小学奥数系统讲义完整版

计算能力计算能力速算与巧算 分数百分数 循环小数 分数拆分 四则混合运算等等 基础知识基础知识和差倍 年龄 植树 周期 鸡兔 方阵 逻辑 容斥 排列组合等 图形问题图形问题平面图形 立体图形 几何计数 周长面积 表面积体积 阴影面积 行程问题行程问题相遇 追及 行程 流水 过桥 时钟 圆周 发车间隔等等 数论问题数论问题平方数 奇数 偶数 约数 倍数 质数 合数 整除 余数 进制 求和公式二 1 2 3 n 求和公式三 1 2 3 n 完全平方和 差 公式 a b a 2ab b 平方差公式 a b a b a b 小学奥数知识点分类小学奥数知识点分类 小学奥数大约 80 个知识点 可分成 5 大类 数论和行程是重点也是难点 小学奥数系统复习讲义小学奥数系统复习讲义 完整版完整版 2 2 2 2 3 3 3 3 6 速算巧算基本方法 凑整法 改变运算次序法 连续数求和 基准法 分组法 拆分法 7 等差数列 等比数列 拆分与裂项 换元法 错位相消法 构造法 等较难的计算方法 拆分裂项公式 等差数列公式 第一部分第一部分计算能力计算能力 万丈高楼平地起 计算能力任何时候都是学好数学的根基 必须高度重视 基本公式基本公式 1 运算顺序 第一级 括号 第二级 同一级别可以交换运算次序 简单等比公式 例题分析例题分析 第三级 同一级别可以交换运算次序 2 去括号 1 393 404 397 398 405 401 400 399 391 402 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 2 比较下面 A B 两数的大小 A 2009 2009 B 2008 2010 a b c a b c a b c a b c 3 分配律 结合律 乘法 a b c a b a c a b a c a b c 除法 a b c a c b c a c b c a b c 4 两个必须掌握的性质 两个数的和一定 则两数越相近 积越大 3 4 结果末尾有多少个零 100 99 98 97 96 95 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 两个数的积一定 则两数越分散 和越大 巩固练习巩固练习 5 几个计算公式 2 22 5 376 385 391 380 377 389 383 374 366 378 2 2 求和公式一 1 2 3 n 序号知识点名称序号知识点名称序号知识点名称 1归一归总9鸡兔问题17加法乘法原理 2和差问题10方阵问题18排列与组合 3和倍问题11抽屉问题19商品利润 4差倍问题12容斥问题20存款利息 5植树问题13逻辑问题21浓度问题 6年龄问题14数字谜22工程问题 7盈亏问题15等差数列23正反比例 8周期问题16一笔画24牛吃草问题 6 1 50 2 50 3 50 50 502010 2010第二部分第二部分基础知识基础知识 基础知识点列表 7 8 20097777 3333 1111 9 比较下面 A B 两数的大小 A B 归一问题归一问题 含义 在解题时 先求出一份是多少 即单一量 然后以单一量为标 准 求出所要求的数量 这类应用题叫做归一问题 数量关系 总量 份数 1 份数量 10 1996 1994 1992 1990 1988 1986 1984 1982 1980 1978 1976 1974 1972 1970 4 2 1 份数量 所占份数 所求几份的数量 另一总量 总量 份数 所求份数 解题思路 先求出单一量 以单一量为标准 求出所要求的数量 例题 买 5 支铅笔要 0 6 元钱 买同样的铅笔 16 支 需要多少钱 解 1 买 1 支铅笔多少钱 0 6 5 0 12 元 2 买 16 支铅笔需要多少钱 0 12 16 1 92 元 列成综合算式 0 6 5 16 0 12 16 1 92 元 答 需要 1 92 元 11 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷 5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷 12 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材 如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材 需要运几次 归总问题归总问题 含义 解题时 常常先找出 总数量 然后再根据其它条件算出所求 的问题 叫归总问题 所谓 总数量 是指货物的总价 几小时 几天 的总工作量 几公亩地上的总产量 几小时行的总路程等 数量关系 1 份数量 份数 总量 总量 1 份数量 份数 总量 另一份数 另一每份数量 解题思路 先求出总数量 再根据题意得出所求的数量 17 甲乙两车原来共装苹果 97 筐 从甲车取下 14 筐放到乙车上 结果甲 车比乙车还多 3 筐 两车原来各装苹果多少筐 例题 服装厂原来做一套衣服用布 3 2 米 改进裁剪方法后 每套衣服 和倍问题和倍问题 用布 2 8 米 原来做 791 套衣服的布 现在可以做多少套 解 1 这批布总共有多少米 3 2 791 2531 2 米 2 现在可以做多少套 2531 2 2 8 904 套 列成综合算式 3 2 791 2 8 904 套 答 现在可以做 904 套 13 小华每天读 24 页书 12 天读完了 红岩 一书 小明每天读 36 页书 几天可以读完 红岩 14 食堂运来一批蔬菜 原计划每天吃 50 千克 30 天慢慢消费完这批蔬 菜 后来根据大家的意见 