2012年高考数学 考前查缺补漏系列 热点03 压轴题目辩能力如何解决高考中的压轴题问题？

用心 爱心 专心1 压轴题目辩能力 如何解决高考中的压轴题问题 压轴题目辩能力 如何解决高考中的压轴题问题 髙考数学压轴题主要是从数学内容与思想方法的二维要素上考虑 由于压轴题既要体现 区分度的功能 又要从学科整体高度和思维价值的高度考虑问题 因而 高考压轴题无论是选 择题 填空题 还是解答题都是有规律可循的 本文就如何破解高考数学压轴试题给出解题 方法和备考策略 一 客观性压轴试题的解题方法与策略 从近几年的髙考数学试题中可以看出 对于客观题一般是选择题部分的最后一两道题和 填空题部分的最后一道题 题目主要涉及函数与导数 解析几何 立体几何 数列 解三角 形及新定义问题等内容 1 以函数为主的压轴客观题 本类压轴题常包括函数与方程 函数的图像 分段函数 抽象函数等 达到考查函数 性质的目的 考查解决本类压轴题有效的方法一数形结合法进行探讨 数形结合的解题方 法具有直观性 灵活性 可靠性等特点 在客观性试题中特别要注意把 数 转化为 形 进 行解题 即根据给出的 数 的结构特点 构造相应的几何图形 用 形 的直观性来解决 数 的抽象性问题 解析 因为奇函数 故函数图象关于 0 0 点对称 又满足 f x 2 fxf x 函数图象关于直线对称 则为周期函数 其周期为 4 函数 的 1x f x cos 2 x g x 周期也为 4 当时 画出两个函数的图象 在一个周期内 有 0 1 x f xx 1 3 两个不同的交点的横坐标为 故在整个 1 5 2 2 用心 爱心 专心2 定义域内有 1 11 42 2 22 xkkkZ 2 51 42 21 22 xkkkZ 集合等于 x f xg x 1 2 2 x xkkZ 2 以立体几何为主的压轴客观题 本类压轴题常见有组合体问题 与函数 轨迹问题相结合的题目 与球有关的组合体 问题 一种是内切 一种是外接 解题时要认真分析图形 明确切点和接点的位置 确定 有关元素间的数量关系 并作出合适的截面图 如球内切于正方体 切点为正方体各个面 的中心 正方体的棱长等于球的直径 球外接于正方体 正方体的顶点均在球面上 正方 体的体对角线长等于球的直径 球与旋转体的组合 通常作它们的轴截面进行解题 球与 多面体的组合 通过多面体的一条侧棱和球心 或 切点 接点 作出截面图 例 3 河北省唐山市 2011 2012 学年度高三年级第二次模拟考试 把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内 使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点 则皮球的半径为 A l0cm B 10 cm3 C 10cm D 30cm2 答案 B 用心 爱心 专心3 解析 由题意球心在 AP 上 球心为 O 过 O 作 BP 的垂线 ON 垂足为 N ON R OM R 因为各个棱都为 20cm 所以 AM 10 BP 20 BM 10 AB 10 2 设 BPA 在BPM 中 所以 Rt 222 BPBMPM 10 3PM 在PAM 中 所以 Rt 222 PMAMAP 10 2PA 在ABP 中 Rt 10 22 sin 202 AB BP 在ONP 中 所以 所以 Rt sin ONR OPOP 2 2 R OP 2OPR 在OAM 中 所以 Rt 222 OMAOAM 22 10 22 100RR 解得 R 10 或 30 舍 所以 R 10cm 故选 B 例 4 2012 北京海淀区高三年级第一学期期末试题 已知正三棱柱的正 ABCA B C 主 视图和侧 左 视图如图所示 设 的中心分别是 现 ABCA B C O O 将此三棱柱绕直线旋转 射线旋 OOOA 转所成的角为弧度 可以取到任意一个实数 对应的俯视图的面积为 则函数xx S x 的最大值为 最小正周期为 S x 说明 三棱柱绕直线旋转 包括逆时针方向和顺时针方向 逆时针方向旋转时 OO 旋转所成的角为正角 顺时针方向旋转时 旋转所成的角为负角 OAOA 侧 左 视图正 主 视图 4 3 用心 爱心 专心4 本类压轴题常见有直线与曲线的位置关系 求曲线的轨迹 定值定点等问题 对曲线轨 迹方程的考查 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点 的轨迹方程 其实质就是利用题设中的几何条件 用 坐标化 将其转化为寻求变量间的 关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义 性质等基础知识的掌握 还充分考查了 