高中数学选修2-1、2-2综合试题

1 高中数学选修高中数学选修 2 1 2 2 综合试题综合试题 一 一 选择题选择题 本大题共本大题共 10 小题 小题 每小题每小题 5 分 共分 共 50 分 分 在每小题给出的四个选项中 只在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 请将所选答案写在答题卡上有一项是符合题目要求的 请将所选答案写在答题卡上 1 复数 z 的虚部记作 Im z 若 z 则 Im 5 12i z A 2B 2iC 2D 2i 2 考察以下列命题 命题 的否命题为 若 lg0 x 则x 1lg0 1xx 则 若 为假命题 则 p q 均为假命题pq 命题 p 使得 则 均有xR sin1x p xR sin1x 是 的充分不必要条件2x 11 2x 则真命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 3 在平行六面体中 为与的交点 1111 DCBAABCD M 11C A 11D B 若 则与相等的向量是 aAB bAD cAA 1 BM A B 11 22 abc 11 22 abc C D 11 22 abc 11 22 abc 4 由直线曲线及轴所围图形的面积为 1 2 2 xx 1 y x A B C D 2ln22ln2 1 ln2 2 15 4 5 已知抛物线上有一点 M 4 y 它到焦点 F 的距离为 5 则 2 2 0 ypx p 的面积 O 为原点 为 OFM A 1B 2C D 22 2 6 用火柴棒摆 金鱼 如图所示 按照上面的规律 第个 金鱼 图需要火柴棒的根数为 n A B C D 62n 62n 82n 82n 7 在正三棱柱中 若 则与所成角的大小为 111 CBAABC 1 2BBAB 1 ABBC1 A 60 B 75 C 105 D 90 M C1 C B1 D1 A1 AB D 2 8 给出下面四个类比结论 实数 ba若0 ab则0 a或0 b 类比向量 ba若0 ba 则0 a或0 b 实数 ba有 2 222 bababa 类比向量 ba有 22 2 2 bbaaba 向量a 有 2 2 aa 类比复数z 有 2 2 zz 实数ba 有0 22 ba 则0 ba 类比复数z 2 z有0 2 2 2 1 zz 则 0 21 zz 其中类比结论正确的命题个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 9 已知抛物线 2px p 1 的焦点 F 恰为双曲线 a 0 b 0 的右焦点 且两曲线的交点连线过点 F 则双曲线的离心率为 A B 2 C D 221 22 10 设球的半径为时间 t 的函数 R t 若球的体积以均匀速度 c 增长 则球的表面积的增 长速度与球半径 A 成正比 比例系数为 C B 成正比 比例系数为 2C C 成反比 比例系数为 C D 成反比 比例系数为 2C 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 分 共分 共 20 分 请将答案填在答题卷相应空格上 分 请将答案填在答题卷相应空格上 11 表示虚数单位 则 i 2012 1 1 i i 12 若命题 1 3 使 a a 2 x 2 0 为假命题 则实数 x 的取值范围a 2 x 是 13 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时 量得水面宽 8 米 当水面升高 1 米后 水 面宽度是 米 14 在长方体 ABCD A B C D 中 若 AB BC 1 AA 2 则 A 到直线 A C 的距离为 111111 15 设平面内有 条直线 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同 3 n 一点 若用表示这 条直线交点的个数 则 f n 4 f 当 时 f n 用含 n 的数学表达式表示 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本题满分 12 分 已知 m 0 p x 2 x 6 0 q 2 m x 2 m 3 I 若 p 是 q 的充分条件 求实数 m 的取值范围 若 m 5 p 或 q 为真命题 p 且 q 为假命题 求实数 x 的取值范围 17 本题满分 12 分 已知数列 an 满足 Sn an 2n 1 1 写出 a1 a2 a3 并推测 an的表达式 2 用数学归纳法证明所得的结论 18 本题满分 12 分 如图 已知三棱锥的侧棱两两垂直 OABC OAOBOC 且 是的中点 1OA 2OBOC EOC 1 求异面直线与所成角的余弦值 BEAC 2 求直线BE和平面的所成角的正弦值 ABC 19 本题满分 12 分 在平面直角坐标系O中 直线 与抛物线 2相交于A B两点 xyl 2 yx 1 求证 命题 如果直线 过点T 3 0 那么 3 是真命题 lOBOA 2 写出 1 中命题的逆命题 判断它是真命题还是假命题 并说明理由 4 20 本小题满分 13 分 已知椭圆的离心率为 定点 椭圆短轴的端点是 C 22 22 1 0 xy ab ab 5 3 