2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题解析

20172017 年年 4 4 月浙江省普通高中学业水平考试数学试题月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 第第 卷 共卷 共 5454 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1818 个小题个小题 每小题每小题 3 3 分分 共共 5454 分分 在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知全集 若 则 1 2 3 4U 1 3A UA A B C D 1 2 1 4 2 3 2 4 答案 D 知识点 本题主要考察知识点 集合问题 解析 由题可以知道 A 2 4 选择 D 2 已知数列 是等差数列 则实数的值为 1a5a A 2B 3C 4D 5 答案 B 知识点 本题主要考察知识点 等差数列问题 解析 则 选择6512 a3 aB 3 计算 lg4lg25 A B C D 23410 答案 A 知识点 本题主要考察知识点 对数问题 解析 选 4log1025log102100log10 A 4 函数的值域为 3xy A B C D 0 1 0 1 0 3 答案 A 知识点 本题主要考察知识点 指数函数值域 解析 对于定义域 R 中的任意 的取值范围是 所以选择 x x 3 0 A 5 在中 内角 所对的边分别为 若 ABC ABCabc3a 60A 则的长为 45B b A B C D 2 2 122 答案 C 知识点 本题主要考察知识点 正弦定理 解析 运用正弦定理 oo b 45sin60sin 3 则 b 选择 32 60sin 45sin o o C 6 若实数则点不可能落在 10 20 xy xy P x y A 第一象限B 第二象限C 第三象 限D 第四象限 答案 D 知识点 本题主要考察知识点 由直线划分的平面区域 解析 由题意可以得到 y 2x y x 1 画图可得 点 p x y 不可能落在第四象限 选择 D 7 在空间中 下列命题正确的是 A 若平面内有无数条直线与直线 平行 则 l l B 若平面内有无数条直线与平面平行 则 C 若平面内有无数条直线与直线 垂直 则 ll D 若平面内有无数条直线与平面垂直 则 答案 D 知识点 本题主要考察知识点 立体几何问题 解析 错误 因为 L 可能在平面 内A 错误 与 可能相交B 错误 L 与 可能斜交 也可能C l 正确 选择 DD 8 已知锐角 且 则 3 sin 5 sin 45 A B C D 7 2 10 7 2 10 2 10 2 10 答案 A 知识点 本题主要考察知识点 三角函数变换 解析 为锐角 则 5 3 sin 5 4 cos 则 则正确选项为 10 27 2 2 5 4 5 3 45sincos45cossin 45sin ooo A 9 直线被圆所截得的弦长为 yx 22 1 1xy A B 1C D 2 2 2 2 答案 C 知识点 本题主要考察知识点 直线与圆的相交问题 解析 弦的两端点是和 弦长为 故选 0 0 1 1 2C 10 设数列的前项和为 若 则 n an n S 1 21 nn Sa nN 3 a A 3B 2C 1D 0 答案 B 知识点 本题主要考察知识点 等比数列求和公式 解析 后者减去前者得到12 12 121 nnnn aSaS 所以可以得到 12 22 nnn aaa 则12 121 aaa1 12 aa 则12 2321 aaaa 32 aa 则 故选择 21 1 1 11123 aaaaaB 11 如图 在三棱锥中 侧面底面 ABCD ABD BCDBCCD 4ABAD 该三棱锥三视图的正视图为 6BC 4 3BD 答案 C 知识点 本题主要考察知识点 立体几何问题 解析 取的中点则BDM MDBM32 在323648 CDBCDRT中 作垂直于 则点在线段上 故选择CHBDHHDMC 12 在第 11 题的三棱锥中 直线与底面ABCD AC 所成角的大小为 BCD A B C D 30 45 60 90 答案 A 知识点 本题主要考察知识点 立体几何问题 解析 垂直平面 则角为于底面 B成的角 AMBCDMCAACBCD 可知三角形是正三角形 则 又可以求 CDM32 CM2 AM 则 则角为 30 度 故选择 3 3 32 2 tan MCAMACA 13 设实数 满足 则 是 的 ab ab 0ab 0ab A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条 件 答案 C 知识点 本题主要考察知识点 条件论证 解析 一方面 若 则 而0ab ba 如图 则 则 另一方 ab ba 0 ba 面 若 则 而 如图 则 则 总之 选择 0ab ba ab ba 0 baC 14 过双曲线 的左顶点作倾斜角为的直线 交 22 22 1 xy ab 0a 0b A45 ll 轴于点 交双曲线的一条渐进线于点 若 则该双曲线的离心率为 yBCABBC A 5B C D 53 5 2 答案 B 知识点 本题主要考察知识点 双曲线解析问题 解析 0 0 0 0 a bx xCaBaA 由于 则又因为直线的BCAB baCAC 倾角为 则则 o 45ba 2 故选 51 2 2 2 22 2 2 a b a ba a c a c eB 15 若实数 满足 则关于的方程 abc12ba 1 0 8 c x 2 0axbxc A 在区间内没有实数根 1 0 B 在区间内有一个实数根 在外有一个实数根 1 0 1 0 C 在区间内有两个相等的实数根 1 0 D 在区间内有两个不相等的实数根 1 0 答案 D 知识点 本题主要考察知识点 二次函数的求根与范围 解析 8 1 0 21 2 Cabcbxaxxf由于记 8 9 8 1 12 1 8 1 0 0 cbafCf则 8 9 0 1 000 1 fcbacbaf 8 1 2 1 4 2 24 2 1 ccc ba f尝试 Dc ba f故选择尝试0 8 1 4 1 16 2 416 4 1 16 如图 1 把棱长为 1 的正方体沿平面和平面截去部分后 