2012届高考数学培优辅导复习 数列不等式综合问题（二）试题4

用心 爱心 专心1 数列不等式综合问题 二 数列不等式综合问题 二 例 1 设函数的图象在处的切线平行于直线 记 32 1 3 g xxax 1x 20 xy 的导函数为 数列满足 g x f x n a 1 1 2 a 1 nn af a 1 求函数的解析式 f x 2 试判断数列的增减性 并给出证明 n a 3 当时 证明 2 nnN 12 111 12 111 n aaa 例 2 已知函数 数列满足 0 1 2 x x x xf n x 2 1 1 nxfx nn 且 1 1 x 1 设 证明 2 nn xa nn aa 1 用心 爱心 专心2 2 设 1 中的数列的前项和为 证明 n an n S 2 2 n S 例 3 已知数列 中 n a n c 1 0a 1 1 2 n n a a 1 1 n n c a 1 证明 是等差数列并求出数列的通项公式 n c n a n a 2 设 证明 对任意的正整数 均有 9 10 n nn ba nm 3 5 nm bb 3 设数列的前项和为 证明 n an n S ln1 n Snn 用心 爱心 专心3 基础大题自测 四 基础大题自测 四 1 1 如图 已知四棱锥 底面为菱形 平面 PABCD ABCDPA ABCD 分别是 的中点 60ABC EFBCPC 1 证明 AEPD 2 若为上的动点 与平面所成最大角HPDEHPAD 的正切值为 求二面角的余弦值 6 2 EAFC F E D C B A P 用心 爱心 专心4 2 2 如图 在四棱锥SABCD 中 且ADCD 平面CSD 平面ABCD BCAD 22CSDS CSAD E为BS的中点 2 3CEAS 求 1 点A到平面BCS的距离 2 二面角ECDA 的大小 数列不等式综合问题 二 参考答案 数列不等式综合问题 二 参考答案 例 1 解解 1 函数的导函数为 由于在处的切线平行于 32 1 3 g xxax 2 2f xxax 1x 20 xy 解出 即122a 1 2 a 2 2f xxax 2 由 得 即 1 nn af a 2 1nnn aaa 2 1nnn aaa 故由知 1 1 2 a 2 1nnn aaa 0 n a 故是单调递增 1 0 nn aa n a 3 1 1 nnn aa a 即 1 11 1 nnn aa a 11 1 nn aa 1 111 1 nnn aaa 112 111 1aaa 223 111 1aaa 334 111 1aaa 1 111 1 nnn aaa n S 12 111 111 n aaa 122311 111111 22 nn aaaaaa 而当时 2n n S 1212 111112426 111113721 n aaaaa 1 用心 爱心 专心5 12 111 12 111 n aaa 例 2 1 证明 即 1nn xfx 1 2 1 n n n x x x 1 2 12 2 1 2 2 11 n n n n nn x x x x xa 0 n x nnnn axxa 22 12 1 nn aa 1 2 2 12 2 12 1 2 1 nnn xxa 1 1 12 2 12 nn x n nn aaaS 12 12 12 2 21 12 1 22 12 12 1 12 1 12 n n 2 2 22 12 评注 本题利用放缩法将函数 数列和不等式巧妙结合 对综合应用能力要求较高 在考查个体思维的同时 对整体理性思维的考查达到了一定的深度和广度 合理应用放缩 法可以锻炼和培养学生综合应用能力和严密的逻辑思维能力 例 3 1 1 1 211111 1 111121 1 2 n nn nnnnn n a cc aaaaa a 常数 21 1 1 n n a a 而 所以是以为首项 为公差的等差数列 1 1 1 1 1 c a n c1 1 即 1 11 11 11 n nn aa 1 1 n a n 3 91 9 1010 nn nn n ba n 2 2 1 1 1 9 1 10 10 9 9 1 10 n n n n n bn n n bn n 当时 即 2 2 1 1 10 1 9 n n bn bn 10n 4n 当时 即 2 2 1 1 10 1 9 n n bn bn 10n 3n 所以 123456 bbbbbb 又因为时 并且 所以2n 0 n b 1 0b 4 0 n bb 所以对任意的正整数 均有nm 4 4 39365613 0 410580005 nm bbb 2 解法一 设函数 则 ln10F xxx x 1 100 11 x Fxx xx 故 即 00F xF ln 10 xx x 用心 爱心 专心6 所以 即 11 ln 1 nn 11 11ln 1 nn 所以 1 11ln1ln n ann n 所以 即 1ln2ln11ln3ln2 