【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第48讲 截面、面积与体积题目教案

用心 爱心 专心 1 第第 8 8 讲讲 截面 面积与体积截面 面积与体积 本节内容主要有截面 会作截面及侧面展开图 欧拉公式 正多面体 柱 锥 台的面 积与体积的求法以及用体积法求长度 A类例题 求证 平面截正方体所得的截面三角形不可能为直角三角形 求证 平面截正方体所得的截面三角形不可能为直角三角形 解 PQR 中 PQ2 PR2 2PB2 BR2 BQ2 2PB2 QR2 QR2 故 QPR 为锐角 同理 PQR QRP 也是锐角 故 PQR 不可能是直角三角形 一间平房的屋顶有如图的三种盖法 一间平房的屋顶有如图的三种盖法 单向倾斜 单向倾斜 双向倾斜 双向倾斜 四向倾斜 记三种盖法的四向倾斜 记三种盖法的 屋顶面积分别为屋顶面积分别为P P1 1 P P2 2 P P3 3 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 则 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 则 A P1 P2 P3B P1 P2 P3C P1 P2 P3D P1 P2 P3 2001 年高考 解 由于侧面投影的面积是侧面积的 而三个图中的底面积相同 故侧面积相同 1 cos 答案 D 情景再现 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形 这个圆柱的全面积与侧面积的比是 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形 这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A A B B C C D D 1 1 2 2 2 2 1 1 4 4 4 4 1 1 2 2 1 1 4 4 2 2 2000 年高考 天津卷 已知圆锥的全面积是底面积的已知圆锥的全面积是底面积的 3 3 倍 那么该圆锥的侧面展开图的圆心角为 倍 那么该圆锥的侧面展开图的圆心角为 A 120 B 150 C 180 D 240 正方体的全面积是正方体的全面积是 它的顶点都在球面上 这个球的表面积是 它的顶点都在球面上 这个球的表面积是 2 a A B C 2 a2D 3 a2 a2 3 a2 2 1995 年高考 全国 B C D B1 D1 C1 A1 A P R Q 用心 爱心 专心 2 B类例题 有三个有三个 12 12 12 12 的正方形 连接相邻两边的中点把的正方形 连接相邻两边的中点把 正方形分割成正方形分割成A A B B两块 再把它们粘在一个正六边两块 再把它们粘在一个正六边 形上 叠成一个多面体 这个多面体的体积是多少 形上 叠成一个多面体 这个多面体的体积是多少 解一 所得多面体可提成是由一个正三棱锥再截 去三个角得出 据已知得 正六边形底面的边长AB 6 2 大正三棱锥的底面边长XY 18 边心距OS 3 26 斜高 ST 12 9 3 422 高PH 6 3 体积 18 2 6 972 1 323 截去的三个小三棱锥的底面是正三角形 边长XA XF AF 6 2 侧棱KF KA 6 PX 18 KX 18 12 6 于是小三棱锥也是正三棱 PH2 HX2 锥 其体积 972 3 1 3 3 个小正三棱锥体积和 972 3 3 108 1 3 所求体积 972 108 864 3 解二 反过来看 PX PY PZ两两垂直 知 PXY为等腰直角三角 形 于是由AB 6 得XY 18 从而PX 18 其体积VPXYZ 183 972 22 1 6 又KA KF KX也两两垂直 从而VKAFX 3 VPXYZ 36 于是可得所求体积 1 3 972 36 3 864 如图所示四面体如图所示四面体ABCDABCD中 中 ABAB BCBC BDBD两两互相垂直 且两两互相垂直 且ABAB BCBC 2 2 E E是是ACAC中点 异面直中点 异面直 线线ADAD与与BEBE所成的角的大小为所成的角的大小为 arccosarccos 求四面体 求四面体ABCDABCD的体积 的体积 1 10 0 1 10 0 2000 年上海高考 H KM N X Z Y AB C DE F P O S T A B A B A B A B 用心 爱心 专心 3 解 建立空间直角坐标系 令A 0 2 0 C 2 0 0 E 1 1 0 设D点的坐标为 0 0 z z 0 则 1 1 0 0 2 z BE AD 设与所成角为 BE AD 则 cos 2 且AD与BE AD BE 24 22 所成的角的大小为 arccos 10 10 cos2 z 4 故 BD 的长度为 4 2 4 z2 1 10 又VA BCD AB BC BD 因此四面体ABCD的体积为 1 6 8 3 8 3 说明 