得到如图 11 AB D 11 ABC 2 所示几何体 该几何体的体积为 A B C D 3 4 17 24 2 3 1 2 答案 B 知识点 本题主要考察知识点 立体几何求体积问题 解析 MBANBCABDABA VVVVV 11111111 正三棱锥正三棱锥正方体 1 3 1 2 2 3 3 60sin 2 22 3 1 13 o V 2 1 2 2 2 这里用到结论 两截面于三等分对角 24 17 V 11D AB DBC1 线另外两个截面 所以选择 CA1B 17 已知直线与两坐标轴围成一个三角形 该三角形的面积记为22 2 0 xyy 当时 的最小值是 S 0 S A 12B 10C 8D 4 答案 C 知识点 本题主要考察知识点 求函数最值问题 解析 2 2 02 022 yxyyx解得令 则直线经过定点斜率 2 2 D0 1 2 k 1 22 0 0 1 BA 则84424 1 4 1 1 1 2 1 2 BAAOB YXS 故选择 C 18 已知函数 记集合 2 f xxaxb abR 0AxR f x 若 则实数的取值范围为 1 0BxR f f x AB a A B C D 4 4 2 2 2 0 0 4 答案 B 知识点 本题主要考察知识点 复合函数问题 解析 bbaxxabaxxbaxxfxff 1 1 1 1 2222 1 2 222 babaxxabaxx 0 2 4 01 04 22 ababaabaBA则 由于 0 21 4 0 1 4 22 aaa所以 故选择 所以 Baaa 22 4 02 22 第第 卷 共卷 共 4646 分 分 二 填空题 每空二 填空题 每空 3 3 分 满分分 满分 1515 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 19 设向量 则的坐标为 1 2 a 3 1 b ab a b 答案 4 3 5 知识点 本题主要考察知识点 向量的运算 解析 3 4 1 3 2 1 ba51231 ba 20 椭圆两焦点之间的距离为 2 2 1 3 x y 答案 22 知识点 本题主要考察知识点 椭圆的 a b c 之间的关系 解析 b 1 所以 2c 23 a2 22 bac2 21 已知 且 则的最小值是 abR 1a 1 1 abb a 答案 1 知识点 本题主要考察知识点 绝对值不等式 均值不等式 解析 112 1 1 1 1 1 1 1 1 a ab a bab a ba 22 设点是边长为 2 的正三角形的三边上的动点 则的取值范围为 PABC PAPBPC 答案 2 8 9 知识点 本题主要考察知识点 向量的应用 解析 1 当 P x 0 在 BC 上时 x 1 2 0 2 0 2 3 2 xxxPCPBPA 2 当点 在边上时 则xp x33 AC10 x 3 2 xxPOPAPCPBPA xxxxx662 3232 2 22 2 8 9 1 8 3 68 2 ffxx 3 当 P 在边 AB 上时同理可以求得范围也是 2 8 9 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 3 3 小题 共小题 共 3131 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤算步骤 23 已知函数 2 2cos1f xx xR 求的值 6 f 求函数的最小正周期 f x 设 求的值域 3cos2 4 g xfxx g x 答案 1 2 3 2 1 2 2 知识点 本题主要考察知识点为 三角函数与函数 函数的值域问题 解析 1 2 11 2 3 21 6 cos2 6 22 f 2 由于 的最小正周期为则 2cos1 2 2cos1 2xfx x xf 3 xxxxxg2cos3 2 2 cos 2cos3 4 2cos 2 2 3 2sin 22cos32sin xxx 则的值域为 xg 2 2 24 已知抛物线 过点 C 2 2ypx 1 1 A 求抛物线的方程 C 过点的直线与抛物线交于 两个不同的点 均与点不重合 设 3 1 P CMNA 直线 的斜率分别为 求证 为定值 AMAN 1 k 2 k 12 kk 答案 1 2 xy 2 2 1 21 kk 知识点 本题主要考察知识点为 曲线抛物线与直线相交问题 解析 代点得 1 则 1 1 A1212 p12 p 则抛物线的方程为xy 2 1 1 1 1 1 1 21 nmnM nmnM n n m m XXXX yyyy X y X y kk 设直线的方程为代入抛物线方MN1 3 xkyxy 2 整理得到 0 13 126 2222 kxkkxk 0 k其中 2 2 2 2 13 126 k k XX k kk XX nmnm k KXXkyy nmnm 1 13 2 k k k k kk kk 13 13 126 13 13 2 2 2 则代入得 2 1 126 13 13 222 2 21 kkkk kkkk kk 验证得知斜率不存在时 时 3 3 3 3 M 2 1 21 kk 25 已知函数 其中 3 1 f xxaax aR 当时 写出函数的单调区间 1a f x 若函数为偶函数 求实数的值 f xa 若对任意的实数 不等式恒成立 求实数的取值范 0 3x 3 f xx xa a 围 答案 f x 的递减区间是 1 1 递增区间是 0 a 2 15 3 9 19 知识点 本题主要考察的知识点是 函数的单调性奇偶性抛物线与直线问题 解析 当时 1 a 14113 xxxxf 则的递减区间是 xf 1 1 递增区间是 因为偶函数 则 xf 1 1 ff 所以113113 aaaa 所以1414 aa 所以 1 1 aa 所以 1 1 11 aaaa或无 所以0 a axaxaxaxxxf 31 33 等价变形为 30 133 xaxaxx 即 则13 363 aax时 特别地当 22 13 186 aa 解得这是原不等式当时恒成立的必要条件 3 17 9 19 a30 x 当时 可考虑不等式 3 17 9 19 a1 a a xaaxx 1 1 3 对于 恒成立 可以考察两函数30 x 30 1 3 xaxxxg 与的图像 此时只要考虑直线段 30 1 x a xaxh 与抛物线 31 1 xaxy 不相交即