2016年江苏理科数学高考试题(含解析)

1 20162016 年江苏数学高考试题年江苏数学高考试题 数学数学 试题试题 参考公式 圆柱的体积公式 V圆柱 Sh 其中 S 是圆柱的底面积 h 为高 圆锥的体积公式 V圆锥 1 3 Sh 其中 S 是圆锥的底面积 h 为高 1 填空题 本大题共填空题 本大题共 1414 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 7070 分分 请把答案写在答题卡相应位置上 请把答案写在答题卡相应位置上 1 已知集合 1 2 3 6 23 ABxx 则 AB 2 复数 12i 3i z 其中 i 为虚数单位 则z的实部是 3 在平面直角坐标系xOy中 双曲线 22 1 73 xy 的焦距是 4 已知一组数据 4 7 4 8 5 1 5 4 5 5 则该组数据的方差是 5 函数y 2 32xx 的定义域是 6 如图是一个算法的流程图 则输出的a的值是 7 将一颗质地均匀的骰子 一种各个面上分别标有 1 2 3 4 5 6 个点的正方体玩具 先后抛掷 2 次 则出现向上的点数之和小于 10 的概率是 8 已知 an 是等差数列 Sn是其前n项和 若a1 a22 3 S5 10 则a9的值是 9 定义在区间 0 3 上的函数y sin2x的图象与y cosx的图象的交点个数是 10 如图 在平面直角坐标系xOy中 F 是椭圆 22 22 1 xy ab ab 0的右焦点 直线 2 b y 与椭圆交于 B C两点 且90BFC 则该椭圆的离心率是 2 第 10 题 11 设f x 是定义在 R 上且周期为 2 的函数 在区间 1 1 上 10 2 01 5 xax f x xx 其中 a R若 59 22 ff 则f 5a 的值是 12 已知实数x y满足 240 220 330 xy xy xy 则x2 y2的取值范围是 13 如图 在 ABC中 D是BC的中点 E F是AD上的两个三等分点 4BC CA 1BF CF 则 BE CE 的值是 14 在锐角三角形ABC中 若 sinA 2sinBsinC 则 tanAtanBtanC的最小值是 二 解答题二 解答题 本大题共 本大题共 6 6 小题 共小题 共 9090 分分 请在答题卡制定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过请在答题卡制定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过 程或演算步骤程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 在ABC 中 AC 6 4 cos 54 BC 1 求AB的长 2 求 cos 6 A 的值 3 16 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分别为AB BC的中点 点F在侧棱B1B上 且 11 B DAF 1111 ACAB 求证 1 直线DE 平面A1C1F 2 平面B1DE 平面A1C1F 17 本小题满分 14 分 现需要设计一个仓库 它由上下两部分组成 上部分的形状是正四棱锥 1111 PABC D 下部分的形状是正 四棱柱 1111 ABCDABC D 如图所示 并要求正四棱柱的高 1 PO的四倍 若 1 6 PO2 ABmm 则仓库的容积是多少 1 若正四棱柱的侧棱长为 6m 则当 1 PO为多少时 仓库的容积最大 4 18 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知以 M 为圆心的圆 M 22 1214600 xyxy 及其上一点 A 2 4 1 设圆 N 与 x 轴相切 与圆 M 外切 且圆心 N 在直线 x 6 上 求圆 N 的标准方程 2 设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B C 两点 且 BC OA 求直线 l 的方程 3 设点 T t o 满足 存在圆 M 上的两点 P 和 Q 使得 TATPTQ 求实数 t 的取值范围 19 本小题满分 16 分 5 已知函数 0 0 1 1 xx f xababab 1 设a 2 b 1 2 求方程 f x 2 的根 若对任意xR 不等式 2 f 6fxmx 恒成立 求实数m的最大值 2 若01 1ab 函数 2g xfx 有且只有 1 个零点 求 ab 的值 20 本小题满分 16 分 记 1 2 100U 对数列 n anN 和U的子集 T 若T 定义0 T S 若 12 k Tt tt 定义 12 k Tttt Saaa 例如 1 3 66T时 1366 T Saaa 现设 n anN 是公比为 3 的等 比数列 且当 2 4T时 30 