每天比原计划多吃 10 千克 这批蔬菜可 以吃多少天 含义 已知两个数的和及大数是小数的几倍 或小数是大数的几分之 几 要求这两个数各是多少 这类应用题叫做和倍问题 数量关系 总和 几倍 1 较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数 解题思路 简单的题目直接利用公式 复杂的题目变通后利用公式 例题 果园里有杏树和桃树共 248 棵 桃树的棵数是杏树的 3 倍 求杏 树 桃树各多少棵 解 1 杏树有多少棵 248 3 1 62 棵 2 桃树有多少棵 62 3 186 棵 答 杏树有 62 棵 桃树有 186 棵 18 东西两个仓库共存粮 480 吨 东库存粮数是西库存粮数的 1 4 倍 求 两库各存粮多少吨 和差问题和差问题 含义 已知两个数量的和与差 求两个数量各是多少 这类应用题叫和 差问题 数量关系 大数 和 差 2 小数 和 差 2 解题思路 简单的题目可以直接套用公式 复杂的题目变通后再用公式 例题 甲乙两班共学生 98 人 甲班比乙班多 6 人 求两班各有多少人 解 甲班人数 98 6 2 52 人 乙班人数 98 6 2 46 人 答 甲班有 52 人 乙班有 46 人 19 甲站原有车 52 辆 乙站原有车 32 辆 若每天从甲站开往乙站 28 辆 从乙站开往甲站 24 辆 几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍 20 甲乙丙三数之和是 170 乙比甲的 2 倍少 4 丙比甲的 3 倍多 6 求三 数各是多少 15 长方形的长和宽之和为 18 厘米 长比宽多 2 厘米 求长方形的面积 差倍问题差倍问题 含义 已知两个数的差及大数是小数的几倍 或小数是大数的几分之 几 要求这两个数各是多少 这类应用题叫做差倍问题 16 有甲乙丙三袋化肥 甲乙两袋共重 32 千克 乙丙两袋共重 30 千克 甲丙两袋共重 22 千克 求三袋化肥各重多少千克 数量关系 两个数的差 几倍 1 较小的数 较小的数 几倍 较大的数 解题思路 简单的题目直接利用公式 复杂的题目变通后利用公式 例题 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍 而且桃树比杏树多 124 棵 求 杏树 桃树各多少棵 25 甲乙丙三人锯同样粗细的钢条 分别领取 1 6 米 2 米 1 2 米长的 钢条 要求都按 0 4 米规格锯开 劳动结束后 甲乙丙分别锯了 24 解 1 杏树有多少棵 2 桃树有多少棵 124 3 1 62 棵 62 3 186 棵 段 25 段 27 段 谁锯钢条的速度最快 答 果园里杏树是 62 棵 桃树是 186 棵 21 爸爸比儿子大 27 岁 今年 爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍 求父子 二人今年各是多少岁 26 某一淡水湖的周长 1350 米 在湖边每隔 9 米种柳树一株 在两株柳树 中间种植 2 株夹枝桃 可栽柳树多少株 可栽夹枝桃多少株 两株夹枝 桃之间相距多少米 22 商场改革经营管理办法后 本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元 又知本月盈利比上月盈利多 30 万元 这两个月盈利各是多少万元 27 一座大桥长 500 米 给桥两边的电杆上安装路灯 若每隔 50 米有一 个电杆 每个电杆上安装 2 盏路灯 一共可以安装多少盏路灯 23 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米 如果每天运出小麦和玉米各是 10 吨 多少天后 玉米是小麦的 12 倍 年龄问题年龄问题 含义 这类问题是根据题目的内容而得名 它的主要特点是两人的年龄 差不变 但是 两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化 植树问题植树问题 数量关系 年龄问题往往与和差 和倍 差倍问题有着密切联系 尤其 基本类型及公式 基本类型及公式 在直线上或者不封闭的曲线上植树 两端都植树 基本公式 棵树 段数 1 棵距 段长 段数 总长 在直线上或者不封闭的曲线上植树 两端都不植树 基本公式 棵树 段数 1 棵距 段长 段数 总长 在封闭曲线上植树 基本公式 棵树 段数 棵距 段长 段数 总长 关键问题 关键问题 确定所属类型 从而确定棵数与段数的关系 例题 一条河堤 136 米 每隔 2 米栽一棵垂柳 头尾都栽 共栽多少棵 垂柳 解 136 2 1 68 1 69 棵 答 一共要栽 69 棵垂柳 24 一个圆形池塘周长为 400 米 在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树 一共能 栽多少棵白杨树 与差倍问题的解题思路是一致的 要紧紧抓住 年龄差不变 这个特点 解题思路 可以利用 差倍问题 的解题思路和方法 例题 爸爸今年 35 岁 亮亮今年 5 岁 今年爸爸的年龄是亮亮的几倍 明年呢 解 35 5 7 倍 35 1 5 1 6 倍 答 今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍 明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍 28 母亲今年 37 岁 女儿 7 岁 几年后母亲年龄是女儿的 4 倍 29 3 年前父子的年龄和是 49 岁 今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍 