2018初一数学-第一章-有理数教学案

第 1 页 共 25 页 第一章第一章 有理数有理数 授课教师 授课时间 2018 年 月 日 星期 姓名姓名 年级年级 学校学校总课时总课时 第第 次课次课 教学教学 课题课题 有理数章节复习有理数章节复习 教学教学 目标目标 1 正数和负数 有理数的概念与分类 数轴 相反数与绝对值 2 有理数的运算 科学记数法 难点难点 重点重点 有理数的分类 数轴 相反数与绝对值 有理数的运算 科学记数法 课前课前 检查检查 作业完成情况 优 良 中 差 知识点总结 考点一 考点一 正数和负数正数和负数 1 定义 正数 以前学过的除 0 以外的数 或在其前面加上正号 负数 以前学过的除 0 以外的数前面加上负号 注意注意 0 但 0 可以表示没有 还可以表示一个确定的量 如今天气温是 0 是指一个确定的温度 海拔 0表示海平面的平均高度 m 2 通常在日常生活中用正数和负数表示 的量 注意注意 用正 负数表示实际问题中具有相反意义的量 而相反意义的量包含两个要素 一是 它们的意义相反 如向东与向西 收人与支出 二是它们都是数量 而且是同类的量 3 用正负数表示加工允许误差 基础练习基础练习 第 2 页 共 25 页 1 下列说法正确的是 A 零是正数不是负数 B 零既不是正数也不是负数 C 零既是正数也是负数 D 不是正数的数一定是负数 不是负数的数一定是正数 2 向东行进 30 米表示的意义是 A 向东行进 30 米 B 向东行进 30 米 C 向西行进 30 米 D 向西行进 30 米 3 如果水位升高 5m 时水位变化记作 5m 那么水位下降 3m 时水位变化记作 m 水位不升 不降时水位变化记作 m 4 我市某天最高气温是 21 最低气温是零下 3 那么当天的最大温差是 5 某种药品的说明书上标明保存温度是 20 2 由此可知在 至 范围内保 存才合适 考点考点 2 2 有理数 有理数 1 定义 正整数 零和负整数统称整数整数 正分数 负分数统称分数分数 整数和分数统称为有理数有理数 2 分类 有理数 有理数 分数 整数 负有理数 零 正有理数 3 数集 把一些数放在一起就组成了一个数的集合 所有的有理数组成的数集叫做有理数 集 集合里一定不要忘记写 基础练习基础练习 1 下列不是正有理数的是 A 3 14 B 0 C 3 7 D 3 第 3 页 共 25 页 2 下列说法正确的是 A 正数 0 负数统称为有理数 B 分数和整数统称为有理数 C 正有理数 负有理数统称为有理数 D 以上都不对 3 a 一定是 A 正数 B 负数 C 正数或负数 D 正数或零或负数 4 判断 1 自然数是整数 2 有理数只有正数和负数 3 正整数包括零和自然数 4 任何分数都是有理数 5 把下列各数分别填入相应的大括号内 2 4 10 2 1 3 03 0 17 13 0 1415 3 5 3 7 自然数集合 整数集合 正分数集合 非正数集合 注意 数集一般用圆圈或大括号表示 因为集合中的数是无限的 而本题中只填了所给的几 个数 所以应该加上省略号 考点考点 3 3 数轴 相反数 绝对值 数轴 相反数 绝对值 1 数轴 1 数轴的定义 通常用一条直线上的点表示数 这条直线叫做数轴 2 数轴的三要素 第 4 页 共 25 页 2 相反数 1 只有 不同的两个数叫做互为相反数 2 一般地 a 的相反数是 0 的相反数是 3 相反数的性质 互为相反数的两数 一般地 设 a 是一个正数 数轴上与原点的距离是 a 的点有两个 它们分别在原点左右 表示 a 和 a 那么称这两个点关于原点对称 如下图 22 a a 0 注意 若两个数只有符号不同 那么这两个数叫做互为相反数 若两个数的乘积等于 1 则 这两个数叫互为倒数 任何有理数都有相反数 零的相反数是零 而零没有倒数 3 绝对值 1 定义 一般地 数轴上表示数 a 的点与原点的 叫做数 a 的绝对值 记作 a 这里的数 a 可以是正数 负数和 0 2 正数的绝对值是 负数的绝对值是 0 的绝对值是 我们用 a 表示任意一个有理数 则可以表示为 当 a 是正数时 a 当 a 是负数时 a 当 a 0 时 a 思考 1 任何一个有理数都有绝对值吗 一个数的绝对值有几个 2 有没有一个数的绝对值等于 2 任何一个数的绝对值一定是怎样的数 