T S 求数列 n a的通项公式 1 对任意正整数 1100kk 若 1 2 kT 求证 1Tk Sa 3 设 CD CU DU SS 求证 2 CCDD SSS 数学数学 附加题 附加题 6 21 选做题选做题 本题包括本题包括 A A B B C C D D 四小题 请选定其中两小题 并在相应的答题区域内作答四小题 请选定其中两小题 并在相应的答题区域内作答 若多做 若多做 则按作答的前两小题评分则按作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 在 ABC中 ABC 90 BD AC D为垂足 E是BC的中点 求证 EDC ABD B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 12 02 A 矩阵B的逆矩阵 1 1 1 2 02 B 求矩阵AB C C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系xOy中 已知直线l的参数方程为 1 1 2 3 2 xt yt t为参数 椭圆C的参数方程 为 cos 2sin x y 为参数 设直线l与椭圆C相交于A B两点 求线段AB的长 D 设a 0 x 1 3 a y 2 3 a 求证 2x y 4 a 必做题必做题 第第 2222 题 第题 第 2323 题 每题题 每题 1010 分 共计分 共计 2020 分分 请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 7 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知直线l x y 2 0 抛物线 C y2 2px p 0 1 若直线l过抛物线C的焦点 求抛物线C的方程 2 已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点P和Q 求证 线段PQ的中点坐标为 2 p p 求p的取值范围 23 本小题满分 10 分 1 求 34 67 47CC的值 2 设m n N N n m 求证 m 1 Cm m m 2 1 Cm m m 3 2 Cm m n 1 Cm n n 1 Cm n m 1 2 2 Cm n 参考版解析 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上 已知集合 则 1 2 3 6A 23Bxx AB 8 1 2 i 由交集的定义可得 1 2AB 复数 其中 为虚数单位 则的实部是 12i3iz iz 5 ii 由复数乘法可得 则则的实部是 5 55iz z 在平面直角坐标系中 双曲线的焦距是 xOy 22 1 73 xy 2 10 iii 因此焦距为 22 10cab 22 10c 已知一组数据 4 7 4 8 5 1 5 4 5 5 则该组数据的方差是 0 1 iv 5 1x 222222 1 0 40 300 30 40 1 5 s 函数的定义域是 2 32yxx 3 1 v 解得 因此定义域为 2 320 xx 31x 3 1 如图是一个算法的流程图 则输出的值是 a 开始 输出a 结束 1a 9b a b 4aa 2bb Y N 9 vi 的变化如下表 a b a159 b975 9 则输出时 9a 将一个质地均匀的骰子 一种各个面上分别标有个点为正方体玩具 先后抛掷 2 次 则出现向1 2 3 4 5 6 上的点数之和小于 10 的概率是 5 6 vii 将先后两次点数记为 则共有个等可能基本事件 其中点数之和大于等于 10 有 x y6636 六种 则点数之和小于 10 共有 30 种 概率为 4 6 5 5 5 6 6 4 6 5 6 6 305 366 已知是等差数列 是其前项和 若 则的值是 n a n Sn 2 12 3aa 5 10S 9 a 20 viii 设公差为 则由题意可得 d 2 11 3aad 1 51010ad 解得 则 1 4a 3d 9 48 320a 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 0 3 sin2yx cosyx 7 ix 画出函数图象草图 共 7 个交点 1 1 O y x 如图 在平面直角坐标系中 是椭圆的右焦点 直线与椭圆交于两xOyF 22 22 10 xy ab ab 2 b y B C 点 且 则该椭圆的离心率是 90BFC F CB O y x 6 3 x 由题意得 直线与椭圆方程联立可得 0F c 2 b y 3 22 a b B 3 22 a b C 10 由可得 90BFC 0BF CF 3 22 ab BFc 3 22 ab CFc 则 由可得 则 222 31 0 44 cab 222 bac 22 31 42 