父 子今年各多少岁 30 甲对乙说 当我的岁数曾经是你现在的岁数时 你才 4 岁 乙对 甲说 当我的岁数将来是你现在的岁数时 你将 61 岁 求甲乙 现在的岁数各是多少 识来解决 在研究这些简单周期问题时 我们首先要仔细审题 判断其不断重复出 现的规律 也就是找出循环的固定数 如果正好有个整数周期 结果为周 期里的最后一个 如果不是从第一个开始循环 利用除法算式求出余数 最后根据余数的大小得出正确的结果 盈亏问题盈亏问题 周期现象 事物在变化过程中 某些特征有规律循环出现 周期 我们把连续两次出现所经过的时间叫周期 含义 根据一定的人数 分配一定的物品 在两次分配中 一次有余 盈 一次不足 亏 或两次都有余 或两次都不足 求人数或物品数 这类 应用题叫做盈亏问题 闰年 四年一闰 百年不闰 四百年再闰 月份 1 3 5 7 8 10 12 月大 解答周期问题的关键 数量关系 一般地说 在两次分配中 如果一次盈 一次亏 则有 参加分配总人数 盈 亏 分配差 找出周期 T 考察余数 注意周期的首尾两数 如果两次都盈或都亏 则有 参加分配总人数 大盈 小盈 分配差 参加分配总人数 大亏 小亏 分配差 解题思路 大多数情况可以直接利用数量关系的公式 例题 给幼儿园小朋友分苹果 若每人分 3 个就余 11 个 若每人分 4 个就少 1 个 问有多少小朋友 有多少个苹果 解 按照 参加分配的总人数 盈 亏 分配差 的数量关系 1 有小朋友多少人 11 1 4 3 12 人 2 有多少个苹果 3 12 11 47 个 答 有小朋友 12 人 有 47 个苹果 31 修一条公路 如果每天修 260 米 修完全长就得延长 8 天 如果每天 修 300 米 修完全长仍得延长 4 天 这条路全长多少米 32 学校组织春游 如果每辆车坐 40 人 就余下 30 人 如果每辆车坐 45 人 就刚好坐完 问有多少车 多少人 例题分析例题分析 例 1 元旦是星期日 那么同年的国庆节是星期几 解 平年元旦到国庆节共有的天数 31 28 31 30 31 30 31 31 30 1 274 循环的周期和余数 274 7 39 1 平年的国庆节是星期日 整周期的第一个数 闰年元旦到国庆节共有的天数 274 1 275 循环的周期和余数 275 7 39 2 闰年的国庆节是星期一 整周期的第二个数 例 2 甲 乙 丙三名学生 每天早晨轮流为李奶奶取牛奶 甲第一次 取奶是星期一 那么 他第 100 次取奶是星期 解 21 天内 每人取奶 7 次 甲第 8 次取奶又是星期一 即每取 7 次奶 为一个周期 100 7 14 2 所以甲第 100 次取奶是星期二 基础务实基础务实 33 1989 年 12 月 5 日是星期二 那么再过十年的 12 月 5 日是星期几 周期问题周期问题 在日常生活中 有一些现象按照一定的规律不断重复出现 如 人调 查十二生肖 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 一年 有春夏秋冬四个季节 一个星期有七天等 像这样日常生活中常碰到的有 一定周期的问题 我们称为简单周期问题 这类问题一般要利用余数的知 34 小学生数学报 每周星期五出版一期 1994 年 10 月份第 1 期是 10 月 7 日出版的 1995 年 1 月份第 1 期应在 1 月几日出版 35 果园里要种 100 棵果树 要求每六棵为一组 第一棵种苹果树 第二 鸡兔同笼鸡兔同笼 三棵种梨树 后面三棵 即第四 第五 第六棵种桃树 那么 最后 一棵应种什么树 在这 100 棵树中 有苹果树 梨树 桃树各多少棵 36 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯 小明看出每两个白灯之间有红 黄 绿各一盏彩灯也就是说 从第一盏白灯起 每一盏白灯后面紧接 着有 3 盏彩灯 那么第 73 盏灯是什么颜色的灯 37 小明把节省下来的硬币先按四个 1 分 再按三个 2 分 最后按两个 5 分这样的顺序往下排 那么 他排的第 111 个是几分硬币 这 111 个 硬币共多少元 38 如果时钟现在表示的时间是 18 点整 那么分针旋转 1990 圈之后是几 点钟 39 某年的 10 月里有 5 个星期六 4 个星期日 问 这年的 10 月 1 日是 星期几 含义 这是古典的算术问题 已知笼子里鸡 兔共有多少只和多少只脚 求鸡 兔各有多少只的问题 叫做第一鸡兔同笼问题 已知鸡兔的总数和 鸡脚与兔脚的差 求鸡 兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题 数量关系 第一鸡兔同笼问题 假设全都是鸡 则有兔数 实际脚数 2 鸡兔总数 4 2 假设全都是兔 则有鸡数 4 鸡兔总数 实际脚数 4 2 第二鸡兔同笼问题 假设全都是鸡 则有兔数 2 鸡兔总数 鸡与兔脚之差 4 2 假设全都是兔 则有鸡数 4 鸡兔总数 鸡与兔脚之差 4 2 解题思路 解答此类题目一般都用假设法 可以先假设都是鸡 也可以 假设都是兔 如果先假设都是鸡 然后以兔换鸡 如果先假设都是兔 然 后以鸡换兔 这类问题也叫置换问题 通过先假设 再置换 使问题得到 解决 例题 长毛兔子芦花鸡 鸡兔圈在一笼里 数数头有三十五 脚数共有 九十四 请你仔细算一算 多少兔子多少鸡 解 假设 35 只全为兔 则鸡数 4 35 94 4 2 23 只 兔数 35 23 12 只 也可以先假设 35 只全为鸡 则兔数 94 2 35 4 2 12 只 鸡数 35 12 23 只 答 有鸡 23 只 有兔 12 只 43 2 亩菠菜要施肥 1 千克 5 亩白菜要施肥 3 