2006典型例题解析--第3章-静定结构位移计算

第第 3 章章 静定结构位移计算静定结构位移计算 3 1 基本概念 3 1 1 虚拟单位力状态构造方法 虚拟单位力状态构造方法 虚拟单位力状态构造方法 1 去掉所有荷载重画一个结构 2 标出所求位移矢量 3 该矢量变成单位力 即得虚拟单位力状态 如图 3 1a 刚架求 C 点竖向位移和 C 截面转角 CV 图 3 1b 和图 3 1c 为求相应位移所构造的虚拟单 C 位力状态 3 1 2 位移计算公式 虚拟单位力作用下 引起的内力和支座反力 NQ RiFM FF 实际荷载作用下 引起的内力 NPPQP FMF 位移计算一般公式 NQRi i F duMdFdsF c 荷载作用产生位移的计算公式 Q N QP NPP kF FF F MM dsdsds EAEIGA 1 梁或刚架结构 P MM ds EI 2 桁架结构 N NP F F ds EA C 1 C 求 C 1 CV 求 图 3 1 虚拟单位力状态 l l q CEI EI a b c 2 结构力学典型例题解析 3 混合结构 N NPP F FMM dsds EAEI 支座移动引起位移计算公式 Ri i F c 温度引起位移计算公式 N 0 t Ft dxMdx h N 0 M t t lFA h 式中 h 截面高度 0 tt 为线膨胀系数形心温度温差 M A 虚拟状态弯矩图面积 有弹性支座情况的位移计算公式 PRP R 0 RP R M MF dsF EIk AyF F EIk 3 1 3 图乘法 图乘法公式 0P AyMM dx EIEI 图乘法公式条件 等截面直杆且EI 常数 求 y0图形必须为一条直线 正负号确定 面积A 与y0同侧取 号 注意 求面积的图形要会求面积和形心位置 为使计算过程简洁 明了 先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图一侧 然后直 接代入图乘法公式求得位移 P M M A面积 0 y C EI y x 形心 o 图 3 2 图乘法示意图 第 3 章 静定结构位移计算 3 4 结构力学典型例题解析 l l q EI A B 例题 3 1 图 分析 利用虚力原理计算位移 首先需要构造一 个与所求位移对应的虚拟单位力状态 然后 计算虚内力在实际变形上所做的内力虚功 对于荷载作用下刚架的位移计算 仅需计算 在弯曲变形上的内力虚功 为此 需要作荷 载产生的弯矩图 如图 b 所示 构造单位力状态 每求一个位移重新画一 个结构 将所求位移矢量 矢量方向任意假 定 画在结构相应位置处 标单位力值 即 得到与所求位移对应的虚拟单位力状态 分 别如图 c d 所示 虚拟单位力状态的内力在实际变形上做 虚功 由于刚架仅需要计算弯曲内力虚功 先作虚拟单位力产生的弯矩图 如图 c d 所 示 图乘法应用 为使计算过程简洁 明了 先将面积和形心处对应弯矩求出标在弯矩图 一侧 然后直接代入图乘法公式求得位移 特别注意 计算面积的图形需要找形心位 置 Mp 图 AC 杆面积用梯形减对称抛物线面 积 但形心位置不易计算 由于虚拟力状态 的 AC 杆弯矩为常数 因此本题 AC 杆不用计 算确切形心位置 正负号选择 面积弯矩图与弯矩 y 在相同 一侧做正功取正号 若不在同侧时 内力虚 功为负 就应取负号 位移实际方向 结果为正时虚拟单位力方 向就是所求位移的方向 a b c d 例题 3 1 计算图示结构 B 转角和 D 点竖向位移 CDEI EI A B CD A B CD 1 1 1 11 1 M l l M A B CD P M 图 3 12 ql A 2 ql 2 ql 2 0 5ql 3 2 Aql 3 2 33 ql A 2 8 ql 22 l y 1 0 y 3 yl 1 1 y 3 1 y 2 1 y 解 求 B 截面转角 EI lq EI yA EI yA EI yA EI Ay ds EI MM B 6 13 3 332211 0P 顺时针 求 D 点的竖向位移 0 P 4 331122 7 6 DV AyM M ds EIEI A yA yA yql EIEIEIEI B B 求转角 DV D 求竖向位移 第 3 章 静定结构位移计算 5 q EIA ll B 例题 3 2 图 a b c d 例题 3 2 分别计算图示结构 