3 绝对值等于 2 的数有几个 它们是什么 总结 任何有理数都有唯一的绝对值 任意一个数的绝对值总是正数或 0 不可能是 负数 即对任意有理数 a 总有 a 0 两个互为相反数的绝对值相等 即 a a 第 5 页 共 25 页 因为 0 的绝对值是 0 而 0 的相反数是它本身 0 因此可知绝对值等于它本身的数是正 数或者零 绝对值等于它的相反数的数是负数或零 3 绝对值的性质 有理数的绝对值是一个非负数 即最小的绝对值是零 两个互为相反数的绝对值相等 即 a a 任何有理数都不大于它的绝对值 即 a a a a 若 a b 则 a b 或 a b 或 a b 0 4 两个数比较大小的方法 根据有理数在数轴上对应的点的位置直接比较 数轴上的数从左到右是逐渐 异号两数比较大小 正数 0 0 负数 正数 负数 同号两数比较大小 两个负数 绝对值大的 基础练习基础练习 1 下面的各图是不是数轴 为什么 2 化简下列各数 30 3 38 2 5 2 7 3 指出下列各对数 哪些是相等的数 哪些是互为相反数 3 与 3 3 与 3 7 1 2 与 7 1 2 4 如果 a a 那么表示 a 的点在数轴上的什么位置 第 6 页 共 25 页 5 已知与互为相反数 且 求代数式的值 xy 2y yx 3 6 1 2 1 5 2 12 20 8 32 1 7 7 7 与互为相反数的是 ba A B C D ab ab ab ba 8 4的倒数的相反数是 A 4 B 4 C D 1 4 1 4 9 下列说法不正确的是 A 所有的有理数都有相反数 B 正数与负数互为相反数 C 在一个数的前面添上 就得到它的相反数 D 在数轴上到原点距离相等的两个点所表示的数是互为相反数 10 下列说法错误的是 A 一个正数的绝对值一定是正数 B 一个负数的绝对值一定是正数 C 任何数的绝对值一定是正数 D 任何数的绝对值都不是负数 11 设 a 是最小的正整数 b 是最大的负整数 c 是绝对值最小的有理数 则 a b c 等 于 A 1 B 0 C 1 D 2 12 比较下列各对数的大小 1 1 和 2 2 8 21 和 3 7 3 0 3 和 1 3 第 7 页 共 25 页 13 若 a a 则 a 1414 若 x 3 y 4 0 则 x y 16 在数轴上与表示数 1 的点的距离为 3 个单位长度的点所表示的数是 拓展提高 拓展提高 17 如果 a b 互为相反数 c d 互为倒数 m 的绝对值为 2 求式子 ab abc m cd 的值 18 18 已知 a 0 b a 比较 a a b b 的大小 19 工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作正数 低于标准重量的克数记作负数 现对 5 个乒乓球称重情况如下表所示 分析下表 根据绝对值的定义判断哪个球的重量最接近标 准 代号 ABCDE 超标 情况 0 01 0 02 0 010 04 0 03 第 8 页 共 25 页 20 已知 在数轴上 点 A 到原点的距离为 3 点 B 到原点的距离为 5 1 求点 A 表示的数 2 求点 B 表示的数 3 利用数轴求 A B 两点间的距离为多少 画数轴说明 答案 1 3 或 3 2 5 或 5 21 如图 A B C 三点在数轴上 A 表示的数为 10 B 表示的数为 14 点 C 在点 A 与点 B 之间 且 AC BC 1 求 A B 两点间的距离 2 求 C 点对应的数 3 甲 乙分别从 A B 两点同时相向运动 甲的速度是 1 个单位长度 s 乙的速度是 2 个 单位长度 s 求相遇点 D 对应的数 答案 1 24 2 2 3 2 解析 解答 1 A B 两点之间的距离为 14 10 10 10 24 2 设点 C 对应的点是 x 则 x 10 14 x 解得 x 2 3 设相遇时间为 t 秒 则 t 2t 24 解得 t 8 补充 补充 第 9 页 共 25 页 1 1 数形结合思想数形结合思想 数轴上的动点问题数轴上的动点问题 方法解读 方法解读 中学数学研究的对象可分为数和形两大部分 所谓数形结合是指利用数量关系来 研究图形特征 利用图形特征来研究数量关系 借助数与形的相互转化来研究和解决问题 