千克 两种菜共 16 亩 施 肥 9 千克 求白菜有多少亩 40 学校一学期共安排 86 节数学课 单周一 三 五每天两节 双周二 四每天两节 开学第一周星期一开学典礼没上课 从星期三开始上 则最后一节数学课是星期几上的 41 1993 年一月份有 4 个星期四 5 个星期五 1993 年 1 月 4 日是星期几 44 李老师用 69 元给学校买作业本和日记本共 45 本 作业本每本 3 20 元 日记本每本 0 70 元 问作业本和日记本各买了多少本 45 第二鸡兔同笼问题 鸡兔共有 100 只 鸡的脚比兔的脚多 80 只 问鸡与兔各多少只 42 有一串数排成一行 其中第一个数是 15 第二个数是 40 从第三个 数起 每个数恰好是前两个数的和 那么在这串数中 第 1991 个数 被 3 除 所得的余数是多少 46 有 100 个馍 100 个和尚吃 大和尚一人吃 3 个馍 小和尚 3 人吃 1 个 馍 问大小和尚各多少人 方阵问题方阵问题个抽屉中 那么至少有一个抽屉中放着 2 个或更多的物体 元素 含义 将若干人或物依一定条件排成正方形 简称方阵 根据已知条 件求总人数或总物数 这类问题就叫做方阵问题 数量关系 1 方阵每边人数与四周人数的关系 四周人数 每边人数 1 4 每边人数 四周人数 4 1 2 方阵总人数的求法 实心方阵 总人数 每边人数 每边人数 内边人数 外边人数 层数 2 3 若将空心方阵分成四个相等的矩形计算 则 总人数 每边人数 层数 层数 4 解题思路 方阵问题有实心与空心两种 实心方阵的求法是以每边的数 自乘 空心方阵的变化较多 其解答方法应根据具体情况确定 例题 在育才小学的运动会上 进行体操表演的同学排成方阵 每行 22 人 参加体操表演的同学一共有多少人 解 22 22 484 人 抽屉原则可以推广为 如果有 m 个抽屉 有 k m r 0 r m 个元素那 么至少有一个抽屉中要放 k 1 个或更多的元素 通俗地说 如果元素的个数是抽屉个数的 k 倍多一些 那么至少有一个抽 屉要放 k 1 个或更多的元素 解题思路 1 改造抽屉 指出元素 2 把元素放入 或取出 抽屉 3 说明理由 得出结论 例题 育才小学有 367 个 1999 年出生的学生 那么其中至少有几个学 生的生日是同一天的 解 由于 1999 年是润年 全年共有 366 天 可以看作 366 个 抽屉 把 367 个 1999 年出生的学生看作 367 个 元素 367 个 元素 放进 366 个 抽屉 中 至少有一个 抽屉 中放有 2 个或更多的 元 素 这说明至少有 2 个学生的生日是同一天的 50 有一四种颜色的小旗 任意取出三个排成一排 表示各种信号 在 200 个信号中至少有多少个信号相同 答 参加体操表演的同学一共有 484 人 47 有一个 3 层中空方阵 最外边一层有 10 人 求全方阵的人数 51 书法竞赛的奖品是笔 墨 纸 砚四种 每位获奖者可任选其中两种 奖品 问至少应有多少名获奖的同学 才能保证其中必有 4 名同学得 48 有一队学生 排成一个中空方阵 最外层人数是 52 人 最内层人数 到的奖品完全相同 是 28 人 这队学生共多少人 52 一个袋子里有一些球 这些球仅只有颜色不同 其中红球 10 个 白 49 一堆棋子 排列成正方形 多余 4 棋子 若正方形纵横两个方向各增 加一层 则缺少 9 只棋子 问有棋子多少个 球 9 个 黄球 8 个 蓝球 2 个 某人闭着眼睛从中取出若干个 试问 他至少要取多少个球 才能保证至少有 4 个球颜色相同 抽屉原理抽屉原理 容斥原理容斥原理 含义 把 3 只苹果放进两个抽屉中 会出现哪些结果呢 要么把 2 只苹 果放进一个抽屉 剩下的一个放进另一个抽屉 要么把 3 只苹果都放进同 一个抽屉中 这两种情况可用一句话表示 一定有一个抽屉中放了 2 只或 2 只以上的苹果 这就是数学中的抽屉原则问题 数量关系 基本的抽屉原则是 如果把 n 1 个物体 也叫元素 放到 n 公式法 公式法 直接应用包含与排除的概念和公式进行求解 容斥原理一 C A B AB 利用这一公式可计出两个集合圈的有关问题 容斥原理二 D A B C AB AC BC ABC 利用这一公式可计算三个集 合圈的有关问题 图像法 图像法 不是利用容斥原理的公式计算 而是画图 借助图形帮助分析 逐块地计算出各个部分 从而解答问题 例 1 某班学生在一次期末语文和数学考试中 语文得优的有 15 人 数 学得优的有 24 其中语文 数学都得优的有 12 人 全班得优共有多少人 解 全班得优分 3 种 语数均得优 语文得优数学不得优 数学得优语文 不得优 语数均得优 12 人 语文得优数学不得优 15 12 3 人 数学得优语文不得优 24 12 12 人 全班得优共有 12 3 12 27 人 53 某班共 50 人 参加课外兴趣小组学书法的 32 人 学绘画的 28 人 其 中两种都学的 15 人 这个班级还有多少人没参加兴趣小组 54 从 1 到 100 的自然数中 1 不能被 6 和 10 整除的数有多少个 2 至少能被 2 3 5 中一个数整除的数有多少个 又知道赵 钱 孙 李每人都只说对了一半 那么丙的号码是几 56 甲 乙 丙三名教师分别来自浙江 江苏 福建 分别教数学 语文 英语 根据下面的已知条件 1 甲不是浙江人 乙不是江苏人 2 浙江的教师不教英语 3 江苏的教师教数学 4 乙不教语文 则丙不教什么学科 57 执行一项任务 要派 A B C D E 五人中的一些人去 受下述条件 约束 1 若 A 去 B 必须去 2 D E 两人至少去 1 人 3 B C 两人只能去 1 人 4 C D 两人都去或都不去 5 若 E 去 