2 0 M 且 1 B 2 B 12 MBMB 求椭圆的方程 C 设过点且斜率不为的直线交椭圆于 两点 试问轴上是否存在定点 M0CABxP 使平分 若存在 求出点的坐标 若不存在 说明理由 PMAPB P 21 本小题满分 14 分 已知函数 f x ax 2lnx f 1 0 b x 若函数 f x 在其定义域内为单调函数 求 a 的取值范围 若函数 f x 的图象在 x 1 处的切线的斜率为 0 且 an 1 f n2 1 已 1 an n 1 知 a1 4 求证 an 2n 2 5 高中数学选修高中数学选修 2 1 2 2 综合试题综合试题参考答案参考答案 ACABB ADBCD 1 1 2 3 5 4 2 2 3 3 1 2 n 1 n 2 17 1 a1 a2 a3 猜测 an 2 2 3 4 7 8 15 n 2 1 2 由 1 已得当 n 1 时 命题成立 假设 n k 时 命题成立 即 ak 2 k 2 1 当 n k 1 时 a1 a2 ak ak 1 ak 1 2 k 1 1 且 a1 a2 ak 2k 1 ak 2k 1 ak 2ak 1 2 k 1 1 2k 3 2ak 1 2 2 ak 1 2 k 2 1 1 2 1 k 即当 n k 1 时 命题成立 根据 得 n N an 2 都成立 n 2 1 18 解 1 以O为原点 OB OC OA分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则有 0 0 1 A 2 0 0 B 0 2 0 C 0 1 0 E 2 0 0 0 1 0 2 1 0 0 2 1 EBAC 16 6 COS 22 555 所以异面直线 BE 与AC所成角的余弦为 5 2 2 设平面ABC的法向量为 1 nx y z 则 11 20 nABnABxz 知 11 20 nACnACyz 知取 1 1 1 2 n 则 30 30 65 012 cos 1 nEB 故BE和平面ABC的所成角的正弦值为 30 30 19 证明 1 解法一 设过点 T 3 0 的直线l交抛物线 2x于点 A x1 y1 B x2 y2 2 y 当直线l的钭率下存在时 直线l的方程为x 3 此时 直线l与抛物线相交于 A 3 B 3 663 OBOA 当直线 l 的钭率存在时 设直线l的方程为y k x 3 其中 k 0 得ky2 2y 6k 0 则y1y2 6 又 x1 y12 x2 y22 3 2 2 xky xy 2 1 2 1 x1x2 y1y2 3 OBOA 21 2 21 4 1 yyyy 综上所述 命题 是真命题 解法二 设直线l的方程为my x 3 与 2x 联立得到 y2 2my 6 0 2 y x1x2 y1y2OBOA my1 3 my2 3 y1y2 m2 1 y1y2 3m y1 y2 9 m2 1 6 3m 2m 9 3 2 逆命题是 设直线 l 交抛物线 y2 2x 于 A B 两点 如果 那么该直3 OBOA 线过点 T 3 0 该命题是假命题 例如 取抛物线上的点 A 2 2 B 1 此时 3 2 1 3 OBOA 直线 AB 的方程为y x 1 而 T 3 0 不在直线 AB 上 3 2 点评 由抛物线y2 2x上的点 A x1 y1 B x2 y2 满足 可得y1y2 6 或3 OBOA y1y2 2 如果 y1y2 6 可证得直线 AB 过点 3 0 如果y1y2 2 可证得直线 AB 过点 1 0 而 7 不过点 3 0 20 解 由 得 222 2 22 5 1 9 abb e aa 2 3 b a 依题意 是等腰直角三角形 从而 故 12 MB B2b 3a 所以椭圆的方程是 C 22 1 94 xy 解 设 直线的方程为 11 A x y 22 B xyAB2xmy 将直线的方程与椭圆的方程联立 ABC 消去得 x 22 49 16200mymy 所以 12 2 16 49 m yy m 12 2 20 49 y y m 若平分 则直线 的倾斜角互补 所以 PFAPB PAPB0 PBPA kk 设 则有 0 P a 12 12 0 yy xaxa 将 代入上式 11 2xmy 22 2xmy 整理得 1212 12 2 2 0 2 2 my yayy mya mya 所以 1212 2 2 0my yayy 将 代入上式 12 2 16 49 m yy m 12 2 20 49 y y m 整理得 29 0am 由于上式对任意实数都成立 所以 m 9 2 a 综上 存在定点 使平分 9 0 2 PPMAPB 21 解 1 因为 f 1 a b 0 所以 a b 所以 f x ax 2lnx 所以 f x a a x a x2 2 x 要使函数 f x 在定义域 0 内为单调函数 则在 0 内 f x 恒大于等于 0 或恒小于等于 0 当 a 0 时 则 f x 0 在 0 内恒成立 适合题意 2 x 8 当 a 0 时 要使 f x a 2 a 0 恒成立 则 a 0 解得 a 1 1 x 1 a 1 a 1 a 当 a 0 时 由 f x a 0 恒成立 适合题意 a x2 2 x 所以 a 的取值范围为 0 1 2 根据题意得 f 1 0 即 a a 2 0 得 a 1 所以 f x 1 2 1 x 于是 an 1