各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力 因此这类问题成为高考命题的热点 也 是同学们的一大难点 在几何问题中 有些几何量与参数无关 这就构成了定值问题 解 决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果 另一种是通过考查极端位置 探索 出 定值 是多少 然后再进行一般性证明或计算 即将该问题涉及的几何式转化为代数 式或三角形式 证明该式是恒定的 如果试题以客观题形式出现 特殊方法往往比较奏效 对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题 设该 直线 曲线 上两点的坐标 利用坐标在直线 或曲线 上 建立点的坐标满足的方程 组 求出相应的直线 或曲线 然后再利用直线 或曲线 过定点的知识加以解决 解 析几何的最值和范围问题 一般先根据条件列出所求目标的函数关系式 然后根据函数关 系式的特征选用参数法 配方法 判别式法 不等式法 单调性法 导数法以及三角函数 最值法等求出它的最大值和最小值 用心 爱心 专心5 例 6 2012 海淀区高三年级第一学期期末试题 点到图形上每一个点的距离的最小值称为点PC 到图形的距离 那么平面内到定圆的距离与到PCC 定点的距离相等的点的轨迹不可能是 A A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 直线 用心 爱心 专心6 答案 D 解析 如图 A 点为定圆的圆心 动点 M 为定圆半径 AP 的中点 故 AM MP 此时 M 的轨迹为以 A 圆心 半径为 AM 的圆 如图 以 F1为定圆的圆心 F1P 为其半径 在 F1P 截得 MP MA 1111 PFrMFPMMFMArF A 设 由椭圆的定义可知 M 的轨迹是以 F1 A 为焦点 以为焦距 以为长轴的椭圆 1 F Ar 如图 以 F1为定圆的圆心 F1P 为其半径 过 P 点延长使得 MP MA 则有 11 MFPMrMFMArFA 由双曲线的定义可知 M 的轨迹是以 F1 A 为 焦点的双曲线的右支 若 M 落在以 A 为端点在 x 轴上的射线上 也满足条件 此时轨迹为一条射线 不是直线 故答案为 D 4 以三角形与向量相结合的压轴客观题 本类压轴题包括解三角形 数量积运算以及相关的最值问题 平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中 在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的 域解决问题 这个思想在平面向量的最值 范围问题中也是适用的 但平面向量兼具 数 与 形 的双重身份 解决平面向量最值 范围问题的另一个基本思想是数形结合 F1 A M P Ox y F1A P M 用心 爱心 专心7 例 7 河北省唐山市 2011 2012 学年度高三年级第二次模拟考试 在 ABC 中 则角 A 的最大值为 3 ABACCB 答案 6 例 8 2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二 在中 是的内心 若ABC OABCAC 5 1 cos 7 6 ABC 其中 动点的轨迹所覆盖的面积为OP xOAyOB 10 x10 yP A B C D 6 3 10 6 3 5 3 10 3 20 二 主观性压轴试题的解题方法与策略 1 圆锥曲线的解答题为压轴题 1 圆锥曲线的考查重点 近几年高考试卷对圆锥曲线的考查主要是 给出曲线方程 讨论曲线的基本元素和简 单的几何性质 或给出曲线满足的条件 判断 或求 其轨迹 或给出直线与曲线 曲线 与曲线的位置关系 讨论与其有联系的有关问题 如直线的方程 直线的条数 弦长 曲 用心 爱心 专心8 线中参数的取值范围等 或讨论直线与曲线 曲线与曲线的关系 或考查圆锥曲线与其 它知识的综合 如与函数 数列 不等式 向量 导数等 等 例 9 河北省石家庄市 2012 届高三第一次模拟考试数学 理 解 设动点 则 2 分 2 M x y x 22 MAMB yy kk xx 11 4224 MAMB yy kk xx 即 4 分 2 2 1 2 4 x yx 当直线 的斜率存在时 设 的方程为 则联立方程组ll 1 0yk xk 消去得 22 1 44 yk x xy y 2222 14 8440kxk xk 用心 爱心 专心9 设 则 6分 1122 P x yQ xy 2 12 2 2 12 2 8 14 44 14 k xx k k x x k 文 