A D 两人也必须去 问应派哪些人去 数字谜数字谜 逻辑推理逻辑推理数字谜语是一种有趣的数学问题 它的特点是给出运算式子 但式中 逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念 法则 公式进行运算 而是 根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理 做到正确的判断 最终 找到问题的答案 逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷 惑性 并且没有一定的解题模式 因此 要正确解决这类问题 不仅需要 始终保持灵活的头脑 更需要遵循逻辑思维的基本规律 同一律 矛盾律 和排中律 矛盾律 指的是在同一思维过程中 对同一对象的思想不能自相矛盾 排中律 指的是在同一思维过程中 一个思想或为真或为假 不能既 不真也不假 同一律 指的是在同一思维过程中 对同一对象的思想必须是确定的 在进行判断和推理的过程中 每一概念都必须在同一意义下使用 55 甲 乙 丙 丁四位同学的运动衫上印有不同的号码 赵说 甲是 2 号 乙是 3 号 钱说 丙是 4 号 乙是 2 号 孙说 丁是 2 号 丙是 3 号 李说 丁是 4 号 甲是 1 号 某些数字是用字母或汉字来代表的 要求我们进行恰当的判断和推理 从 而确定这些字母或汉字所代表的数字 步骤 步骤 1 先确定明显部分的数字 2 寻找突破口 缩小范围 3 分情况讨论 58 下题中的每一个汉字都代表一个数字 不同的汉字代表不同的数字 相同的汉字代表相同的数字 当他们各代表什么数字时 算式成立 59 每个汉字代表的数字是多少 60 下边的算式中的不同汉字表示不同的数字 相同的汉字表示相同的数 2 求该数列第 200 项与第 100 项的差 字 如果巧 解 数 字 谜 30 那么 巧解数字谜 所代表的五位数 是多少 65 在大于 1000 的整数中 找出所有被 34 除后商与余数相等的数 那么 这些数的和是多少 61 A B 各代表什么数字 一笔画一笔画 一笔画性质 等差数列等差数列 凡是由偶点组成的连通图 一定可以一笔画成 画时可以把任一偶点 若干个数排成一列 称为数列 数列中的每一个数称为一项 其中第 一项称为首项 最后一项称为末项 数列中数的个数称为项数 从第二项开始 后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数 列 后项与前项的差称为公差 为起点 最后一定能以这个点为终点画完此图 凡是只有两个奇点的连通图 其余都为偶点 一定可以一笔画成 画时必须把一个奇点为起点 另一个奇点终点 其他情况的图都不能一笔画出 有偶数个奇点除以二便可算出此图 需几笔画成 例如 等差数列 3 6 9 96 这是一个首项为 3 末项为 96 项数为 32 公差为 3 的数列 等差数列相关公式 66 下图是一个公园的道路平面图 要使游客走遍每条路且不重复 问出 入口应设在哪里 通项公式 第几项 首项 项数 1 公差 项数公式 项数 末项 首项 公差 1 求和公式 总和 首项 末项 项数 2 平均数公式 平均数 首项 末项 2 67 甲乙两个邮递员去送信 两人同时出发以同样的速度走遍所有的街 道 甲从 A 点出发 乙从 B 点出发 最后都回到邮局 C 点 如果要 在等差数列中 如果已知首项 末项 公差 求总和时 应先求出项 数 然后再利用等差数列求和公式求和 62 某剧院有 25 排座位 后一排比前一排多两个座位 最后一排有 70 个 座位 这个剧院一共有多少个座位 选择最短的线路 谁先回到邮局 68 邮递员从邮局出发送信 走过如图的所有道路后再回到邮局 图中各 横道 竖道之间的道路都是平行的 邮递员要走遍所有的邮路至少要 63 等差数列第一项是 3 第四项是 15 求等差数列第二项和公差 走千米 64 等差数列 1 5 9 13 17 1 数字 2009 是不是该数列的项 加法乘法原理加法乘法原理 加法原理 如果完成一件任务有 n 类方法 在一类方法中有 m1 种不同的方法 在第二 类方法中有 m2 种不同的方法 在第 n 类方法中有 mn 种不同的方法 则 完成这件任务共有 m1 m2 m3 mn 种不同的方法 乘法原理 如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行 做第 1 步有 m1 种方法 不管第 1 步用哪一种方法 第 2 步总有 m2 种方法 不管前面 n 1 步用哪一种方 法 第 n 步总有 mn 种方法 那么完成这件任务共有 m1 m2 m3 mn 种 r r r r n n r 72 某铁路线共有 14 个车站 该铁路共需要多少种不同的车票 不同的方法 69 下图中的 我爱希望杯 有种不同的读法 73 有红 黄 蓝三种信号旗 把任意两面分上 下挂在旗杆上表示不同 信号 一共可以组成多少种不同信号 74 一个篮球队 五名队员 A B C D E 在于某种原因 C 不能做中 锋 而其余四人面可以分配到五个位置的任意位置上 共有多少种不 70 如图 把 A B C D E 这五部分用四种不同的颜色着色 且相邻的同的站位方法 部分不能使用同一种颜色 不相邻的部分可以使用同一种颜色 那么 这幅图一共有多少种不同的着色方法 75 七个同学照像 分别求出在下列条件下有多少种站法 1 七个人排成一排 71 从 l 2 3 4 5 中任意选两个数组成一个真分数 能组成多少不同 的真分数 2 7 个人排成一排 某人必须站在中间 排列与组合排列与组合 排列 排列 一般地 从 n 个不同元素中取出 r 个不同元素的无重复排列的 r r 我们记 