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离 为了便于对这类问题的分析 先明确 以下 3 个问题 1 数轴上两点间的距离 即为这两点所对应的坐标差的绝对值 也即用右边的数减去左边 的数的差 即数轴上两点间的距离 右边点表示的数 左边点表示的数 2 点在数轴上运动时 由于数轴向右的方向为正方向 因此向右运动的速度看作正速度 而向左运动的速度看作负速度 这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动 后点的坐标 即一个点表示的数为 a 向左运动 b 个单位后表示的数为 a b 向右运动 b 个 单位后所表示的数为 a b 3 数轴是数形结合的产物 分析数轴上点的运动要结合图形进行分析 点在数轴上运动形 成的路径可看作数轴上线段的和差关系 例题例题 如图 A B C 三点在数轴上 A 表示的数为 10 B 表示的数为 14 点 C 在点 A 与点 B 之间 且 AC BC 1 求 A B 两点间的距离 2 求 C 点对应的数 3 甲 乙分别从 A B 两点同时相向运动 甲的速度是 1 个单位长度 s 乙的速度是 2 个 单位长度 s 求相遇点 D 对应的数 练习练习 1 1 已知数轴上两点 A B 对应的数分别为 1 3 点 P 为数轴上一动点 其对应的数为 x 若点 P 到点 A 点 B 的距离相等 求点 P 对应的数 数轴上是否存在点 P 使点 P 到点 A 点 B 的距离之和为 5 若存在 请求出 x 的值 若不 存在 请说明理由 当点 P 以每分钟一个单位长度的速度从 O 点向左运动时 点 A 以每分钟 5 个单位长度向左 运动 点 B 一每分钟 20 个单位长度向左运动 问它们同时出发 几分钟后 P 点到点 A 点 B 的距离相等 第 10 页 共 25 页 练习练习 2 2 已知 数轴上点 A 在原点左边 到原点的距离为 8 个单位长度 点 B 在原点的右边 从点 A 走到点 B 要经过 32 个单位长度 1 求 A B 两点所对应的数 2 若点 C 也是数轴上的点 点 C 到点 B 的距离是点 C 到原点的距离的 3 倍 求点 C 对应的 数 3 已知 点 M 从点 A 向右出发 速度为每秒 1 个单位长度 同时点 N 从点 B 向右出发 速 度为每秒 2 个单位长度 设线段 NO 的中点为 P 线段 PO AM 的值是否变化 若不变求其值 第 11 页 共 25 页 二 分类讨论思想二 分类讨论思想 方法解读 方法解读 分类讨论思想 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时 就需要把研究对象 按某个标准进行分类 然后对每一类分别研究得出结论 最后综合各类结果得到整个问题的 答案 在本章中已知一个数的绝对值 要求进行有关的计算 往往需要分类讨论 考点考点 4 4 有理数的运算 有理数的运算 1 1 有理数的加法 有理数的加法 1 法则法则 同号两数相加 第 12 页 共 25 页 绝对值不相等的异号两数相加 并用 互为相反 的两个数相加得 一个数同 0 相加 2 有理数加法的运算律 加法的交换律 加法的结合律 简便运算的基本思路 先把互为相反数的数相加 把同分母的分数先相加 把符号相同的数先相加 把相加得整数的数先相加 2 2 有理数的减法 有理数的减法 1 有理数减法法则 减去一个数等于 即 2 有理数加减混合运算步骤 先把减法变成加法 再按有理数加法法则进行运算 3 3 有理数的乘法 有理数的乘法 1 法则 两个有理数相乘 同号得 异号得 并把绝对值 任何数与 0 相乘都得 2 乘法运算律 交换律 结合律 交换律 3 倒数的定义 乘积是 1 的两个有理数互为倒数 即 ab 1 4 4 有理数的除法 有理数的除法 法则 除以一个数 等于乘上这个数的 不能做除数 两个数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0 除以任何一个不等于 0 的数都等于 0 5 5 有理数的乘方 有理数的乘方 1 定义 求几个相同因数 a 的运算叫做乘方 乘方是几个相同的因数的特殊乘法运算 记 为 其中 a 叫做 表示相同的因数 n 叫做 表示相同因数的个数 它 n a 