 以点 如图所示 以点O为坐标原点 为坐标原点 OC为为轴 轴 OA为为轴 轴 OH为为轴建立空间直角坐标系 可知轴建立空间直角坐标系 可知 2 BH 则 则 3 0 0 H 0 3 1 0 3 1 2 33 3 2 1 1 ACABAB 设设为平面为平面的法向量 则的法向量 则 0 0 11 1 ABn ABn 即即 令 令 得 得 1 1 3 1 n 设设为平面为平面 1 CBB的法向量 则的法向量 则 0 1 0 2 n 5 5 15 1 cos 21 21 21 nn nn n n 可分析二面角 可分析二面角ABBC 1 的平面角的平面角 为锐角 为锐角 5 5 cos 19 解析解析 1 由图可知 第一组有 由图可知 第一组有 3 人 第二组人 第二组 7 人 第三组人 第三组 27 人 因为后四组的频数成等差数列 所人 因为后四组的频数成等差数列 所 以后四组频数依次为以后四组频数依次为 27 24 21 18 所以视力在 所以视力在0 5以下的频率为以下的频率为82 018 0 1 故全年级视力在故全年级视力在0 5以下的人数约为以下的人数约为 82 1000820 100 人人 2 2 2 100 41 18329 300 4 1103 841 5050732773 k 因此因此在犯错误的概率不超过在犯错误的概率不超过05 0的前提下的前提下 可以 可以认为视力与学习成绩有关系 认为视力与学习成绩有关系 3 可知可知 9 人中年级名次在人中年级名次在50 1的有的有 3 人 人 1000 951的有的有 6 人 人 3 2 1 0可取X 84 1 3 84 18 2 84 45 1 84 20 0 3 9 3 3 3 9 2 3 1 6 3 9 1 3 2 6 3 9 3 6 C C XP C CC XP C CC XP C C XP X的分布列为的分布列为 BCOOA 1 OB ABC OABC 3OA 1 3BB 1 60CBB 1OB 222 1 132 1 3 cos607OB 1 7OB 1 10AB 222 11 10OAOBAB 1 OAOB OA 1 1 BCC B OA ABCABC 1 1 BCC B xyz 0 3 0A 1 0 0B 1 0 0C 1 13 3 0 22 B 1111 x y z n 1 ABB 11 111 30 13 3 30 22 xy xyz 1 1y 2222 xyz n X 0 1 2 3 P 84 20 84 45 84 18 84 1 重庆一中 2019 2020 学年高三下期第二次学月考试 第4页 共 5 页 1 84 1 3 84 18 2 84 45 1 84 20 0 XE 20 解析 解析 1 由椭圆焦距为 由椭圆焦距为 4 设 设 连结 连结 设 设 则 则 又 又 得得 a bc cEF a cEFEFFOFOFOE 2 sin2 c2 cos2 90 c 2 2 12121 2 2 21 cbaEFEF 所以椭圆方程为 所以椭圆方程为 5 分分 2 设直线 设直线方程 方程 由 由 得 得 所以所以 由 由 1 知直线 知直线 代入椭圆得 代入椭圆得 得 得 由直线由直线与线段与线段相交于点相交于点 得 得 9 分分 而 而与与 知 知 由 由 得 得 所以所以 四边形四边形面积的取值范面积的取值范 12 分分 21 解析 解析 1 当 当1 b时 时 1 cos 1ln sin x a xxfxgxaxxf 0 a 2 1 sin x a xxg在在 2 0 是减函数 且是减函数 且 2 1 2 1 2 0 0 a gag 当当 2 1 2 0 2 ag 时 时 0 x g 恒成立 恒成立 xg在在 2 0 是增函数 无极值 是增函数 无极值 当当 2 1 2 0 2 ag 时时 2 0 0 x 使得使得 0 0 x g 0 0 0 xgxgxx 单调增单调增 0 2 0 xgxgxx 单调减 单调减 0 x为 为 xg唯一的极大值点 所以唯一的极大值点 所以 1 2 0 2 a 5 分分 2 ln sin 1 bxbxxxfa 2 1 eb 可知 可知 0 xfx时 无零点 所以只需研究 无零点 所以只需研究 b bx xxf 1 cos 2 x 时 时 0 1 cos bx xxf 可知 可知 xf单调减 单调减 0 22 ln 1 2 ln 1 2 ebf 0 f 0 2 sfs 唯一的 1 2 0F 2 2 0F 1 EF 12 EFF tan b c 222 abc sin b a cos c a 2 8a 22 1 84 xy 2 l yx m 11 C x y 22 D xy 22 1 84 xy yxm 22 34280 xmxm 12 2 12 4 3 28 3 xxm m x x 1 l yx 22 6 6 33 A 22 6 6 33 B 8 3 3 AB 2 lABP 44 6 6 33 m 2 2 2 2 121212 4 28 164 2282 12 933 m m CDxxxxx xm 2 1 l k 1 1 l k 21 ll 2 116 3 12 29 ACBD SABCDm 44 6 6 33 m 2 32