n 表示 n 的阶乘 即 n 1 2 3 4 5 n 组合 组合 一般的 从 n 个不同元素中任取 r 个不同元素 不考虑取出元 素的顺序并成一组 这类任务叫做从 n 个不同元素中取出 r 个不同元 素的无重复组合 组合与排列的区别在于取出元素是否考虑它们的位 置或顺序 符号 C nr 表示从 n 个不同元素中取出 r 个不同元素的无重 r r n 个不同元素中选出 r 个不同的元素的排列 分为两步 3 个人排成一排 某两人必须有一人站在中间 4 七个人排成一排 某两人必须站在两头 5 七个人排成一排 某两人不能站在两头 6 七个人排成两排 前排三人 后排四人 7 七个人排成两排 前排三人 后排四人 某两人不在同一排 从 n 个不同的元素中选取 r 个不同的元素 方法有 C nr 种 对选出的 r 商品利润商品利润 含义 这是一种在生产经营中经常遇到的问题 包括成本 利润 利润 率和亏损 亏损率等方面的问题 数量关系 利润 售价 进货价 利润率 售价 进货价 进货价 100 售价 进货价 1 利润率 亏损 进货价 售价 亏损率 进货价 售价 进货价 100 解题思路 简单的题目可以直接利用公式 复杂的题目变通后利用公式 例题 某商品的平均价格在一月份上调了 10 到二月份又下调了 10 这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何 解 设这种商品的原价为 1 则一月份售价为 1 10 二月份的售价为 1 10 1 10 所以二月份售价比原价下降了 1 1 10 1 10 1 答 二月份比原价下降了 1 76 某服装店因搬迁 店内商品八折销售 苗苗买了一件衣服用去 52 元 已知衣服原来按期望盈利 30 定价 那么该店是亏本还是盈利 求亏 盈 率 利息 本金 存款年 月 数 年 月 利率 本利和 本金 利息 本金 1 年 月 利率 存款年 月 数 解题思路 简单的题目可直接利用公式 复杂的题目变通后再利用公式 例题 李大强存入银行 1200 元 月利率 0 8 到期后连本带利共取出 1488 元 求存款期多长 解 因为存款期内的总利息是 1488 1200 元 所以总利率为 1488 1200 1200 又因为已知月利率 所以存款月数为 1488 1200 1200 0 8 30 月 答 李大强的存款期是 30 月即两年半 79 银行定期整存整取的年利率是 二年期 7 92 三年期 8 28 五年 期 9 如果甲乙二人同时各存入 1 万元 甲先存二年期 到期后连本 带利改存三年期 乙直存五年期 五年后二人同时取出 那么 谁的 收益多 多多少元 80 某厂向银行申请甲乙两种贷款一共 40 万元 每年需付利息 5 万元 甲种贷款的年利率是 12 乙种贷款的年利率是 14 该厂申请的甲 乙两种贷款的金额各是多少 77 成本 0 25 元的作业本 1200 册 按期望获得 40 的利润定价出售 当 销售出 80 后 剩下的作业本打折扣 结果获得的利润是预定的 86 问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣 浓度问题浓度问题 含义 在生产和生活中 我们经常会遇到溶液浓度问题 这类问题研究 的主要是溶剂 水或其它液体 溶质 溶液 浓度这几个量的关系 例 78 某种商品 甲店的进货价比乙店的进货价便宜 10 甲店按 30 的利 润定价 乙店按 20 的利润定价 结果乙店的定价比甲店的定价贵 6 元 求乙店的定价 如 水是一种溶剂 被溶解的东西叫溶质 溶解后的混合物叫溶液 溶质 的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度 也叫百分比浓度 数量关系 溶液 溶剂 溶质 浓度 溶质 溶液 100 解题思路 简单的题目可直接利用公式 复杂的题目变通后再利用公式 例题 爷爷有 16 的糖水 50 克 1 要把它稀释成 10 的糖水 需加 存款利率存款利率 水多少克 2 若要把它变成 30 的糖水 需加糖多少克 解 1 需要加水多少克 50 16 10 50 30 克 含义 把钱存入银行是有一定利息的 利息的多少 与本金 利率 存 期这三个因素有关 利率一般有年利率和月利率两种 年利率是指存期一 年本金所生利息占本金的百分数 月利率是指存期一月所生利息占本金的 百分数 数量关系 年 月 利率 利息 本金 存款年 月 数 100 2 需要加糖多少克 50 1 16 1 30 50 10 克 答 1 需要加水 30 克 2 需要加糖 10 克 81 要把 30 的糖水与 15 的糖水混合 配成 25 的糖水 600 克 需要 30 和 15 的糖水各多少克 82 甲容器有浓度为 12 的盐水 500 克 乙容器有 500 克水 把甲中盐水 的一半倒入乙中 混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中 混合后 又把甲中的一部分盐水倒入乙中 使甲乙两容器中的盐水同样多 求 最后乙中盐水的浓度 含义 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两 种量中相对应的两个数的比的比值一定 即商一定 那么这两种量就叫 做成正比例的量 它们的关系叫做正比例关系 正比例应用题是正比例意 义和解比例等知识的综合运用 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相 对应的两个数的积一定 这两种量就叫做成反比例的量 它们的关系叫做 工程问题工程问题 反比例关系 反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用 