所表示的意义是 n 个 a 相乘 乘方的结果叫做 2 正数的任何非零次幂都是 0 的任何非零次幂都是 第 13 页 共 25 页 负数的偶数次方是 负数的奇数次方是 6 6 有理数的混合运算 有理数的混合运算 1 有理数的混合运算 应按以下运算顺序进行 1 先乘方 再乘除 最后加减 2 同级运算 从左往右进行 3 如果有括号 先做括号内的运算 按小括号 中括号 大括号依次进行 2 进行有理数的混合运算时 应注意 一是要注意运算顺序 先算高一级的运算 再算低 一级的运算 二是要注意观察 灵活运用运算律进行简便运算 以提高运算速度及运算能力 基础练习基础练习 1 计算 1 8 6 2 8 6 3 104 87 52 4 4 22 2 3 5 3 2 6 1 1 24 6 4 1 2 3 15 8 24 5 7 20 3 5 7 8 4 1 8 5 5 2 9 8 3 4 2 3 23 10 2 1 3 4 4 3 8 1 1 2 对任意实数 a 下列各式一定不成立的是 第 14 页 共 25 页 A 22 aa B 33 aa C aa D 0 2 a 3 如果ba 0 b的商是负数 那么 X k b 1 c o m K A ba 异号 B ba 同为正数 C ba 同为负数 D ba 同号 4 50 个有理数相乘的积为 0 那么 A 每一个因数都是 0 B 每一个因数都不为 0 C 最多有一个因数不为 0 D 至少有一个因数为 0 5 已知三个数在数轴上对应的点如图所示 则下列式子中正确的是 cba A B C D abac bcab abbc babc 答案 B 6 已知两个有理数 a b 如果 ab 0 且 a b 0 那么 A a 0 b 0 B a 0 b 0 C a b 异号 D a b 异号 且负数的绝对值较大 7 四个互不相等的整数的积为 9 则它们的和为 A 0 B 8 C 4 D 不能确定 答案 A 解析 因为 9 3 3 1 9 若 9 3 3 那么这四个数分别为 3 3 3 3 与四个不相等的数相 矛盾 若 9 1 9 那么这四个数分别为 1 1 9 9 与题意相符 且它们的和为 0 8 若9 2 x 则x得值是 若8 3 a 则a得值是 9 1 绝对值小于 4 的所有整数的和是 2 绝对值大于 2 且小于 5 的所有负整数的和是 第 15 页 共 25 页 10 若2 3 ba 则 ba 11 对于有理数定义一种运算 则 ba baba 2 132 12 已知 3 2 1 cba且 a b c 求 a b c 的值 13 若 1 a 3 求aa 31的值 拓展拓展提高提高 1 计算 1 4 1 2 2 1 6 3 1 3 3 2 4 2 2 2 2 1 3210 3 3 4 1 1 2 1 3 5 3 4 2 3 2 4 3 2 223 5 9 4 2 1 1 42 4 1 5 0 322 6 1 2 3 4 99 100 7 2 3 3 4 2 2 3 2 2 第 16 页 共 25 页 2 五个有理数的积为负数 则这五个数中正因数的个数是 A 2 个 B 1 3 或 5 C 0 2 或 4 D 无法确定 3 若 3 4 nmmnnm则 nm 4 已知 且 则 0 填 符号 0 yx0 yx0 xyx 答案 5 若 且 求的值 1 a4 b0 abba 答案 6 已知求的值 032 yx 55 4 23 xyxy 答案 24 考点考点 5 5 科学记数法 科学记数法 1 把一个大于 10 的数表示成 a 10n的形式 其中 a 是整数数位只有一位的数 1 a 10 n 是正整数 n 等于原整数的位数减去 1 这种记数方法叫科学记数法科学记数法 1 用科学记数法表示数只是改变数的形式 而没有改变数的大小 2 负数用科学记数法表示时和正数一样 区别就是前面多一个 3 当把一个用科学记数法表示的数还原为原数时 只需将小数点向右移动 n 位 不足的数 位用 0 补齐 并把 10 去掉 n 2 准确数和近似数 概念示例 准确数确切地反映了实际的数 我们学校有 3 个年级 约 270 人 其中 3 是一个准确数 270 是一 个近似数知识解读在判断准确数 3 第 17 页 共 25 页 近似数 与实际数接近 但有差 别的数 时 很多情况下都要依靠实际生 活经验 