本题考查空间图形的长度 角度 体积的概念和计算 以向量为工具 利用空间 向量的坐标表示 空间向量的数量积计算线段的长度 异面直线所成角等问题 思路自然 解法灵活简便 如图 如图 ABCDABCD A A B B C C D D 为正方体 任作平面为正方体 任作平面 与对角线与对角线ACAC 垂垂 直 使得直 使得 与正方体的每个面都有公共点 记这样得到的截与正方体的每个面都有公共点 记这样得到的截 面多边形的面积为面多边形的面积为S S 周长为 周长为l l 则 则 A S为定值 l不为定值B S不为定值 l为定值 C S与l均为定值D S与l均不为定值 2005 全国高中数学联赛 解 设截面在底面内的射影为EFBGHD 设 AB 1 AE x 0 x 则l 3 x 1 x 1 222 3为定值 2 而S 1 x2 1 x 2 sec x x2 1 2 1 2 1 2 sec 为平面 与底面的所成角 不为定值 答案 B 情景再现 A B C D D C B A E F G H A B C D D C B A 用心 爱心 专心 4 若干毫升水倒入底面半径为若干毫升水倒入底面半径为 2cm2cm 的圆柱形容器皿中 量得水面的高度为的圆柱形容器皿中 量得水面的高度为 6 6 cmcm 若将这些若将这些 水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中 则水面的高度是 水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中 则水面的高度是 A 6cmB 6cmC 2 cmD 3 cm 3 3 18 3 12 1999 年高考 全国 如图 在多面体如图 在多面体ABCDEFABCDEF中 已知面中 已知面ABCDABCD是边长为是边长为3 3 的的 正方形 正方形 EFEF ABAB EFEF EFEF 与与 面面ACAC的距离为的距离为 2 2 则该 则该 3 3 2 2 多多 面体的体积为面体的体积为 A B 5 9 2 C 6D 15 2 1999 年高考 全国 如果圆台的上底面半径为如果圆台的上底面半径为 5 5 下底面半径为 下底面半径为R R 中截面把圆台分为上 下两个圆台 它 中截面把圆台分为上 下两个圆台 它 们的侧面积的比为们的侧面积的比为 1 21 2 那么 那么R R A 10B 15C 20D 25 1999 年高考 全国 C类例题 一个圆台的上底半径为一个圆台的上底半径为 5 5 下底半径为 下底半径为 1010 母线 母线AAAA1 1 2020 一只蚂蚁从 一只蚂蚁从AAAA1 1中点中点M M绕圆台侧面绕圆台侧面 一周到达一周到达A A 求蚂蚁爬行的最短距离 求蚂蚁在沿最短线爬行的过程中 它与上底圆周上点的最短距离 解 把圆台展开 得到一个扇环 扇环圆心角 2 r1 r2 l 2 由比例计算可得PA 40 PM 30 MA 50 由于点P到MA 的最短距离 24 而 24 40 20 20 30 40 50 蚂蚁爬行的最短距离为 50 在爬行过程中它与上底圆周上点的最短距离为 4 已知 四面体各面都是边长为已知 四面体各面都是边长为 1313 1414 1515 的全等三角形 的全等三角形 1 求三棱锥的体积 2 求顶点D到底面的距离 EF C BA D P A 1 A A1 B1 BA M O1 O 用心 爱心 专心 5 解 1 如图甲设AB 13 AC 15 将图甲中的三棱锥补成如乙所示的长方体 由此三棱锥 的体积就转化成长方体的体积与四个相等的三棱锥的体积之差 D AB C B A CD E 甲乙 设长方体的三边长分别为x y z 则 解得 x2 y2 132 x2 z2 142 y2 z2 152 x 99 y 70 z 126 V长方体 xyz 126 而VC ABE 21 5555 VD ABC V长方体 4VC ABE 42 55 2 设D到底面的距离为h 则 cosB sinB AB2 BC2 AC2 2AB BC 132 142 152 2 13 14 5 13 12 13 V S ABCh h 1 3 1 2 3 2 55 在棱长为在棱长为a a的正方体的正方体OABCOABC O O A A B B C C 中 中 E E F F分别是棱分别是棱ABAB BCBC上的动点 且上的动点 且 AEAE BFBF 如图 如图 1 求证 A F C E 2 当三棱锥B BEF的体积取得最大值时 求二面角B EF B的大小 结果用 反三角函数表示 2001 年高考上海 解 建立坐标系 1 证明 设AE BF x 则A a 0 a F a x a 0 C 0 a a E a x 0 用心 爱心 专心 6 x a a a x a a A F C E xa a x a a2 0 A F C E A F C E 2 解 设BF x 则EB a x 三棱锥B BEF的体积 V x a x a 2 a3当且仅当x 时 等号成立 1 6 a 6 a 2 1 