数量关系 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键 许多典型 含义 工程问题主要研究工作量 工作效率和工作时间三者之间的关系 这类问题在已知条件中 常常不给出工作量的具体数量 只提出 一项工 程 一块土地 一条水渠 一件工作 等 在解题时 常常 用单位 1 表示工作总量 数量关系 解答工程问题的关键是把工作总量看作 1 这样 工 作效率就是工作时间的倒数 它表示单位时间内完成工作总量的几分之 几 进而就可以根据工作量 工作效率 工作时间三者的关系列出算式 工作量 工作效率 工作时间 工作时间 工作量 工作效率 工作时间 总工作量 甲工作效率 乙工作效率 解题思路 变通后可以利用上述数量关系的公式 例题 一项工程 甲队单独做需要 10 天完成 乙队单独做需要 15 天完 成 现在两队合作 需要几天完成 解 题中的 一项工程 是工作总量 由于没有给出这项工程的具体数量 因此 把此项工程看作单位 1 由于甲队独做需 10 天完成 那么每天 完成这项工程的 1 10 乙队单独做需 15 天完成 每天完成这项工程的 1 15 两队合做 每天可以完成这项工程的 1 10 1 15 由此可以列出算式 1 1 10 1 15 1 1 6 6 天 答 两队合做需要 6 天完成 83 一批零件 甲独做 6 小时完成 乙独做 8 小时完成 现在两人合做 应用题都可以转化为正反比例问题去解决 而且比较简捷 解题思路 解决这类问题的重要方法是 把分率 倍数 转化为比 应 用比和比例的性质去解应用题 例题 修一条公路 已修的是未修的 1 3 再修 300 米后 已修的变成 未修的 1 2 求这条公路总长是多少米 解 由条件知 公路总长不变 原已修长度 总长度 1 1 3 1 4 3 12 现已修长度 总长度 1 1 2 1 3 4 12 比较以上两式可知 把总长度当作 12 份 则 300 米相当于 4 3 份 从而知公路总长为 300 4 3 12 3600 米 答 这条公路总长 3600 米 85 孙亮看 十万个为什么 这本书 每天看 24 页 15 天看完 如果每 天看 36 页 几天就可以看完 86 一个大矩形被分成六个小矩形 其中四个小矩形的面积如图所示 求 大矩形的面积 完成任务时甲比乙多做 24 个 求这批零件共有多少个 牛吃草问题牛吃草问题 含义 牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题 也叫 牛顿问题 这 84 一件工作 甲独做 12 小时完成 乙独做 10 小时完成 丙独做 15 小 时完成 现在甲先做 2 小时 余下的由乙丙二人合做 还需几小时才 能完成 类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素 数量关系 草总量 原有草量 草每天生长量 天数 解题思路 解这类题的关键是求出草每天的生长量 例题 一块草地 10 头牛 20 天可以把草吃完 15 头牛 10 天可以把草 吃完 问多少头牛 5 天可以把草吃完 正反比例正反比例 解 草是均匀生长的 所以 草总量 原有草量 草每天生长量 天数 求 多少头牛 5 天可以把草吃完 就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完 的话 得有多少头牛 设每头牛每天吃草量为 1 按以下步骤解答 第三部分第三部分数论知识数论知识 1 求草每天的生长量 因为 一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草 即 1 10 20 另一方面 20 天内的草总量又等于原有草量加上 20 天内 的生长量 所以 1 10 20 原有草量 20 天内生长量 同理 1 15 10 原有草量 10 天内生长量 由此可知 20 10 天内草的生长量为 1 10 20 1 15 10 50 因此草每天的生长量为 50 20 10 5 2 求原有草量 原有草量 10 天内总草量 10 内生长量 1 15 10 5 10 100 3 求 5 天内草总量 5 天内草总量 原有草量 5 天内生长量 100 5 5 125 数论由于比较抽象 是小学数学的重点也是难点 而且小学数论与中 学的代数学有着密切的联系 因此我们必须高度重视 数论知识点列表 4 求多少头牛 5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为 1 所以每头牛 5 天吃草量为 5 因此 5 天吃 定义新运算定义新运算 完草需要牛的头数 125 5 25 头 答 需要 5 头牛 5 天可以把草吃完 87 有一块草场 可供 15 头牛吃 8 天 或可供 8 头牛吃 20 天 如果一群 牛 14 天将这块草场的草吃完 那么这群牛有多少头 定义一种新的运算符号 这个新的运算符号包含有多种基本 混合 运算 严格按照新定义的运算规则 把已知的数代入 转化为加减乘除的 运算 然后按照基本运算过程 规律进行运算 正确理解定义的运算符号 的意义 注意事项 新的运算不一定符合运算规律 特别注意运算顺序 每个新定义的运算符号只能在本题中使用 88 牧场上一片青草 每天牧草都匀速生长 这片牧草可供 10 头牛吃 20 天 或者可供 15 头牛吃 10 天 可供 25 头牛吃几天 89 规定 a b a b a b 则 2 2 10 的值是多少 90 对于任意的自然数 a b 定义 f a a a 1 g b b 2 1 1 求 f g 6 g f 3 的值 2 已知 f g x 