在平面直角坐标系 xOy 中 已知定点 A 2 0 B 2 0 M 是动点 且直线 MA 与 直线 MB 的斜率之积为 设动点 M 的轨迹为曲线 C I 求曲线 C 的方程 II 过定点 T 1 0 的动直线 l 与曲线 C 交于 P Q 两点 若 证明 为定值 解 设动点 2 M x y x 则 22 MAMB yy kk yx 2 分 11 4224 MAMB yy kk xx 用心 爱心 专心10 即 2 2 1 4 x y 2x 4 分 例 10 河北省唐山市 2011 2012 学年度高三年级第二次模拟考试 理 在直角坐标系 xOy 中 长为的线段的两端点 C D 分别在 x 轴 y 轴上滑21 动 记点 P 的轨迹为曲线 E 2CPPD I 求曲线 E 的方程 II 经过点 0 1 作直线l与曲线 E 相交于 A B 两点 用心 爱心 专心11 当点 M 在曲线 E 上时 求的值 OMOAOB cos OA OB 命题 分析 本题以向量为背景考查曲线方程 考查学生的计算能力和转化能力 求 曲线方程的常见方法 1 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系 直接坐 标化 列出等式化简即得动点轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨 迹的定义 如椭圆 双曲线 抛物线 圆等 可用定义直接探求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 相关点法 即利用 动点是定曲线上的动点 另一动点依赖于它 那么可寻求它们坐标之间的关系 然后代入 定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程 通过转换而求动点的轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 参 数法 若动点的坐标 x y 中的x y分别随另一变量的变化而变化 我们可以以这个变量为 参数 建立轨迹的参数方程 根据题中给定的轨迹条件 用一个参数来分别动点的坐标 间 接地把坐标 x y 联系起来 得到用参数表示的方程 如果消去参数 就可以得到轨迹的普通 方程 注意 1 求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别 求曲线的轨迹是在求出曲线轨 迹方程后 再进一步说明轨迹是什么样的曲线 2 求轨迹方程 一定要注意轨迹的纯粹性 和完备性 要注意区别 轨迹 与 轨迹方程 是两个不同的概念 第一问可通过向量相等 列方程求解 第二问借助第一问的结论 借助直线和曲线的位置关系求解向量夹角 由点M在曲线E上 知 x1 x2 2 1 y1 y2 2 2 用心 爱心 专心12 即 1 解得k2 2 9 分 4k2 k2 2 2 8 k2 2 2 命题分析 本题以向量为背景考查曲线方程 考查学生的计算能力和转化能力 求 曲线方程的常见方法 1 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系 直接坐 标化 列出等式化简即得动点轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨 迹的定义 如椭圆 双曲线 抛物线 圆等 可用定义直接探求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 相关点法 即利用 动点是定曲线上的动点 另一动点依赖于它 那么可寻求它们坐标之间的关系 然后代入 定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程 通过转换而求动点的轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 参 数法 若动点的坐标 x y 中的x y分别随另一变量的变化而变化 我们可以以这个变量 为参数 建立轨迹的参数方程 根据题中给定的轨迹条件 用一个参数来分别动点的坐标 间接地把坐标 x y 联系起来 得到用参数表示的方程 如果消去参数 就可以得到轨迹的普 通方程 注意 1 求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别 求曲线的轨迹是在求出曲线 轨迹方程后 再进一步说明轨迹是什么样的曲线 2 求轨迹方程 一定要注意轨迹的纯粹 性和完备性 要注意区别 轨迹 与 轨迹方程 是两个不同的概念 第一问可通过向量相 等列方程求解 第二问借助第一问的结论 借助直线和曲线的位置关系求解 