A 点 B 点的竖向位移 C 2EI AB C AB C 1 M P M 图 2 1 5ql 1 2 3 l y 3 4 23 ql A 2 ql 3 12 ql A 2 8 ql 分析 利用虚力原理计算位移 首先需要构造一个 与所求位移对应的虚拟单位力状态 然后计算 虚内力在实际变形上所做的内力虚功 对于荷 载作用下梁或刚架的位移计算 仅需计算在弯 曲变形上的内力虚功 为此 需要作荷载产生 的弯矩图 如图 b 所示 构造单位力状态 A 点 B 点竖向位移所对 应的虚拟单位力状态分别如图 d c 所示 求 B 点竖向位移 图 b 和图 c 作图乘 图 AB 段为常数 MP图 AB 段求面积 A2不M 必确定形心位置 图 BC 段为斜直线 MPM 图 BC 段求面积 A1 并确定形心位置 求对应 的图弯矩 y1 M 求 A 点竖向位移 图 BC 段为直线 MPM 图 BC 段求面积 A1 并确定形心位置 求对应 图弯矩 y1 图 AB 段为直线 MP图 ABMM 段的面积分成三块面积如图 e 所示 两个三角 形和一个对称抛物线 面积分别为 A3 A4 A5 形心对应的图弯矩M y3 y4 y5 注意 BC杆段抗弯刚度为 2EI 相应分母用 2EI 计算面积的图形 要确定形心位置 对应求 弯矩值的弯矩图要是一条直线 当这条直线为常 数时 求面积图形不必确定形心位置 解 求 B 点的竖向位移 0 P 4 1122 3 22 BV AyM M ds EIEI A yA yql EIEIEI 求 A 点的竖向位移 0 P 4 33551144 53 224 DV AyM M ds EIEI A yA yA yA yql EIEIEIEIEI l l 2 yl A C 1 M 1 2 3 l y l 2l A B 2 1 5ql 2 ql 2 8 ql e 3 3 34 ql A 3 42 ql A 3 512 ql A 3 5 3 l y 4 4 3 l y 5 3 2 l y B 6 结构力学典型例题解析 EI 例题 3 3 图 分析 构造单位力状态 能够在转角上做功的力是 力偶 与 A 截面转角位移对应的单位力状态如 图 c 所示 虚拟单位力做外力虚功等于所求位移 虚拟单位力状态的内力在实际变形上做内 力虚功 刚架仅需要计算弯曲内力虚功 作虚 拟单位力产生的弯矩图 如图 c 所示 荷载弯矩图 需要作荷载产生的弯矩图 如 图 b 所示 图乘法应用 本题两个弯矩图都为直线图形 可以选其中任一个计算面积 另一个求弯矩值 由于 AC 杆直接图乘形心不易计算 本题对 AC DB 杆件进行一些特殊处理 方法如下 将 DB 杆件弯矩图搬到 AC 上面 如图虚线 部分 变成 AF 两个图都是三角形 可以直接 图乘 三角形的形心容易确定 这样 AC DB 一次图乘就可以了 CE ED 两个杆件图乘结果相同 只需计算 一个即可 为使计算过程简洁 明了 先将面 积和形心处对应弯矩求出后标在弯矩图一侧 然后直接代入图乘法公式求得位移 符号选取 图形在同侧内力虚功为正值 位移 与虚拟力方向相同 a b c 例题 3 3 计算图示结构 A 的转角位移 各杆 EI 常数 M P M 图 1 AMl 28 M l A 1 2 3 y 解 求 A 截面转角 0 P 1122 2 23 3124 A AyM M ds EIEI A yA y EIEI MlMlMl 顺时针 2l2l l M A B C D M A B CD M 0 5M 0 5M 0 5M 1 A B CD 0 5 0 50 5 1 EI EIEI 2 1 3 y E E E F F 第 3 章 静定结构位移计算 7 例题 3 4 图 分析 构造单位力状态 重新画一个结构 如图 c 所 示 将所求位移矢量画在结构相应位置处 I 点 标单位力值 即得到所求位移对应的虚拟单位力 状态 如图 c 所示 作荷载 单位力轴力图 利用虚力原理计算位 移 需要计算虚内力在实际变形上所做的内力虚 功 对于求桁架结构由荷载产生的位移 只计算 在轴向变形上的内力虚功 为此 需要作荷载 单位力产生的轴力图 如图 b c 所示 位移计算公式应用 桁架结构位移计算仅有轴 力项 轴力要带符号计算 以拉力为正 压力为 负 对于杆件是等截面同材料 不需要作积分 运算 对所有杆件求和即可 要注意使用每个杆 件的长度 