2025北京十四中初三12月月考数学试题及答案

初中2025北京十四中初三12月月考数学注意事项：1．本试卷共四页，共28道小题，满分100分．考试时间120分钟．2．在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．答题不得使用任何涂改工具．一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（）A. B. C. D.4.如图，是正方形的外接圆，若的半径为2，则正方形的边长为（）A.1 B.2 C. D.45.如图，在菱形中，点E在上，与对角线交于点F．若，，则为（）A. B. C. D.6.如图，在中，是直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（）A. B. C. D.7.如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（）A.若，则 B.C. D.连接及，则8.已知二次函数的图象过，，，四点，以下推断：①若，则；②若，则；③当时，若，则；所有正确推断的个数是（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若是一元二次方程的一个根，则的值为_____．10.把抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_____．11.的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是________（填“相交”、“相切”或“相离”）．12.随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，若设每件成本的平均降低率是x，则可列方程为：________．13.如图，点在上，若，则14.如图，，，分别与相切于点，，三点．若，则的周长为_____．15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C逆时针旋转某个角度后得到△A′B′C，当点A的对应点A′落在AB边上时，阴影部分的面积为___________．16.对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：根据二次函数图象的相关性质可知：______，______．三、解答题（本题共68分，第17、24、25、26题，每题6分，第18、19、20、21、22、23题，每题5分，第27、28题，每题7分）17.解方程：（1）；（2）．18.已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时的值．19.不透明袋子中共4个小球，其中有1个黑球，1个白球，2个红球，除颜色外无其它差别．（1）若一次从中取出一个小球，标记颜色放回，充分摇匀，再取出第二个小球，用列表法或树状图求两次取出的小球都是红球的概率．（2）若一次从中同时取出两个小球，则取出两个小球中至少有1个黑球的概率_____．20.已知二次函数的图象过点，，．（1）求该抛物线的表达式；（2）补全表格，画出二次函数的图象；x……y……（3）关于该二次函数，下列说法正确的有______．①图象开口朝下，顶点为；②当时，y随x增大而减小；③当时，y的取值范围为；④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．21.已知：，是直线上的两点．求作：，使得点在直线上方，且．作法：①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点；②以点为圆心，长为半径画圆；③在劣弧上任取一点（不与，重合），连接，．就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：在优弧上任取一点（不与，重合），连接，，，．，是等边三角形．．，，在上，（）（填推理的依据）．．四边形内接于．（）（填推理的依据）．．22.如图，的直径垂直弦于点，，，求的长．23.如图，在中，平分，是上一点，且．（1）求证：；（2）若，，，求的长．24.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．25.某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究．经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系．x/米00.611.822.433.64y/米0.881.902.382.862.882.802.381.60.88（1）根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为______米．26.在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）（2）点，在抛物线上，其中，，若的最小值是，求的最大值；若对于，都有，求出的取值范围．27.如图，等边，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．（1）依题意补全图形，并求的度数．（2）取的中点，连接并延长，交的延长线于点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．28.对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点满足且，则称四边形是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．（1）已知点，①在，，中，是的覆盖特征点的为；②若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求m的取值范围．（2）以点为圆心，半径为1作圆，在抛物线上存在的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号12345678答案CBACDCCD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，解得：．故答案为：1．10.【答案】解：由平移规律可得：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为：．故答案为：．11.【答案】解：∵的直径为，，∴的半径为，∵圆心O与直线l的距离为，∴圆心O与直线l的距离小于的半径，∴l与相交，故答案为：相交．12.【答案】解：设每件成本的平均降低率是x，根据题意可得：．故答案为：．13.【答案】解：如图，取点，连接、，∵，∴，∴，故答案为：．14.【答案】解：直线、、分别与相切于点、、，，，，，的周长为：，故答案为：5．15.【答案】如图，∵AC=A′C，且∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形．∴∠ACA′=60°，∴∠A′CB=90°-60°=30°，∵∠CA′D=∠A=60°，∴∠CDA′=90°，∵∠B′CB=∠A′CB′-∠A′CB=90°-30°=60°，∴∠CB′D=30°，∴CD=CB′=CB=×2=1，∴B′D=，∴S△CDB′=×CD×DB′=×1×=，S扇形B′CB=，则阴影部分的面积为：π-，故答案为π-．16.【答案】解：由表格可知，和时的函数值相等，∵表格中的两个函数对称轴都是直线，∴，∴，故答案为：1，3．三、解答题（本题共68分，第17、24、25、26题，每题6分，第18、19、20、21、22、23题，每题5分，第27、28题，每题7分）17.【答案】（1）解：，，，，，；（2）解：，，或，．18.【答案】（1）证明：，方程总有两个实数根．（2）解：，，，．方程两个根的绝对值相等，．或．19.【答案】（1）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中两次取出的小球都是红球的结果有4种，∴两次取出的小球都是红球的概率为；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中取出两个小球中至少有1个黑球的结果有6种，∴取出两个小球中至少有1个黑球的概率为，故答案为：．20.【答案】（1）解：由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：；（2）解：取点补全表格为：x…0123…y…03430…如图，（3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意；②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意；③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意；④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意；故答案为：①④．21.【答案】（1）解：如图所示：即为所求；（2）证明：如图，在优弧上任取一点（不与，重合），连接，，，，如图所示：，是等边三角形．．，，在上，（同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半）．．四边形内接于，（圆的内接四边形对角互补）．．故答案为：同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补．22.【答案】解：，，，，直径垂直弦于，∴，，．23.【答案】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的长为．24.【答案】解：（1）相切，理由如下，如图，连接OC，∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，∴r=3，AB=2r=6，∵tan∠E=，∴，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，AC=．25.【答案】（1）由表格可知，当时，，∵拱桥距离水面的高度为米，∴桥墩露出水面的高度米；故答案为：0.88；（2）解：由（1）知，当时，，设与之间的函数关系式为，由表格可知，当时，；当时，；∴，解得，∴，与之间的函数关系式为；（3）解：令，即，整理可得，解得（舍），，∴处距桥墩距离至少为米，故答案为：．26.【答案】（1）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为；（2）解：抛物线对称轴为，∵，∴抛物线开口向上∵，∴当时，的最小值为，∵的最小值是，∴，∴，，当时，；∵，，∴当时，取最大值，最大值为，当时，，对于，均有，∴，∴，∴或，解得或．27.【答案】（1）解：由题意补图如图1：∵等边，∴，由旋转可知，，，则，∴，，∴，∴的度数为．（2）解：，理由如下：如图2，作于，即，∵，为的中点，∴，即，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；∴．28.【答案】（1）解：①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即：且，所以，是覆盖的特征点，故答案为：，；②设点为的覆