解 设C m 0 D 0 n P x y 由 得 x m y x n y CP 2PD 2 得 2 分 x m 2x y 2 n y m r 2 1 x n 2 1 2 y 用心 爱心 专心13 由 1 得m2 n2 1 2 CD 22 1 2x2 y2 1 2 2 r 2 1 2 22 整理 得曲线E的方程为x2 1 5 分 y2 2 2 函 数与导数的解答题为压轴题 1 可能出现的题型 求函数的单调区间 最值 不等式或含参数的函数单调区间 最值 求函数的单 调区间 线性规划 函数的单调性 二项式定理 不等式 函数的单调区间 最值 参数取值范围 含三角函数的复合函数单调区间 最值 函数 组合恒等式 不 等式 二次函数 含绝对值不等式 函数单调区间 由高等数学改编问题 函数问题 2 解决函数 不等式综合题的必备知识是 基本初等函数的定义域 值域 对应 法则 图象及其它性质 单调性 奇偶性 周期性 最值 不等式的基本性质 3 研究函数性质及解不等式 证明不等式的基本方法要熟练掌握 尤其是 构造函 数 建立方程 挖掘不等式关系 含参字母的分类讨论 比较法 分析法 综合法等 4 特别注意利用导数研究函数 利用导数求函数的单调区间 利用导数与函数单调 性的关系求字母的取 值范围 利用导数研究函数的极值 最值 利用导数证明不等式 利 用心 爱心 专心14 用导数研究函数图象的交点 例 11 河南省郑州市 2012 届高三第二次质量预测数学 理 已知函数 且图像在点处的切线斜率为 1 e 为自然对数 的底数 I 求实数 a 的值 II 设 求的单调区间 III 当时 证明 要证 m n nn m m 即证 lnln lnln nm nm mn 即 11 lnln nm mn nm lnln 11 mmnn mn 10 分 因为1 nm 由 知 g mg n 所以 m n nn m m 12 分 文 已知函数 用心 爱心 专心15 I 当时 求在上的最大值和最小值 II 若函数在 1 e 上为增函数 求正实数 a 的取值范围 例 12 河北省唐山市 2011 2012 学年度高三年级第二次模拟考试 理 已知 22 1 ln 0 2 f xxax a I 求函数 f x 的最小值 II i 设0 taf atf at 证明 ii 若 且 12 xx 证明 12 f xf x 12 2 xxa 命题分析 本题考查函数的最值和不等式的证明 考查学生利用求导研究函数性质 的解题能力和构造函数思想的应用 第一问借助函数的单调性求函数的最值 第二问通过 用心 爱心 专心16 构造函数 证明函数的单调性分析得到函数值的大小 第三问利用第一问和第二问的结论 解题 命题分析 本题考查函数的最值和不等式的证明 考查学生利用求导研究函数性质的解 题能力和分类讨论思想的应用 第一问借助函数的单调性求函数的最值 第二问通过构造 函数 证明函数的单调性分析得到函数的最值达到证明不等式的目的 解 f x x 1 a2 x x a x a x 分 当x 0 a 时 f x 0 f x 单调递减 当x a 时 f x 0 f x 单调递增 用心 爱心 专心17 当x a时 f x 取得极小值也是最小值f a a2 a2lna 5 分 1 2 最新模拟试题训练 1 2012 年云南省第一次统一检测理科数学 已知椭圆E的长轴的两个端点分别为 0 5 1 A 0 5 2 A 点P在椭圆E上 如果 25 144 21 PAPA 21PA A 的面积等于9 那么椭圆E的方程是 解析 根据已知设椭圆的方程为1 25 2 22 b yx 5 0 b 设 yxP 则 1 25 2 22 b yx 即 2 2 2 25 25 b y x 21PA A 的面积等于9 9 2 1 21 yAA 化简 得 5 9 y 2 2 81 25 b x 25 8181 25 81 25 81 2525 22 22 21 bb yxPAPA 25 144 21 PAPA 25 144 25 8181 2 b 解方程得9 2 b 用心 爱心 专心18 所求椭圆的方程是1 925 22 yx 故选 A 2 山西大学附中 2011 2012 学年第二学期高三月考 如图 直线与双曲线 22 22 1 xy C ab 的左右两支分别交于 两点 与双MNMN 曲线C 的右准线相交于点 为右焦点 若 又PF 2 FNFM NPPMR 则实数 的值为 A 1 2 B 1C 2D 1 3 3 山西大学附中 2011 2012 学年第二学期高三月考 函数 f x的定义域为 若存在非零实数l使得对于任意 xM MD 有D xlD 且 f xlf x 则称 f x为上的l高调函数 如果定义域为的函MR 数 f x是奇函数 