弹性模量 面积 位移实际方向 结果为正时虚拟单位力方向就 是所求位移的方向 注 桁架内力的计算方法 本题桁架上部体系与地基之间只有三个联系 可先求出支座反力 BJ 杆件轴力在 B 处分解成 X Y 方向再对 A 点取矩可以方便求得 其它杆 件轴力利用结点法按照 A C E D F G I 顺序列投影平衡条件得到 ED GF 两个杆件为零杆 可先求得 a b c 例题 3 4 计算图示结构 I 点竖向位移 各杆 EI 常数 N F NP F图 A B C D 1 l ll ll P F P F F G I J E P FP F 2 P F P 4 3 F P 2 10 3 F 1 5 2 P F P 4 3 F P 4 3 F 0 0 P 2 3 F P 3 F P 3 F P 2 3 F 2 P F P 2 3 F 0 0 0 5 10 2 0 5 1 5 2 2 0 5 0 5 2 2 2 2 0 5 1 5 0 5 0 5 P 4 2 3 F P 4 3 F 解 NNPNNP P P P 102 104 103 0 5 233 24 2 1 5 2 2 23 2222 2 2 2323 21 0 5 1 5 2 2 0 5 33 10 102 214 3 14 26 IV FFFF dsl EAEA F l EA F l EA F l EA 8 结构力学典型例题解析 a 例题 3 5 图 分析 构造单位力状态 每个位移重新画一个结构 如 图 b c 所示 将所求位移矢量画在结构相应位置 处 标单位力值 即得到所求位移对应的虚拟单位 力状态 求 A 处角位移的单位力状态如图 b 所示 求 C 点水平位移的单位力状态如图 c 所示 静定结构因支座移动影响只发生刚体位移 不产 生变形 虚拟力状态的内力也就不做内力虚功 在 此情况下不需要作内力图 虚拟力状态的支座反力 在位移状态的支座位移上将做外力虚功 只需要求 出对应有支座移动的约束反力即可 支座不发生移 动的 对应虚拟力状态的支座反力也不做外力虚功 计算支座反力 图 a 体系的几何组成为三刚片类 型结构 也称作三铰刚架 计算反力要用双截面法 取两次隔离体 本题只需要 B 支座反力 计算过程为 1 先取整体 ACDB 隔离体 对 A 点列力矩平衡 条件 求出 B 竖向反力 2 再取一个刚片 EDB 隔离体 对 E 点列力矩平 衡条件 求出 B 水平反力 正负号选择 力和位移都是矢量 方向相同作正 虚功 相反做负功 位移实际方向 结果为正时虚拟单位力方向就是 所求位移的方向 注意 位移计算公式支反力虚功前面的负号 是 公式自带的 本来是内力虚功为零 外力虚功项在 公式左端 移到右端加负号 a b c 例题 3 5 图示结构 B 支座发生沉降 计算 A 的转角位移和 C 点水平位移 M 解 A 的转角位移 11 2 1 2 2 Ri iA ll l F c ab ab 位移方向与虚拟单位力相同 顺时针 C 点水平位移 0 51 0 5 Ri iCH F c ab ab 位移方向与虚拟单位力相反 向左 2l2l l A B C D A B CD 1 A B CD 0 5 1 b 1 l 1 2l 1 E E E 第 3 章 静定结构位移计算 9 l l EI P M 图图 M 图图 B 例题 3 6 图 a b c d 例题 3 6 计算图示结构 B 转角和 A 点水平位移 其中弹簧刚度为 k C A EI 3 2 3 y 3 EI l k P F P F l 2 1 P 2 A F l B C A P F P F 2 2 P 2 A F l B C A 1 M 图图 B C A 1 1 l 1 l 解 求 A 点的水平位移 PRP R 0 RP R 3 1122RPP R 5 3 AH B B M MF dsF EIk AyF F EIk A yA yFF l F EIEIkEI 位移方向 向右 求 B 截面的转角位移 PRP R 0 RP R 2 22RPP R 5 6 B B B M MF dsF EIk AyF F EIk A yFF l F EIkEI 位移方向 逆时针 1 分析 构造单位力状态 每个位移需要重新画一个结构 如图 c d 所示 将所求位移矢量画在结构相应位 置处 标单位力值 即得到所求位移对应的虚拟单位 力状态 求 B 处角位移的单位力状态如图 