24 a 2 因此 三棱锥B BEF的体积取得最大值时BE BF a 2 过B作BD EF于D 连B D 可知B D EF B DB是二面角B EF B的平面角在直角三角形BEF中 直角边BE BF BD a 2 是斜边上的高 BD a tanB DB 2 2 4 B B BD2 故二面角B EF B的大小为 arctan2 2 说明 本题用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系 把几何问题代数化 降低了 立体几何的难度 设设 ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1为底面边长为为底面边长为 a a 的正三棱柱 的正三棱柱 P P Q Q 在在 A A1 1C C 上 上 R R S S 在在 BCBC1 1上 且四面体上 且四面体 P P QRSQRS 是正四面体 求是正四面体 求 P P QRSQRS 的棱长 的棱长 解 设 AA1 h 正四面体相对棱互相垂直 故 PQ RS 即 A1C BC1 取 AC 中点 D 则 BD 面 AA1C1C 于是 C1D 为 BC1在面 AA1C1C 上的射影 若 A1C BC1 则 A1C C1D 在面 AA1C1C 中 a h h a h a 设 C1D 与 A1C 交于点 M 1 2 则 CM a C1M a BD C1D a 过 M 作 MN BC1 交 BC1于 N 则 MN A1C A1C 面 BC1D 及 MN BC1 知 MN 为 A1C 及 BC1的公垂线 MN C1M a 由于正四面体对棱中点连线为对棱的公垂线 故 MN 即 PQ 与 RS 中点的连线 在正四面体中对棱的公垂线 对棱中点连线 等于边长的倍 即 PQ RS a 于是 PM MQ RN NS a 又可由异面直线上两点距离公式求得 P QRS 各棱长均为a M N P Q R S B1 C1 A1 A D C B h a 用心 爱心 专心 7 情景再现 是否存在这样的凸多面体 它共有是否存在这样的凸多面体 它共有 8 8 个顶点 个顶点 1212 条棱和条棱和 6 6 个面 并且其中有个面 并且其中有 4 4 个面 每个面 每 两个面都有公共棱 两个面都有公共棱 如图 在正方体如图 在正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中 中 E E F F分别是分别是BBBB1 1 CDCD的中点 的中点 1 证明AD D1F 2 求AE与D1F所成的角 3 证明 面AED 面A1FD1 4 设AA1 2 求三棱锥E AA1F的体积VE AA1F 97 年全国高考 在边长为在边长为 5 5 的正方形的正方形ABCDABCD内以内以A A为圆心画一个扇形 再画一个为圆心画一个扇形 再画一个 O O 它与 它与BCBC CDCD 2 2 相切 切点为相切 切点为M M N N 又与扇形的弧 又与扇形的弧切于切于K K点 如图 点 如图 把扇形围成圆锥的侧面 把扇形围成圆锥的侧面 O O为圆为圆 E EF F 锥的底面 求圆锥的体积 锥的底面 求圆锥的体积 BFA D E NC M O K 习题八 如果圆锥的侧面展开图是半圆 那么这个圆锥的顶角 圆锥轴截面中两条母线的夹角 如果圆锥的侧面展开图是半圆 那么这个圆锥的顶角 圆锥轴截面中两条母线的夹角 是 是 A 30 B 45 C 60 D 90 正方体正方体ABCDABCD A A1 1 B B1 1 C C1 1 D D1 1中 中 P P Q Q R R分别是分别是ABAB ADAD B B1 1C C1 1的中点 那么正方体的过的中点 那么正方体的过 P P Q Q R R的截面图形是 的截面图形是 A 三角形B 四边形C 五边形D 六边形 2005 年高考 吉林 黑龙江 广西 已知圆台上 下底面圆周都在球面上 且下底面过球心 母线与底面所成的角为已知圆台上 下底面圆周都在球面上 且下底面过球心 母线与底面所成的角为 60 60 则圆台的体积与球体积之比则圆台的体积与球体积之比 1995 年高考 全国 文 用心 爱心 专心 8 将边长为将边长为a a的正方形的正方形ABCDABCD沿对角线沿对角线ACAC折起 使得折起 使得BDBD a a 则三棱锥 则三棱锥D D ABCABC的体积为 的体积为 A B C a3D a3 a3 6 a3 12 3 12 2 12 1996 年高考 全国 理 母线长为母线长为 1 1 的圆锥体积最大时 其侧面展开图圆心角的圆锥体积最大时 其侧面展开图圆心角等于 等于 A B C D 22 3 23 32 26 3 1996 全国 理 如果棱台的两底面积分别是如果棱台的两底面积分别是S S S S 中截面的面积是 中截面的面积是S S0 0 那么 那么 A 2 0 B 0 C 2S0 S S D S02 2SS SSS SSS 1998 年高考 长方形长方形ABCDABCD的长的长ABAB是宽是宽BCBC的的 