ca 26 33 c e a 设是定义在上且周期为 2 的函数 在区间上 f xR 1 1 10 2 01 5 xax f x xx 其中 若 则的值是 a R 59 22 ff 5fa 2 5 xi 由题意得 511 222 ffa 91211 225210 ff 由可得 则 59 22 ff 11 210 a 3 5 a 则 32 53111 55 faffa 已知实数满足 则的取值范围是 x y 240 220 330 xy xy xy 22 xy 4 13 5 xii 在平面直角坐标系中画出可行域如下 x y B A 1 2 3 41234 1 2 3 4 1 2 3 4 为可行域内的点到原点距离的平方 22 xy 可以看出图中点距离原点最近 此时距离为原点到直线的距离 AA220 xy 则 2 2 5 541 d 22 min 4 5 xy 图中点距离原点最远 点为与交点 则 BB240 xy 330 xy 2 3B 11 则 22 max 13xy 如图 在中 是的中点 是上两个三等分点 ABC DBC E FAD4BA CA 1BF CF 则的值是 BE CE 7 8 xiii 令 则 DFa DBb DCb 2DEa 3DAa 则 3BAab 3CAab 2BEab 2CEab BFab CFab 则 22 9BA CAab 22 BF CFab 22 4BE CEab 由 可得 因此 4BA CA 1BF CF 22 94ab 22 1ab 22513 88 ab 因此 2245137 4 888 BE CEab 在锐角三角形中 则的最小值是 ABCsin2sinsinABC tantantanABC 8 xiv 由 sinsin sinsincoscossinAABCBCBC sin2sinsinABC 可得 sincoscossin2sinsinBCBCBC 由三角形为锐角三角形 则 ABCcos0 cos0BC 在 式两侧同时除以可得 coscosBCtantan2tantanBCBC 又 tantan tantan tan 1tantan BC AABC BC 则 tantan tantantantantan 1tantan BC ABCBC BC 由可得 tantan2tantanBCBC 2 2 tantan tantantan 1tantan BC ABC BC 令 由为锐角可得 tantanBCt A B Ctan0 tan0 tan0ABC 由 得 解得1tantan0BC 1t 2 2 22 tantantan 11 1 t ABC t tt 由则 因此最小值为 2 2 11111 24ttt 1t 2 111 0 4tt tantantanABC8 当且仅当时取到等号 此时 2t tantan4BC tantan2BC 解得 或互换 此时均为锐角 tan22 tan22 tan4BCA tan tanBC A B C F E D CB A 12 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明 过程或演算步骤 本小题满分 14 分 在中 ABC 6AC 4 cos 5 B 4 C 求 AB 的长 求 cos 6 A 的值 5 2 7 26 20 1 为三角形的内角 4 cos 5 B B 3 sin 5 B sinCsin ABAC B 即 6 3 2 5 2 AB 5 2AB a coscossinsincoscosACBBCBC 2 cos 10 A 又为三角形的内角A 7 2 sin 10 A 317 26 coscossin 62220 AAA 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱中 分别为的中点 点在侧棱上 111 ABCABC D E AB BCF 1 B B 且 11 B DAF 1111 ACAB 求证 直线平面 DE 11 AC F 平面平面 1 B DE 11 AC F 见解析 2 为中点 为的中位线 D E DE ABC DE AC F E D C BA C1 B1A1 13 又为棱柱 111 ABCABC 11 AC AC 又平面 且 11 DE AC 11 AC 11 AC F 11 DEAC F 平面 DE 11 AC F a 为直棱柱 平面 111 ABCABC 1 AA 111 ABC 又 111 AAAC 1111 ACAB 且 平面 1111 AAABA 111 AA AB 11 AAB B 平面 11 AC 11 AAB B 又 平面 11 DE AC DE 11 AAB B 又平面 1 AF 11 AAB B 1 DEAF 又 且平面 11 AFB D 1 DEB DD 1 DE B D 1 B DE 平面 又 1 AF 1 B DE 111 AFAC F 平面平面 1 B