c 所示 求 A 点水平位移的单位力状态如图 d 所示 内力虚功 刚架在荷载作用下的位移计算 计算虚 内力在实际弯曲变形上所做的内力虚功 为此 需要 作荷载 单位力产生的弯矩图 弹性支座计算 可以将弹性支座的弹簧当作结构的 一部分 单位力产生的弹性支座反力 在弹簧变RF 形上做内力虚功 其内力虚功等于力乘以位移 RF 弹簧位移等于位移状态的弹性支座反力除以弹 簧刚度 也可以将弹性支座按支座移动处理 RP F k 位移实际方向 结果为正时虚拟单位力方向就是所 求位移的方向 注意 弯矩图在图乘时求面积 A 图与 y 在同一侧取 正号 在不同侧取负号 弹簧内力虚功符号 两个支座反力 方向RF RP F 相同做正功 方向相反做负功 2 1 3 y 2 2 3 y l 1 2 3 y l RPPB FF R 1 BF l R1BF 10 结构力学典型例题解析 l l M 图图 B 例题 3 7 图 a b c 例题 3 7 计算图示结构 B 转角和 C 点水平位移 已知线膨胀系数为 C A 10 C 20 C 20 C h B C A B C A 10 1 1 1 l l M 图图 分析 构造单位力状态 每个位移需要重新画一个 结构 如图 b c 所示 将所求位移矢量画在 结构相应位置处 标单位力值 即得到所求位 移对应的虚拟单位力状态 求 B 处转角位移的 单位力状态如图 b 所示 求 C 点水平位移的单 位力状态如图 c 所示 作内力图 对刚架由于温度改变引起的位 移计算 要考虑温度改变引起的弯曲变形和轴 向变形两种因素对位移的影响 也就是要计算 虚拟单位力状态的内力在弯曲 轴向变形上做 的内力虚功 作虚拟单位力产生的弯矩图和轴 力图 如图 c d 所示 轴力标在杆件一侧 内力虚功正负号选择 弯矩图面积和杆件两 侧温度差都取正值 杆件温度升高大的一侧与 弯矩图在同侧时内力虚功为正 取正号 在不 同侧时取负号 轴力以拉力为正 压力为负 符号不用选择 位移实际方向 结果为正时虚拟单位力方向 就是所求位移的方向 注意 若杆件截面不对称时截面形心不在中 间位置 需确定截面形心位置 以便计算截面 形心处的温度 杆件两侧温度差的计算与截面 是否对称无关 解 1 01202 5 15 ACBC tttCtC 21 30 10 ACBC tttCtC B 截面的转角位移 N0B t Ft dxMdx h 0N 5 1 10 2 5 5 M t lt FA h l l h l l h 转角位移方向 顺时针 C 点水平位移 N0CH t Ft dxMdx h 0N 2 2 5 110 2 10 2 5 M t t lFA h l l h l h l 水平位移方向 向右 1 0 NF 图图 NF 图图 1 0 1 2 A l 2 2 2 A l 第 3 章 静定结构位移计算 11 l l P M 图图 M 图图 B 例题 3 8 图 a b c d 例题 3 8 计算图示结构 C 点和 E 点的竖向位移 EI 常数 EA 常数 C A 13 y l P F P F l 1 2 P F lA ll D F G E BC A P F P F l D F G E B C A D F G E M 图图 BC A D F GE 1 NF 图图 1 NP F图 NF 图图 1 00 0 0 00 0 0 0 P F l 2 3 l 2 3 l 3 l 0 P F 3 l P F P F P 2F P F P F l 解 求 C 点的竖向位移 NNPP 0 NNP 3 11P 3 CV F FM M dsds EIEA AyF F l EIEA A yF l EIEI 求 E 点的竖向位移 NNPP 0 NNP 3 11PPP 1 3 EV F FM M dsds EIEA AyF F l EIEA A yFlF lF l EIEAEIEA 13 y l 分析 构造单位力状态 求 C 点竖向位移的单位力 状态如图 c 所示 求 E 点竖向位移的单位力状 态如图 d 所示 作内力图 对组合结构梁式杆件作弯矩图 桁架杆件作轴力图 FG 杆件当作梁式杆件处 理 如图 b c 所示 位移计算 梁式杆利用图乘法求 正负符号 选择按照图乘法 桁架杆轴力拉力为正 压力 为负 正负符号 代入 位移实际方向 结果为正时虚拟单位力方向 就是所求位移的方向 结构内力计算 