2 2倍 把它折成正三棱柱的侧面 使倍 把它折成正三棱柱的侧面 使ADAD与与BCBC重重 3 3 合 而长方形对角线合 而长方形对角线ACAC与折痕与折痕EFEF GHGH分别交于分别交于M M N N 求平面 求平面AMNAMN与棱柱底面所成的角 与棱柱底面所成的角 F M E 乙 A H C N G AFHB DGE N C 甲 一个圆锥的高为定值一个圆锥的高为定值h h 圆锥顶角的大小可以变化 球 圆锥顶角的大小可以变化 球C C1 1是圆锥的一个内切球 球是圆锥的一个内切球 球C C2 2是是 与圆锥侧面及球与圆锥侧面及球C C1 1都相切的球 求当球都相切的球 求当球C C1 1的半径的半径R R为何值时 球为何值时 球C C2 2的表面积最大 并求这的表面积最大 并求这 个最大值 个最大值 S r R AOD C2 C1 图8 38 用心 爱心 专心 9 已知圆锥体的底面半径为已知圆锥体的底面半径为R R 高为 高为h h 内接于这个圆锥的圆柱的高为 内接于这个圆锥的圆柱的高为x x 当 当x x为何值时 为何值时 圆柱的体积最大 求出这个体积 圆柱的体积最大 求出这个体积 V x AB r R 图8 36 四棱锥四棱锥P P ABCDABCD中 底面中 底面ABCDABCD是一个平行四边形 是一个平行四边形 2 2 1 1 4 4 A AB B 4 4 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 A AD D A AP P 1 求证 PA 底面ABCD 2 求四棱锥P ABCD的体积 3 对于向量a a x1 y1 z1 b b x2 y2 z2 c c x3 y3 z3 定义一种运算 a a b b c c x1y2z3 x2y3z1 x3y1z2 x1y3z2 x2y1z3 x3y2z1 试计算 的绝对值的值 说明其与四棱锥P ABCD体积的关系 并由此猜 AB AD AP 想向量这一运算 的绝对值的几何意义 AB AD AP 2000 年上海春季高考 在六条棱长分别为在六条棱长分别为 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 的所有四面体中 最大体积是多少 证明你的结的所有四面体中 最大体积是多少 证明你的结 论 论 1983 1983 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 第 8 讲 截面 面积与体积答案 1 答案 A 2 答案 C 3 答案 B 4 答案 B 5 答案 D 6 分析 根据轴截面求出各线段的关系 解 x r 5 R r x R 5 Rr 5 r 2 r R 5 10 r 2 R 2 2 2 1 2 Rr 5 1 2 R 5 2 R 5 10 r 1 2 R 5 r 用心 爱心 专心 10 2 5 r R 5 2 R 5 10 r 1 2 解得R2 30R 125 0 R 5 舍 或R 25 答案 D 7 解 如左图 4 个面两两相交 可以得到一个四面体ABCD 此时已经用去 4 个顶点 4 个面 6 条棱 作截面EFG分别与BA BC BD相交 于点E F G 作截面HMN分别与 DA DC DB相交于H M N 增加了 2 个 面 6 条棱 6 个顶点但去掉了 2 个顶 点 此凸多面体共有 8 个顶点 12 条棱 及 6 个面 如右图 取二面角 在其一个面上画五边形ABCDE 其中AB在二面角的棱上 再作 CF DG EH 过AB作平面与此三条平行线相交于F G H 则此图形围出的多面体满足要 求 两法结果基本相同 8 解 1 2 3 略 4 取AB的中点G 则FG 面ABB1A1且FG平行且等于AD VE AA F VF AA E 又FG 面ABB1A1 三棱锥F AA1E的高FG AA1 2 1 1 面积S AA E SABB A 2 VE AA F S AA E FG 1 1 2 1 1 1 1 3 1 4 3 9 解 设扇形半径为l 即AE AF AK l 圆O的半径为R 即OM ON OK R 则 OC R 由题知A K O C共线 于是AK KO OC 5 222 5 2 即l 1 R 5 2 为使扇形和 O能围成一个圆锥 则圆 222 周长等于扇形弧长 即 2 R l 即l 4R 故R 圆锥的高h 22l2 R2 圆锥体积V R2h 30 1 3 230 3 习题八 10 答案 C 11 答案 D 12 答案 73 32 A D C B G F E M N H A D C B G F E H 用心 爱心 专心 11 13 答案 D 14 答案 D 15 答案 A 16 解 设BC a 则AF AB a 在展开图中可求出AM MN AC a 1 3 23 3 1 3 13 3 BN a 在三棱柱中 截面三角形AMN为等腰三角形 S AMN S AFH a2 设 4 3 2a2 3 3 3 平面AMN与棱柱底面所成角为 则 cos