当0 x 时 22 f xxaa 且 f x为上的 4 高调函数 R 那么实数a的取值范围是 A 10 a B 22 a C 11 a D 22 a 答案 C 解析 当0 x 时 22 f xxaa 用心 爱心 专心19 2 22 0 0 0 2 x xa f xaf xxa xaxa 据 f x是定义域在为上的奇函数画出图像若图所示R 据图知 2 44a 11a 4 4 河北省衡水中学河北省衡水中学 20122012 届高三下学期二调考试届高三下学期二调考试 已知函数已知函数 0 1 1 0 12 xxf xx xf 把函数把函数 g x f x x 1g x f x x 1 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列 则该数列的前的零点按从小到大的顺序排列成一个数列 则该数列的前 n n 项的和项的和 则则 n S 10 S A A B B C C 4545 D D 55551210 129 5 宁夏银川一中 2012 届高三第一次模拟考试 试题若不重合的四点 CBAP 满足0PAPBPC ABACmAP 则实数的值为 m A B C D 2345 答案 B 解析 若0PAPBPC 则 P 为 ABC 重心 设 BC 中点为 M 则 2 2 3 3 ABACAMAPAMm 6 宁夏银川一中 2012 届高三第一次模拟考试 函数的最小正周期为 且 当时 xfy 2 xfxf 1 0 x 用心 爱心 专心20 那么在区间上 函数的图像与函数的图像的交1 xxf 4 3 xfy 2 1 x y 点个数是 A A B B C C D D 8765 答案答案 C C 解析解析 由题意知 图像如下 由题意知 图像如下 交点为交点为 6 6 个 个 7 20127 2012 上海第二学学期七校联考上海第二学学期七校联考 椭圆上有个不同的点 是右焦点 组 22 1 43 xy n 12n PPP Nn F n P F 成公差的等差数列 则的最大值为 1 100 d n A B C D 99100199200 如图 建立直角坐标系 则 13133 1 0 0 0 0 22344 ABCDE 1333 6244 CDBE 用心 爱心 专心21 1333131 6244882 CD BE 9 湖北省荆门 天门等八市湖北省荆门 天门等八市 20122012 年年 3 3 月高三联考理科月高三联考理科 9 9 已知函数 x f xaxb 的零点 0 1 xn nnZ 其中常数 a b满足23 a 32 b 则 n等于 A 1 B 2 C 1D 2 10 10 吉林省长春市吉林省长春市 20122012 年年 3 3 月高中毕业班第二次调研测试理科月高中毕业班第二次调研测试理科 12 12 已知函数 f x 对 任意 x R R 都有 6 2 3 f xf xf 1 yf x 的图象关于点 1 0 对称 且 4 4 f 则 2012 f A 0 B 4 C 8 D 16 11 2012 年云南省第一次统一检测理科数学 如果直线10axby 被圆 22 25xy 截得的弦长等于8 那么 22 35 ab 的最小 值等于 用心 爱心 专心22 解 直线10axby 被圆 22 25xy 截得的弦长等于8 22 1 2 258 ab 化简得 22 1 9 ab 22 222222 3513535 9 9 9 ab ababab 22 22 35 9 8 9 82 15 7218 15 ba ab 能取到 22 35 ab 的最小值等于7218 15 pqpnbmqa manbpmnq abab 此模型pmqmc 常数 而正数 pnbmqa ab 与相乘可消去变量a与b 且 pnbmqa ab 与相等 本题涉及到几何 代数模型 对形模与代数变形能力要求较高 这可能是学生不能得出正确答案的一个 重要原因 12 宁夏银川一中 2012 届高三第一次模拟考试 一个空间几何体的三视图如图所示 且这个空间几 何体的所有顶点都在同一个球面上 则这个球的表 面积是 答案答案 16 解析 由三视图知该几何体为直三棱柱 底面为 边长为 3 的正三角形 高为 2 直观图如下 在 Rt 中 求求得半径故球的表面 2 OO A 2 4 OA 积为 16 13 13 吉林省长春市吉林省长春市 20122012 年年 3 3 月高中毕业班第二次调研测试理科月高中毕业班第二次调研测试理科 16 16 如图 已知球 AB C O O2 O1 A1B1 C1 用心 爱心 专心23 O是棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D 的内切球 则以 1 B 为顶点 