有关近似数的几点说明 近似数不是错误数 它在现实生活中大量存在 近似数产生的原因一般有三种 第 1 测量得到的数都是近似数 第二 计算 产生的近似数 如除不尽 有圆周率 参与计算的结果等 第三 不容易或不必要得到准确数时 可以使用近似数 3 根据精确度取近似数 1 确定一个近似数的精确度的方法 一个近似数的最后一个数字所在的数位便是该近 似数精确到的数位 2 根据精确度求一个近似数的方法 先分析题目要求的精确度是哪一位 再对这个数 位的下一数位上的数字进行四舍五入 叙述 近似数的精 确度 近似数与精确数的接近程度 可用精确度表示 一个近似数四 舍五入到哪一位 就说这个近似数精确到哪一位 知识解读 1 精确度的语言表达 精确到某一位 精确到小数点后第二 位 精确到百分位与精确到 0 01 这三种说法含义一样 2 按照精确度确定的近似数的末位数字如果是 0 不能随便 去掉 如 1 8 和 1 80 的精确度不同 1 8 是精确到 0 1 而 1 80 是精确到 0 01 第 18 页 共 25 页 基础练习基础练习 1 将 0 36 45 105的计算结果用科学记数法来表示 正确的是 B A 16 2 105 B 1 62 106 C 16 2 106 D 16 2 100 000 2 1 纳米相当于 1 根头发丝直径的六万分之一 用科学记数法表示头发丝的半径是 D A 6 103纳米 B 6 104纳米 C 3 103纳米 D 3 104纳米 3 李飞的身高经测量约 1 71 米 若李飞的实际身高记为 x 则他的实际身高范围为 A 1 7 x 1 8 B 1 705 x 1 715 C 1 705 x 1 715 D 1 705 x 1 715 4 资阳市 2017 年财政收入取得重大突破 地方公共财政收入用四舍五入法取近似值后为 27 39 亿元 那么 27 39 亿 A 精确到亿位 B 精确到百分位 C 精确到千万位 D 精确到百万位 5 用科学记数法表示下列各数 1 1 000 000 1 106 2 57 000 000 5 7 107 3 123 000 000 000 1 23 1011 6 下列用科学记数法表示的数 原数各是什么 1 1 106 2 3 14 10 3 1 732 10 37 7 下列由四舍五入得到的近似数 各精确到哪一位 1 0 025 2 0 404 0 3 1 8 4 1 80 第 19 页 共 25 页 5 10 3 万 6 1 60 104 7 10 亿 解 1 千分位 2 万分位 3 十分位 4 百分位 5 千位 6 百位 7 亿位 精确度的一般表示形式是精确到哪一位 注意 当近似数后有单位时 确定精确度时容易出现错误注意 当近似数后有单位时 确定精确度时容易出现错误 eg 近似数 0 004 3 万精确到 个 位 8 比较用科学记数法表示的数的大小 把 9 99 10 1 01 10 9 9 10 1 1 10用 连接起来 910910 9 9 109 9 99 109 1 01 1010 1 1 1010 方法点拨方法点拨 9 一辆卡车最多能装 4 t 沙子 现有沙子 77 t 至少需要多少辆这样的卡车才能一次运完这些 沙子 10 光在真空中的传播速度约为 3 105 km s 即每秒 3 105 km 天文学上常用光年作距 离的单位 光年就是光在 1 年 按 365 天计算 内在真空中走过的路程 1 光年约等于多少 千米 用科学记数法表示 解 1 年 365 24 3 600 s 比较用科学记数法表示的两个数 a1 10n1与 a2 10n2 1 a1 10 1 a2n2 或 n1a2 10n2 或 a1 10n1a2 或 a1a2 10n2 或 a1 10n1a B a b a D 大小关系取决于 b 11 下列说法中 错误的有 7 4 2 是负分数 1 5 不是整数 非负有理数不包括 0 整数和分数统称为有理数 0 是最小的有理数 1 是最小的负整数 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 12 若 则 2 x x 13 已知 x 1 与 y 2 互为相反数 则 x y 14 甲 乙两人同时从 A 地出发 如果向南走 48m 记作 48m 则乙向北走 32m 记为 这时甲乙两人