DE 11 AC F 本小题满分 14 分 现需要设计一个仓库 它由上下两部分组成 上部分的形状是正四棱锥 下部分的形状是正四 1111 PABC D 棱柱 如图所示 并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍 1111 ABCDABC D 1 OO 1 PO4 若 则仓库的容积是多少 6 mAB 1 2 mPO 若正四棱锥的侧棱长为 当为多少时 仓库的容积最大 6 m 1 PO 3 312 m2 3 m 3 则 1 2 mPO 1 8 mOO 1 1 11 23 1 11 6224 m 33 P A B C DABCD VSPO 1 1 11 23 1 68288 m ABCD A B C DABCD VSOO 1 1 111 1 11 3 312 m P A B C DABCD A B C D V VV 故仓库的容积为 3 312 m a 设 仓库的容积为 1 mPOx V x 则 1 4 mOOx 2 11 36mAOx 2 11 236mABx 1 1 11 2 2333 1 1112 72272224m 3333 P A B C DABCD VSPOxxxxxx 1 1 11 2 233 1 72242888m ABCD A B C DABCD VSOOxxxx 1 1 111 1 11 333 226 24288831206 33 P A B C DABCD A B C D V xVVxxxxxxx O1 P O D C B A D1C1 B1A1 14 22 263122612Vxxx 06x 当时 单调递增 0 2 3x 0Vx V x 当时 单调递减 2 3 6x 0Vx V x 因此 当时 取到最大值 2 3x V x 即时 仓库的容积最大 1 2 3 mPO 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系中 已知以为圆心的圆 xOyMM 22 1214600 xyxy 及其上一点 2 4A 设圆与轴相切 与圆外切 且圆心在直线上 求圆的标准方程 NxMN6x N 设平行于的直线 与圆相交于两点 且 求直线 的方程 OAlM B CBCOA l 设点满足 存在圆上的两点和 使得 求实数 的取值范围 0T tMPQTATPTQ t 或 22 611xy 25yx 215yx 22 21 22 21 4 因为在直线上 设 因为与轴相切 N6x 6 Nnx 则圆为 N 22 2 6xynn 0n 又圆与圆外切 圆 NMM 22 6725xx 则 解得 即圆的标准方程为 75nn 1n N 22 611xy a 由题意得 设 则圆心到直线 的距离2 5OA 2 OA k 2l yxb Ml 2 1275 5 21 bb d 则 即 2 22 5 2 52 25 5 b BCd 2 5BC 2 5 2 252 5 5 b 解得或 即 或 5b 15b l25yx 215yx i 即 即 TATPTQ TATQTPPQ TAPQ 2 2 24TAt 又 10PQ 即 解得 2 2 2410t 22 21 22 21t y xO M A 15 对于任意 欲使 22 21 22 21t TAPQ 此时 只需要作直线的平行线 使圆心到直线的距离为 10TA TA 2 25 4 TA 必然与圆交于两点 此时 即 PQ TAPQ TAPQ 因此对于任意 均满足题意 22 21 22 21t 综上 22 21 22 21t 本小题满分 14 分 已知函数 0 0 1 1 xx f xababab 设 2a 1 2 b 求方程的根 2f x 若对于任意 不等式恒成立 求实数的最大值 x R 26fxmf x m 若 函数有且只有 1 个零点 求的值 01a 1b 2g xf x ab 0 x 41 5 由可得 1 2 2 x x f x 2f x 1 22 2 x x 则 即 则 2 22210 xx 2 210 x 21 x 0 x 由题意得恒成立 2 2 11 226 22 xx xx m 令 则由可得 1 2 2 x x t 20 x 1 2 22 2 x x t 此时恒成立 即恒成立 2 26tmt 2 44t mt tt 时 当且仅当时等号成立 2t 44 24tt tt 2t 因此实数的最大值为 m4 22 xx g xf xab ln lnlnln ln x xxx ab gxaabbab ba 由 可得 令 则递增 01a 1b 1 b a ln ln x ba h x ab h x 16 而 因此时 ln0 ln0ab 0 ln log ln b a a x b 0 0h x 因此时 则 0 xx 0h x ln0 x ab 0gx 时 则 0 xx 0h x ln0 x ab 0gx 则在递减 递增 因此最小值为 g x 0 x 0 x g