以平面 1 ACD 被球 O所截得的圆为底面的圆锥的全面积为 14 山西大学附中 2011 2012 学年第二学期高三月考 已知定义域为的函数满足 对任意 恒有0 xf 0 x 成立 当时 给出如下结论 2 2 xfxf 2 1 xxxf 2 对任意 有 函数的值域为 存在 使Zm 0 2 m f xf 0 Zn 得 函数在区间上单调递减 的充要条件是 存在 9 12 n f xf a bZk 使得 1 2 2 kk a b 其中所有正确结论的序号是 15 东北三省三校 2012 届高三第一 用心 爱心 专心24 次联合模拟考试理科 已知椭圆 C F为其右焦点 过 F 垂直于 x 轴的直线 22 22 1 0 xy ab ab 2 0 与椭圆相交所得的弦长为 2 1 求椭圆 C 的方程 2 直线 l y kx m 与椭圆 C 交于 A B 两点 若线段 AB 中点在直线0km x 2y 0 上 求FAB 的面积的最大值 设 22 6 2 u mmm 6 0mm 2 23 2 2 2 u mmmm 由 0得 用心 爱心 专心25 3 2 2 m 或2m 或2m 当 3 2 6 2 m 时 0u m 当 3 2 2 2 m 时 0u m 当22m 时 0u m 当26m 时 0u m 又 3 23 2 32 24 uu 所以当2m 时 FAB 的面积取最大值 8 3 12 分 方法一方法一 设交点 11 P x y 22 Q xy 当直线 的斜率不存在时 直线 的方程为 ll1x 用心 爱心 专心26 则易得 3 2 S 6 分 当直线 的斜率存在时 设其方程为 联立椭圆方程l 1 yk x 0 k 得 2 2 1 4 x y 方法二方法二 设交点 11 P x y 22 Q xy 当直线 的斜率不存在时 直线 的方程为 ll1x 则易得 3 2 S 6 分 用心 爱心 专心27 16 东北三省三校 2012 届高三第一次联合模拟考试理科 已知函数 函数与函数 ln 1 x f x 23 11 23 g xabxxx yf x 的图像在交点 0 0 处有公共切线 yg x 1 求a b 2 证明 f xg x 3 对任意的 当时 证明 1212 1 xxxx 12 xx x 12 12 f xf xf xf x xxxx 解 x xf 1 1 2 xxbxg 由题意 0 0 0 0 gf f 解得0 a 1 b 4 分 用心 爱心 专心28 令x xxxxgxfxh 23 2 1 3 1 1ln 1 x 1 1 1 2 xx x xh 1 3 x x 5 分 0 1 在xh为增函数 在 0 为减函数 6 分 0 0 max hxh 0 0 hxh 即 xgxf 8 分 东北三省三校 2012 届高三第一次联合模拟考试文科 已知函数 1 2 lnx 2 f xaax aR x 1 当时 求的极值 0a f x 2 当时 求的单调区间 0a f x 3 对任意的恒有 12 3 2 13 axx 及 成立 求 m 的取值范围 12 ln3 2ln3 maf xf x 解 依题意 知 f x的定义域为 0 1 分 当0a 时 1 2lnf xx x 22 2121 x fx xxx 用心 爱心 专心29 令 0fx 解得 1 2 x 当 1 0 2 x 时 0fx 当 1 2 x 时 0fx 在上递减 在 上递增 f x 1 0 2 1 2 所以时 f x有极小值为 1 22ln2 2 f 无极大值 1 2 x 3 分 由 可知 当 3 2 a 时 f x在 1 3单调递减 当1x 时 f x取最大值 当3x 时 f x取最小值 用心 爱心 专心30 所以 12 1 1 3 12 2 ln36 3 f xf xffaaa 2 4 2 ln3 3 aa 因为 12 ln3 2ln3 maf xf x 恒成立 所以 2 ln3 2ln34 2 ln3 3 maaa 整理得 2 4 3 maa 10 分 又0a 所以 2 4 3 m a 又因为32a 得 122 339a 所以 13238 4 339a 所以 13 3 m 用心 爱心 专心31 12 分 6 35 2 4 3 32 3 a 解方程得2a 双曲线S的方程为 22 22xy 经过点 2 0 斜率等于k的直线的方程为 2 yk x 根据已知设 11 2 A x kxk 22 2 B x kxk 则AB的中点为 1212 4 22 xxk xxk M ABP 是以AB为底的等腰三角形 PMAB 用心 爱心 专心32 综上得 311 2 k 或0k 或 311 2 k 答题分析 1 第 问考查方程的思想方法 即列出关于a b c的三元方程组 222 6 2 6 35 2 4 3 32 