2012届高三数学二轮复习讲义专题一函数与导数（定稿）

1 专题一专题一 集合 常用逻辑用语 不等式 函数与导数 讲案 集合 常用逻辑用语 不等式 函数与导数 讲案 第二讲第二讲 函数与导数函数与导数 最新考纲透析最新考纲透析 预计时间 预计时间 3 13 3 183 13 3 18 1 函数与基本初等函数的主要考点是 函数的表示方法 分段函数 函数的定义域和 值域 函数的单调性 函数的奇偶性 指数函数与对数函数的图象与性质 幂函数的图象 与性质 本部分一般以选择题或填空题的形式出现 考查的重点是函数的性质和图象的应 用 重在检测对该部分的基础知识和基本方法的掌握程度 复习该部分以基础知识为主 注意培养函数性质和函数图象分析问题和解决问题的能力 2 导数是高中数学知识的一个重要的交汇点 命题范围非常广泛 为高考考查函数提 供了广阔天地 处于一种特殊的地位 不但一定出大题而相应有小题出现 主要考查导数 有关的概念 计算和应用 利用导数工具研究函数的有关性质 把导数应用于单调性 极 值等传统 常规问题的同时 进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明 是函数知 识和不等式知识的一个结合体 它的解题又融合了转化 分类讨论 函数与方程 数形结 合等数学思想与方法 不但突出了能力的考查 同时也注意了高考重点与热点 这一切对 考查考生的应用能力和创新意识都大有益处 3 解决函数与导数结合的问题 一般有规范的方法 利用导数判断函数的单调性也有 规定的步骤 具有较强的可操作性 高考中 函数与导数的结合 往往不是简单地考查公 式的应用 而是与数学思想方法相结合 突出考查函数与方程思想 有限与无限思想等 所考查的问题具有一定的综合性 在一套高考试卷中一般有 2 3 个小题有针对性地考查函 数与导数的重要知识和方法 有一道解答题综合考查函数与导数 特别是导数在研究函数 问题中的应用 这道解答题是试卷的把关题之一 考点精析考点精析 题型一题型一 函数的概念函数的概念 图象与性质 图象与性质 例 1 1 函数 若 则的所有可能值为 2 1 sin 10 0 x xx f x ex 1 2ff a A B C D 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 分析分析 解答本题可根据已知条件确定的值 利用分类讨论思想求解 点评点评 关于分段函数的求值问题 要注意以下两点 1 依据条件 准确地找出利用哪一段 函数求解 2 若含有参数 字母 通常要分类讨论 此时要注意函数的定义域与对应法则 2 2009 江西理 函数的定义域为 2 ln 1 34 x y xx A B C D 4 1 4 1 1 1 1 1 分析 分析 考查函数的定义域的求法 较为综合 有根式 分母 真数的意义 点评 点评 求解函数的定义域一般应遵循以下原则 是整式时 定义域是全体实数 f x 是分式时 分母不为零 为偶次根式时 被开方数非负 对数函数的真数 f x f x 2 大于零 由实际问题确定的函数 其定义域要符合实际意义 3 设函数的图象关于直线对称 则的值为 1 f xxxa 1x a A B C D 3211 分析 分析 利用 零点分区 的方法去绝对值 化为分段函数 点评 点评 本题考查对带有绝对值的函数的理解和分析问题的能力 实际是带有绝对值的函数 是一个分段函数 题目给出的是一个三段的函数 解题的关键是用 零点分区 去掉绝对 值后 对各段上函数解析式的认识 变式训练变式训练 1 1 1 已知函数 f x满足 则 f x 1 2 x 当时 f x 1 f x 则4x 4x 2 2log 3 f A 1 24 B 1 12 C 1 8 D 3 8 2 已知定义在 R 上的奇函数 满足 且在区间 0 2 上是增函数 xf 4 f xf x 则 A B 25 11 80 fff 80 11 25 fff C D 11 80 25 fff 25 80 11 fff m 题型二题型二 基本初等函数的性质与应用基本初等函数的性质与应用 例 2 已知函数 若 求的值 若 1 2 2 x x f x 2f x x 对于恒成立 求实数的取值范围 2 2 0 t ftmf t 1 2t m 分析 分析 本题考查即函数方程和用函数最值知识证明恒等式的思想 解题时关键是把恒成立 问题转化为函数的最值 点评 点评 解决有关指数函数问题 要注意结合指数函数的图象与性质 尤其是解决综合问题 时 对于指数式恒大于零要牢记 对于指数方程与不等式问题可以分别转化为有理方程与 有理不等式 转化时可用化同底 取对数 换元等方法去解决 变式训练 2 已知函数 当点在的图象上运动时 点 2 log 1 f xx x y yf x 是图象上的点 3 2 x y yg x 1 求的表达式 2 当时 求的取值范围 yg x g xf x x 题型三题型三 函数与方程及函数模型的应用函数与方程及函数模型的应用 例 3 设函数 若函数有三0 1 3 1 223 mRxxmxxxf其中 xf 个互不相同的零点 且 若对任意的 恒成立 0 21 x x 21 xx 21 xxx 1 fxf 3 求的取值范围 m 分析 分析 首先根据函数的零点式把函数式分解因式 根据根的分布规律确定根的范围 然后再结合解题目标进行分类讨论 最后把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题 点评 点评 本小题主要考查函数与方程的根的关系解不等式等基础知识 考查综合分析问 题和解决问题的能力 变式训练 3 函数有且仅有一个正实数的零点 则实数的取值范围 2 21f xmxx m 是 A B C D 1 01 00 1 1 题型四题型四 导数及其应用导数及其应用 例 4 已知函数 ln a f xx x 1 当时 判断在定义域上的单调性 0a f x 2 若在上的最小值为 求的值 f x 1 e 3 2 a 3 若在上恒成立 求的取值范围 2 f xx 1 a 分析分析 1 通过判断导数的符号解决 2 确立函数的极值点 根据极值点是不是 在区间上确立是不是要进行分类讨论和分类讨论的标准 3 由于参数是 1 ea 孤立 的 