x 0 g x 若 时 则 0 0g x log 2 a x log 2 2 a x aa 0 x b 0g x logb2 时 则 x 0 x a log 2 2 b x bb 0g x 因此且时 因此在有零点 1 log 2 a x 10 xx 1 0g x g x 10 x x 且时 因此在有零点 2 log 2 b x 20 xx 2 0g x g x 02 x x 则至少有两个零点 与条件矛盾 g x 若 由函数有且只有 1 个零点 最小值为 0 0g x g x g x 0 g x 可得 0 0g x 由 00 020gab 因此 0 0 x 因此 即 即 ln log0 ln b a a b ln 1 ln a b lnln0ab 因此 则 ln0ab 1ab 本小题满分 14 分 记 对数列 和的子集 若 定义 1 2 100U n a n NUTT 0 T S 若 定义 例如 时 12 k Tt tt 12k Tttt Saaa 1 3 66T 1366T Saaa 现设 是公比为 的等比数列 且当时 n a n N3 2 4T 30 T S 求数列的通项公式 n a 对任意正整数 若 求证 k1100k 1 2 Tk 1Tk Sa 设 求证 CU DU CD SS 2 CCDD SSS 详见解析 1 3n n a 6 当时 因此 从而 2 4T 2422 930 T Saaaa 2 3a 2 1 1 3 a a 1 3n n a a 21 121 31 13333 2 k kk Tkk Saaaa 17 i 设 则 C ACD D BCD AB CAC D SSS DBC D SSS 因此原题就等价于证明 22 CC DDAB SSSSS 2 AB SS 由条件可知 CD SS AB SS 若 则 所以 B 0 B S 2 AB SS 若 由可知 设中最大元素为 中最大元素为 B AB SS A AlBm 若 则由第 小题 矛盾 1ml 1AlmB SaaS 因为 所以 所以 AB lm 1lm 即 211 12 31 1333 2222 m mmlA Bm aaS Saaa 2 AB SS 综上所述 因此 2 AB SS 2 CCDD SSS 数学数学 附加题 附加题 选做题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两小题 并在相应的答题区域内作答 若多做 则按 作答的前两小题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 在中 为垂足 是中点 ABC 90ABC BDAC DEBC 求证 EDCABD 详见解析 xv 由可得 BDAC 90BDC 由是中点可得 EBC 1 2 DECEBC 则 EDCC 由可得 90BDC 90CDBC 由可得 90ABC 90ABDDBC 因此 ABDC 又可得 EDCC EDCABD B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 矩阵的逆矩阵 求矩阵 12 02 AB 1 1 1 2 02 BAB 5 1 4 01 E DC B A 18 xvi 因此 1 1 1 1 21 2 4 22 1 010 2 22 BB 1 51 121 4 4 021 010 2 AB C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系中 已知直线 的参数方程为 椭圆的参数方程为xOyl 1 1 2 3 2 xt t yt 为参数C 设直线 与椭圆相交于两点 求线段的长 cos 2sin x y 为参数lC A BAB 16 7 xvii 直线 方程化为普通方程为 l330 xy 椭圆方程化为普通方程为 C 2 2 1 4 y x 联立得 解得或 2 2 330 1 4 xy y x 1 0 x y 1 7 8 3 7 x y 因此 2 2 18 316 10 777 AB D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 设 求证 0a 1 3 a x 2 3 a y 24xya 详见解析 xviii 由可得 1 3 a x 2 22 3 a x 2 24222 33 aa xyxya 必做题 第 22 题 第 23 题 每题 10 分 共计 20 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时写出文字 说明 证明过程或演算步骤 本小题满分 10 分 如图 在平面直角坐标系中 已知直线 抛物线 xOy 20l xy 2 20C ypx p 19 若直线 过抛物线的焦点 求抛物线的方程 lCC 已知抛物线上存在关于直线 对称的相异两点和 ClPQ 求证 线段上的中点坐标为 PQ 2