3 c a bca a 接下来的任务就是解方程组 可惜的是很多考生没能得出正确 答案 学生的运算求解能力有待提高 18 2012 年云南省第一次统一检测理科数学 文 已知实数a是常数 2 7 ln1f xxax 当1x 时 f x是增函数 求a的取值范围 设n是正整数 证明 22 11111 1 1 ln 1 722 n nn 解 2 7 ln1f xxax 7 22fxxa x 用心 爱心 专心33 当1x 时 f x是增函数 7 220fxxa x 在1x 时恒成立 即 7 2 ax x 在1x 时恒成立 当1x 时 7 2 x x 是减函数 当1x 时 75 22 x x 5 2 a 答题分析 1 一些考生把 fx 求错了 考生的求导运算有待加强 因为求导几乎是 高考的必考题 用心 爱心 专心34 2 第 问实际上是一个含参不等式 7 220fxxa x 在1x 时恒成立的 问题 常用分离参数 函数最值的方法加以解决 3 第 问难度较大 能做出来的考生寥寥无几 本问能较好地将高水平的学生筛选 出来 可以如下思考 要证关于n的不等式恒成立 并且右边还有对数ln 1 n 似乎无法 下手 注意观察不等式的左边 分母上有一个 7 两边乘以 7 后 右边变为7ln 1 n 而 条件 2 7 ln1f xxax 中 也有7ln x 于是考虑借助第 问来搭台阶 I 求点P与双曲线S上的点的距离的最小值 II 设直线 2 xky与双曲线S交于A B两点 且ABP 是以AB为底 的等腰三角形 求常数k的值 解 根据已知设双曲线S的方程为1 2 2 2 2 b y a x 0 a 0 b 用心 爱心 专心35 2 6 a c e ac 2 6 2 2 222 a acb 双曲线S的方程可化为 222 2ayx 左焦点为 0 2 6 a 直线l经过点 1 0 P 倾斜角等于 6 5 直线l的方程为0333 yx 直线l上的点与双曲线S的左焦点的距离的最小值等于3 3 12 3 2 6 3 a 解得2 a 双曲线S的方程为22 22 yx 21 21 24 xx kxxk kPM 1 24 21 21 xx kxxk k 用心 爱心 专心36 由 2 22 22 xky yx 得0288 21 2222 kxkxk 根据已知得 2 4222 1 20 644 1 2 82 1680 k kkkk 2 2 k 2 2 21 21 8 k k xx 21 21 24 xx kxxk kPM 2 2 4 122 k kk 1 4 122 4 122 2 2 2 k kk k kk kkk PM 即0162 2 kk 解方程得 2 113 1 k 2 113 2 k 综上得 2 113 k 或0 k 或 2 113 k 20 2012 年云南省第一次统一检测理科数学 理 已知实数a是常数 2 3ln15f xxax 当0 x 时 f x是增函数 用心 爱心 专心37 I 求a的取值范围 II 设数列 2 11 3nn 的前n项和为 n S 比较ln 1 n 与 n S的大小 解 I 51ln3 2 xaxxf 1 3 2 x axxf 当0 x时 xf是增函数 0 1 3 2 x axxf在0 x时恒成立 即x x a 1 2 3 在0 x时恒成立 当0 x时 x x 1 2 3 是减函数 当0 x时 2 3 1 2 3 x x 2 3 a 用心 爱心 专心38 答题分析 1 一些考生把 fx 求错了 考生的求导能力有待加强 因为求导几乎是 高考的必考题 2 第 问本质上是一个含参不等式0 1 3 2 x axxf在0 x时恒 成立的问题 常用分离参数 函数最值的方法加以解决 3 第 问难度较大 能做出来的考生寥寥无几 本问能较好地将高水平的学生筛选 出来 用心 爱心 专心39 一些考生设法想去求出数列 2 11 3nn 的前n项和为 n S 这既不可能 也没必要 目标 应该是 n S与ln 1 n 的大小 而不是要求出 n S 21 山西大学附中 2011 2012 学年第二学期高三月考 如图 已知椭圆的离心率为 2 2 以该椭圆上的点和椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左 右焦点 12 F F为顶点的三角形的周长为4 21 一等轴双曲线的顶点是该椭圆 的焦点 设P为该双曲线上异于顶点的任一点 直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为 BA 和CD 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 1 PF 2 PF的斜率分别为 1 k 2 k 证明