8 求 x 的值 91 对于任意正整数 定义 n 1 2 3 n 例如 5 1 2 3 4 5 那么 1 2 3 2003 和的个位数字是几 92 若用 a 表示 a 的所有约数的个数 例如 4 3 求 18 的值 94 和为 1111 的四个自然数 它们的最大公约数最大能够是多少 约数与倍数约数与倍数 95 李老师带领一班学生去种树 学生恰好被平均分成四个小组 总共种 约数倍数 若整数 a 能够被 b 整除 a 叫做 b 的倍数 b 就叫做 a 的约数 公约数 几个数公有的约数 叫做这几个数的公约数 其中最大的一个 叫做这几个数的最大公约数 公倍数 几个数公有的倍数 叫做这几个数的公倍数 其中最小的一个 叫做这几个数的最小公倍数 树 667 棵 如果师生每人种的棵数一样多 则这个班共有学生多少人 96 有一根 180 厘米长的绳子 从一端开始每 3 厘米作一记号 每 4 厘米 也作一记号 然后将标有记号的地方剪断 绳子共被剪成了多少段 最大公约数的性质 几个数都除以它们的最大公约数 所得的几个商是互质数 几个数的最大公约数都是这几个数的约数 几个数的公约数 都是这几个数的最大公约数的约数 几个数都乘以一个自然数 m 所得的积的最大公约数等于这几个数的最大 公约数乘以 m 97 定义一种新运算 满足 a b a b a b 求 14 4 已知 6 x 33 求 x 备注 表示最小公倍数 表示最大公约数 求最大公约数基本方法 分解质因数法 先分解质因数 然后把相同的因数连乘起来 短除法 先找公有的约数 然后相乘 辗转相除法 每一次都用除数和余数相除 能够整除的那个余数 就 是所求的最大公约数 98 自然数 360 有多少个约数 所有约数的和是多少 最小公倍数的性质 奇数与偶数奇数与偶数 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数 两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 求最大公约数基本方法 短除法求最小公倍数 分解质因数的方法 93 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形 有多少种不同的拼法 所有自然数按能否被 2 整除分类 能分成奇数和偶数两类 奇数被 2 除余 1 偶数能被 2 整除 最小的奇数为 1 最小的偶数为 0 奇数和偶数的一般计算性质 1 奇数 奇数 偶数 2 偶数 偶数 偶数 3 奇数 偶数 奇数 4 偶数 奇数 奇数 5 奇数 奇数 奇数 6 偶数 偶数 偶数 7 奇数 偶数 偶数 8 奇数 奇数 奇数 9 奇数的连乘积永远是奇数 若干个整数连乘 如果其中有一个是 偶数 那么乘积一定为偶数 10 相邻两个自然数的和必为奇数 相邻两个自然数的乘积必为偶数 11 两个整数之和与这两个整数之差有着相同的奇偶性 12 奇数的平方被 4 除余 1 偶数的平方是 4 的倍数 13 奇数用 2K 1 或 2K 1 K 是整数 表示 偶数用 2K 表示 99 10 个不同的自然数之和等于 80 在这 10 个自然数中 最多有多少个 奇数 100 任意取出 1996 个连续自然数 它们的总和是奇数还是偶数 105 若 A 是质数 A 12 是质数 同时 A 18 也是质数 求 A 的最小值 106 A B C 为三个质数 A B C 30 且 A B C 求这三个质数 107 已知 pq 1 x 其中 p q 是质数且均小于 1000 x 是奇数 求 x 的最 大值 101 已知 a b c 有一个为 5 有一个为 6 有一个为 7 那么 a 1 b 2 c 3 的积是奇数还是偶数 102 某市举办小学生数学竞赛 共 20 道题 评分标准是 答对一题给 5 108 若三个质数 a b c 满足 a b c 99 abc 求 a b c 的值 分 不答一题给 1 分 答错一题倒扣 1 分 如果 1999 人参赛 问参 赛同学的总分是奇数还是偶数 平均数平均数 基本公式 平均数 总数量 总份数 103 某组连续自然数的和等于 90 那么这样连续的自然数有几组 总数量 平均数 总份数 总份数 总数量 平均数 平均数 基准数 差的平均数 基准数 每个数与基准数差的和 总份数 基本思路 求出总数量以及总份数 利用基本公式 进行计算 基准数法 从给出的数中 确定一个数作为基准数 一般选与所有数比 质数与合数质数与合数 较接近的数或者中间数为基准数 以基准数为标准 求出所有给出数与基 质数 一个数除了 1 和它本身外 没有别的约数 这个数叫做质数 也叫 做素数 合数 一个数除了 1 和它本身之外 还有别的约数 这个数叫合数 质因数 如果某个质数是某个数的约数 那么这个质数是这个数的质因数 分解质因数 把一个数用质数相乘的形式表示出来 叫做分解质因数 通 常用短除法分解质因数 任何一个合数分解质因数的结果是唯一的 准数的差 再求出所有差的和 再求出这些差的平均数 最后求这个差的 平均数和基准数的和 就是所求的平均数 具体关系见基本公式 关键问题 确定总量和份数分别是谁 109 有五个数 平均数是 9 如果把其中一个数改为 1 这五个数的平均 数为 8 这个改动的数原来是多少 r 1 r 2 a rn n 其中 a1 a2 a3 an 都是合数 N 的质因数 且 a1 a2 a3 2 a 若 b 0 5 那么 a b 2 7 0 5 3 2 3 a 1 若 b 0 1 那么 a b 2 8 2 a 1 a 还有许多性质 例 若 n 是整数 则有 a n a n 与 a 相关的是数 a 的小数部分 我们用符号 a 表示 高斯方程 取整 的性质 高斯方程 取整 的性质 性质