本题为组合结构 其几何组 成为基附型结构 基本部分是简支梁 附属部 分为桁架 内力计算时按照先附属后基本的顺 序进行 当附属部分不受外力时 也没有内力 注意 FG 杆件有弯矩 按照梁式杆计算 12 结构力学典型例题解析 例题 3 9 图 a b c 例题 3 9 计算图示结构 D 点竖向位移和 AE 杆件的转角 l l BC ll D FE 10 C 20 C A BCD FE A BCD F E A 1 2l 1 2l NF 图图 解 00 20 10 CDEF tCtC D 点的竖向位移 N0N0 1 100 20 2 5 DV Ft dxFt l l l 竖向位移方向 向上 AE 杆件的转角位移 N00N 11 1020 2 25 AE Ft dxt F l l ll 转角位移方向 逆时针 NF 图图 1 0 0 0 50 5 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0 5 1 2l 1 2l 1 2l 1 l 1 l 1 2l 1 2l 1 2l 1 2l 1 2l 1 2l 分析 构造单位力状态 重新画一个结构 如图 b c 所示 将所求位移矢量画在结构相应位置 处 标单位力值 求 D 点竖向位移对应的虚拟单 位力状态如图 b 所示 桁架只作用结点荷载 不 能施加单位集中力偶 用一对力形成单位力偶 即求 AE 杆件转角所对应的虚拟单位力状态如图 c 所示 计算单位力产生的轴力图 利用虚力原理计算 位移 需要计算虚内力在实际变形上所做的内力 虚功 对于求桁架结构由温度改变产生的位移 只存在在轴向变形上的内力虚功 为此 需要作 单位力产生的轴力图 如图 b c 所示 位移计算公式应用 桁架结构位移计算公式仅 有轴力项 轴力要带符号计算 以拉力为正 压 力为负 温度以升高为正 温度不改变杆件不 用计算 本题只需计算 EF CD 两杆件 位移实际方向 结果为正时虚拟单位力方向就 是所求位移的方向 注 桁架内力的计算方法 本题桁架上部体系与地基之间只有三个联系 可先求出支座反力 其它杆件轴力利用结点法取 结点作隔离体 按照 A C B D F 顺序列投 影平衡条件求出各个杆件的轴力 同一个结构的计算方法与几何组成有关 而 与其上面的作用力无关 即如图 b c 所示两个 结构的轴力计算方法相同 第 3 章 静定结构位移计算 13 例题 3 10 图 a b c 例题 3 10 图示结构 EB 杆件制造短了 15 mm 支座 C 下沉 计算 F 点竖向位移和AD杆件的转角 4 m ABC DF G E 10mm 20mm 4m4m4m ABC DF G E ABC DF G E 1 1 0 5 0 5 0 5 0 5 1 4 0 0 1 4 解 F 点的竖向位移 N NN 0 5 15mm 0 520 mm0 510 mm 22 5 mm Ri iF V RiRi ii MdxF dxQdxF c F dxF cFF c AD 杆件的转角 N NN 3 3 0 25 10 mm 15mm 020 mm010 mm 3 75 10 Ri iAD RiRi ii MdxF dxQdxF c F dxF cFF c 弧度 分析 构造单位力状态 求 F 点竖向位移的单 位力状态如图 b 所示 由于制造误差和支 座移动使结构产生刚体位移 AD 杆件任 一点转角相等 因此 求 AD 杆件转角位 移的单位力状态如图 c 所示 静定结构因制造误差和支座移动影响只 发生刚体位移 不产生变形 虚拟力状态 的内力不做内力虚变形功 也就不需要作 内力图 有制造误差的杆件将产生内力虚 功 需计算相应的虚内力 虚拟力状态的 支座反力在位移状态的支座位移上将做外 力虚功 需要求出对应有支座移动的约束 反力 支座不发生移动的 对应虚拟力状 态的支座反力也不做外力虚功 计算支座反力 图 a 体系为基附型刚架 ADE 为附属部分 BFC 为基本部分按三 刚片组成 要按照先附后基的原则计算 附属部分满足二刚片规则用截面法求 基 本部分用双截面法 取两次隔离体 计算 正负号选择 力和位移都是矢量 方向 相同作正虚功 相反做负功 制造误差以 伸长为正 轴力以拉为正 注意 位移计算公式支反力虚功前面的 负号 是公式自带的 有制造误差 内力 虚功不为零 内力虚功 外力虚功的符号 由力 位移的正负符