可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决 点评点评 本题前两问是借助于导数和不等式这两个工具研究函数的性质 地三问是借助 于 导数研究不等式 这是目前课标区高考中函数导数解答题的主要命题模式 求一个函数在 一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间 内 结合函数的单调性确立分类讨论的标准 本题第三问实际上是对函数两次求导 g x 也要注意这个方法 变式训练 4 已知函数 32 3f xxaxx 1 若在上是增函数 求实数的取值范围 f x 1 x a 2 若是的极值点 求在上的最小值和最大值 3x f x f x 1 xa 分析 分析 第 1 问由在上是增函数 即在上恒成立 可求出的取 f x 0fx 1 x a 值范围 第 2 问先由求出的值 再求在上的最大值和最小值 3 0f a f x 1 a 点评 点评 本题的难点是求函数在区间上的最小值和最大值 研究函数在区间上的最值问题 首先要研究函数的单调性 找到函数的单调区间 然后将已知区间放到函数的单调区间中 去讨论 如果所给区间在两个不同的单调区间上 还需要比较端点处函数值的大小 才能 得到函数的最值 这一点是容易出错的地方 应该引起重视 考点五考点五 考查和数形结合的有关问题考查和数形结合的有关问题 4 例 5 设定义域为 R 的函数 则关于的方程 1 0 1 1 lg x xx xfx 有 7 个不同实数解的充要条件是 0 2 cxbfxf A 且 B 且0 b0 c0 b0 c C 且 D 且0 b0 c0 b0 c 分析 分析 此题是复合函数解的问题 常用数形结合法 与零点问题可以比较一下 点评 点评 如果不借助于图形 试图通过研究方程式来得出结果是很困难的 当然在利用 数形结合思想解题时 作图一定要规范和准确 变式训练 5 已知函数f x Error 若关于x的方程f x k有两个不同的实根 则 实数k的取值范围是 考点六考点六 抽象函数问题抽象函数问题 例 6 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数 且 则方程 0 在 xf0 2 f xf 区间 0 6 内解的个数的最小值是 A 2 B 3 C 4 D 5 分析 分析 抽象函数应多考虑一此函数性质 点评 点评 本题考查的是函数周期性 奇偶性和方程根的综合问题 变式训练 6 设是定义在上 以 1 为周期的函数 若在上的 g xR f xxg x 0 1 值域为 则在区间上的值域为 2 5 f x 0 3 考点七考点七 函数与导数的应用题函数与导数的应用题 例 7 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片 切去阴影部 分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得ABCD四个点重合于图中的点 P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的 两个端点 设 AE FB x cm 1 若广告商要求包装盒侧面积 S cm 2 最大 试问 x 应取何值 2 若厂商要求包装盒的容积 V cm 3 最大 试问 x 应取何值 并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值 P 方法技巧方法技巧 xx EF AB DC 5 1 深刻理解一些基本函数 如二次函数 指数函数 对数函数的图象与性质 判断 证明与应用函数的三大特性 单调性 奇偶性 周期性 是高考命题的切入点 有单一考 查 也有综合考查 2 二次函数是初中 高中的结合点 应引起重视 复习时要适当加深加宽 二次函数 与二次方程 二次不等式有着密切的联系 要沟通这些知识之间的内在联系 灵活运用它 们去解决有关问题 3 含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点 复习时应适当加强这方面的训练 做到条理清楚 分类明确 不重不漏 4 求函数单调区间的步骤 1 确定的定义域 2 求导数 3 令 f x fx 0fx 或 解出相应的的范围 当时 在相应区间上是增函数 当 0fx x 0fx f x 时 在相应区间上是减函数 0fx f x 5 求极值常按如下步骤 确定函数的定义域 求导数 求方程的 0fx 根及导数不存在的点 这些根或点也称为可能极值点 通过列表法 检查在可能极值点 的左右两侧的符号 确定极值点 当堂训练当堂训练 1 已知f x 是 R R 上最小正周期为 2 的周期函数 且当 0 x 2 时 f x x3 x 则 函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 A 6 B 7 C 8 D 9 2 文 已知定义在 R R 上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增 函数 则 A f 25 f 11 f 80 B f 80 f 11 f 25 C f 11 f 80 f 25 D f 25 f 80 f 11 理 设函数f x xm ax的导函数f x 2x 1 则f x dx的值等于 2 1 A B C D 5 6 1 2 2 3 1 6 3 已知点P在函数f x acos x的图象上 则该函数图象在x 2 012 3 1 处的切线方程是 A 2x y 0 B 2x y 0 3 42 4 3 22 4 3 2 C 2x y 0 D 2x y 0 2 4 3 22 4 3 2 6 4 设直线x t与函数f x x2 g x ln x的图象分别交于点M N 则当 MN 达 到最小时t的值为 A 1 B C D 1 2 5 2 2 2 5 已知函数f x log2x 正实数m n满足m n 且f m f n 若f x 在区间 m2 n 上的最大值为 2 则n m 6 文 已知函数f x mx2 ln x 2x在定义域内是增函数 则实数m的取值范围为 1 2 理 如图 直线y 1 与曲线y x2 2 所围图形的面积是 7 已知函数