1ln1ln n Snn ln1 n Snn 解法二 当时 显然满足题意1n 11 01ln2Sa 假设当时 nk ln1 k Skk 所以当时 1nk 111 ln1ln1 1 kkkk k SSakkakk k 所以要证 只需证明 ln11ln2 1 k kkkk k 11 ln 1 11kk 令 由 ln 10f xxx x 1 1 11 x fx xx 则 知 即在上单调递减 0 x 0fx f x0 x 即 所以 00f xf ln 1xx 11 ln 1 11kk 故当时 命题成立 综上所述 对一切 都有1nk nN ln1 n Snn 基础大题自测 四 参考答案基础大题自测 四 参考答案 1 1 解 解 1 证明 由四边形为菱形 可得为正三角形 ABCD60 ABC ABC 为正三角形且为的中点 ABC EBCAEBC BCAD AEAD 平面 平面 PA ABCDAE ABCDPAAE 平面 平面且PA PADAD PAD PAADA 平面AE PAD 又 平面 PD PADAEPD 2 解 设 为上任意一点 连接 2AB HPDAHEH 由 1 知平面 则为与平面所成AE PADEHA EHPAD 的角 在中 因此当最短时 最大 EAH R t3AE AHEHA 即当时 最大 此时AHPD EHA 36 tan 2 AE EHA AHAH 所以 而 所以 所以 2AH 2AD 45 ADH 2PA 解法一 平面 平面 平面平面 PA ABCDPA PACPAC ABCD 过作于 则平面 过作于 连接 由三垂线定EEOAC OEO PACOOSAF SES 理可知ESAF 为二面角的平面角 ESO EAFC 在中 RtAOE 3 sin30 2 EOAE 3 cos30 2 AOAE 又是的中点 所以在中 又FPCRtASO 3 2 sin45 4 SOAO 22 3930 484 SEEOSO 用心 爱心 专心7 所以在中 即所求二面角的余弦值为RtESO 3 2415 cos 4530 SO ESO SE 15 5 解法二 由 知两两垂直 以为坐标原点 AEADAP A 建立如图所示的空间直角坐标系 又分别为的中点 EF BCPC 所以 0 0 0 310 310 0 2 0 ABCD 3 1 0 0 2 3 0 0 1 22 PEF 所以 3 0 0 AE 3 1 1 22 AF 设平面的一法向量为 AEF 111 mxyz 则由 得取 则 所以 0 0 m AE m AF 1 111 30 31 0 22 x xyz 1 1z 1 1 0 2 x y 0 21 m 因为 所以平面 故为平面的BDAC BDPA PAACA BD AFC BDAFC 一法向量 又 所以 33 0 BD 2 315 cos 5512 m BD m BD mBD 因为二面角为锐角 所以所求二面角的余弦值为 EAFC 15 5 2 2 解法一 1 且平面BCAD BCBCS 平面 从而点到平面的距离等于点到平面的距离 ADBCSABCSDBCS 平面 CSDABCDCDAD 平面 从而 ADCSDSDAD 由 得BCAD DSBC 又由且知平面DSCS CBCCS DSBCS 从而为点到平面的距离DSABCS 因此在中 22 3 12DSASAD ADSRt 2 如图 过作交于点 又过点作ECDEG CDGG 交于 故为二面角的平CDGH ABHEGH ACDE 面角 记为 过点作 交于点 连结 EBCEF CSFGF 因平面平面 易知 故 ABCDCSDCDGH GFGH EGF 90 由于为边中点 故 在中 EBS1 2 1 CSCFCFERt 112 22 CFCEEF 因平面 又 故由三垂线定理的逆定理得 EFCSDCDEG CDFG 从而又可得 因此 CSDCGF CD CF DS GF 而在中 故CSDRt 624 22 SDCSCD 3 1 2 6 1 DS CD CF GF 在中 可得 故所求二面角的大小为FEGRt 3tan FG EF EGF 3 EGF 6 P B EC D F A y z x 用心 爱心 专心8 解法二 1 如图 以为坐标原点 射线 分别为轴 轴正向 建立 OSODOCxy 空间坐标系 设 因平面平面 故平面 AAA zyxA CODABCDCDAD AD COD 即点在平面上 因此 又得 从AxOz0 A y1 ADzA3 1 222 ASxA2 A x 而 1 0 2 A 因 故 平面 即与平面BCAD BCCSDBCS 重合 从而点到平面的距离为 yOxABCS2 A x 2 易知 因为的中点 0 2 0 C 0 0 2 DEBS 为直角三角形 知BCS 22 2 CEBS 设 则 故 所以 2 0 B zB0 B z2 B z 2 2 0 B 1 1 0 E 设面的法向量为 而 ECD zyxn 1 1 0 EC 0 2 2